Інтегральне числення функції однієї змінної

Інтегральне числення функції однієї змінної

Невизначений  інтеграл

 Означення. Функцію F(x)називають первісною функції f(x)на проміжку (a,b), якщо F(x) диференційована на  (a,b) і F’(x) = f(x), x (a,b).

Сукупність усіх первісних F(x)+С, С R функції f(x)на (a,b) називають невизначеним інтегралом f(x) і записують так:

Властивості невизначеного  інтеграла:

1. ( )' = f(x).
2. = F(x)+С.
3. d = f(x) dx.
4. = C .
5. .
6. Якщо і u=φ(x) – довільна функція, що має неперервну функцію, то .

Остання властивість (її називають інваріантністю формули інтегрування) дуже важлива. Вона означає, що та чи інша формула для невизначеного інтеграла залишається справедливою незалежно від того, що чи змінна інтегрування є незалежною змінною, чи довільною функцією від неї, що має неперервну похідну. Операцію невизначеного інтеграла від функції називають інтегруванням цієї функції.

 

Таблиця основних інтегралів.

Нехай u(x) - довільна функція, що має на деякому проміжку неперервну похідну u ' (x). Тоді на цьому проміжку справедливі такі формули:

 

 

якщо 

 

 

 

Основні методи інтегрування:

1. Метод безпосереднього інтегрування.
2. Метод підстановки (заміни змінної).
3. Метод розкладу.
4. Метод інтегрування частинами.

 

Метод безпосереднього  інтегрування.

Цей метод базується  на використанні таблиці інтегралів, властивості лінійності інтеграла та інваріантості формул інтегрування.

Приклад.

 

Метод підстановки (заміни змінної). Внесення функції  під знак диференціала.

Суть цього методу полягає у введенні нової змінної. При знаходженні інтеграла застосовують підстановки двох видів:

1) x=φ(t);  2)ω(x)=t.

Тут φ(t), ω(x) – неперервно-диференційовні функції.

У першому випадку dx=φ'(t)dt i .

Другу підстановку доцільно виконувати, якщо підінтегральний вираз можна  подати у вигляді  f(x)dx=g(ω(x)) ∙ω'(x)dx, тоді .

У цьому випадку ω'(x) вводиться під знак диференціала: ω'(x)dx=d(ω(x))=dt.

Підстановки слід підбирати, щоб одержані інтеграли були табличними, або зводились до простіших інтегралів.

Спільним в обох способах введення нової змінної є зворотній перехід від змінної t до змінної x.

Загальних методів  підбору підстановок не існує. Але  є широкі класи функцій, для яких будуть вказані спеціальні типи підстановок. Приклад.

Розв'язування. Зробимо  підстановку х = 5sint, тоді

Отже, одержимо

Із рівності х = 5sin t одержимо t = arcsin (х/5);

Отже,

Метод розкладу

Якщо  , то

 

Метод інтегрування частинами

Нехай u=u(x) i  v=v(x) – функції, що мають на деякому проміжку неперервні похідні. Тоді .

Цю формулу називають  формулою інтегрування частинами. Вона дає змогу перейти від інтеграла  до інтеграла . Укажемо деякі типи інтегралів, які зручно знаходити методом інтегруванням частинами:

1. інтеграли вигляду , , де Р(х) – багаточлен. У цих інтегралах u слід взяти множник P(x), а за dv вираз, що залишився;
2. інтеграли вигляду , , , , де Р(х) – багаточлен. У цих інтегралах слід взяти dv=P(x)dx;
3. інтеграли вигляду , , де α, β – дійсні числа. Після двократного застосування методу інтегрування частинами утворюється лінійне рівняння відносно шуканого інтеграла. З цього рівняння відносно шуканого інтеграла. З цього рівняння знаходять інтеграл.

Приклад. Знайти

Розв'язування. Нехай u = Inx, dv = dx. Тоді v = x

За формулою інтегрування частинами (4) одержимо

 

Інтегрування  раціональних дробів

Нехай треба знайти

, де Р_n(x) і Q_m(x) – багато лени відносно х степенів n i m відповідно. Якщо дріб неправильний, що досягається при n≥m, то необхідно спочатку подати його у вигляді , k<m.

Тут P_n-m(x) – ціла частина даного дробу (багаточлен степеня n-m), інтеграл від якого знаходять безпосередньо; - правильний раціональний дріб. Тому інтегрування дробово-раціональної функції після виділення цілої частини, зводиться до інтегрування правильного раціонального дробу, який в свою чергу, зводиться до інтегрування елементарних дробів.

Елементарними раціональними дробами  називають раціональні дроби чотирьох видів:

1. ;  2. ;  3. ; 4. , де a, p, q, A, M, N – дійсні числа, n=2, 3, …, D=p²-4q<0, тобто квадратний тричлен x²+px+q не має дійсних коренів.

Розглянемо інтеграли  від елементарних дробів:

1. .
2. , (n≠1).
3. , (р²-4q<0). Виконавши перетворення, одержимо , якщо          q- >0. При q- ≤0 інтегрування зводиться до попередніх випадків.
4. Інтеграл J_n=M , a²=q- .  Перший із цих інтегралів знаходиться безпосередньо, а другий  - за рекурентною формулою.

Структура розкладу правильного раціонального дробу у суму елементарних дробів визначається таким правилом. Якщо знаменник Q_m(x) правильного раціонального дробу розкладено на множники за формулою:

Q_m(x)=a₀(x-a)^α…(x-b)^β(x²+px+q)^μ…(x²+lx+s)^υ, 

де α+…+β+2(μ+…+υ)=m, причому фігуруючи тут лінійні та квадратичні множники різні і, крім  того, тричлени не мають дійсних коренів, тоді цей дріб можна податиу вигляді =

де А₁,…,А_α, В₁,…,В_β, M₁, N_1,…, M_μ, N_μ, L₁, S₁,…, L_υ, S_υ – деякі дійсні сталі, що підлягають визначенню.

Іншими словами, структура  розкладу правильного раціонального  дробу у суму елементарних дробів визначається коренями знаменника Q_m(x), а саме:

1. простому дійсному кореню х=а, тобто лінійному множнику х-а, відповідає дріб ;
2. дійсному кореню х=b кратності m, тобто множнику (x-b)^m відповідає сума дробів ;
3. парі комплексно спряжених коренів α±β і кратності один, тобто множнику x²+px+q, де p=-2a, q=α²+β², p²-4q<0, відповідно дріб ;
4. парі комплексно спряжених множників α±β і кратності k, тобто множнику (x²+px+q)^k відповідає сума дробів .

Невідомі коефіцієнти (їх загальна кількість дорівнює загальній кількості знаменника) знаходять, наприклад, за методом невизначених коефіцієнтів чи конкретних значень аргументу.

Приклад. Знайти

Розв'язування. Підінтегральна функція—це правильний раціональний дріб, знаменник якого містить квадратний двочлен, який не розкладається на множники та один дійсний корень х = 1, тому цей дріб розкладається на суму найпростіших дробів І та III типу:

  

Невідомі коефіцієнти А, В та С будемо шукати методом невизначених коефіцієнтів. Для цього праву частину рівності (4) треба привести до спільного знаменника, одержимо

Знаменники в обох частинах рівні, тому і чисельники повинні  бути рівні, тобто

х = (Ах + В)(х - 1) + С(х² + 1)

(А + С)х² + (В - А) + С - В  

Рівність (5) можлива лише тоді, коли коефіцієнти при однаковому степеню х в обох частинах рівності однакові, тобто

Отже, розклад тепер  приймає вигляд

Інтегруючи цю рівність, одержимо

 

 

Метод невизначених коефіцієнтів.

Приклад. І= .

Розв’язання. Маємо підінтегральну функцію  .

Корені багаточлена Q₃(x)=x³-3x²-6x+8 – дійсні різні числа -2; 1; та 4. Тоді

Q₃(x)=(х-1)(х+2)(х-4). Запишемо розклад:

= = + + , звідси

= .

Порівняємо чисельники: 3х²-21х=А(х-1)(х-4)+В(х+2)(х-4)+С(х+2)(х-1).

Два багаточлени тотожно рівні  тоді і тільки тоді, коли коефіцієнти  при однакових степенях х рівні. Розкривши дужки у правій частині  і прирівнявши відповідні коефіцієнти, дістанемо систему рівнянь 

розв’язок – трійка чисел А=2, В=3, С= -2. таким чином,

  = + - ,

після чого дістанемо  І= 2 +3 -2 = 2ln +3ln -2ln +C.

 

Інтегрування  ірраціональних виразів

1. Інтеграли виду де R – раціональна функція своїх аргументів, підстановкою =tⁿ  зводиться до інтеграла від раціональної функції відносно змінної t.
2. Інтеграли виду  раціоналізуються підстановкою =t^λ де λ найменше спільне кратне чисел m₁, m₂, …, m_k.

Зокрема інтеграли виду раціоналізуються підстановкою x=t^λ , де λ=НСК(m₁, m₂, …, m_k)

3. Підстановки Ейлера.Інтеграл виду виражається через раціональні функції за допомогою таких підстановок:
1. якщо а>0, тоді = t±x ;
2. якщо с<0, тоді = tx± ;
3. якщо α – один з дійсних коренів тричлена ax²+bx+c, тоді = (x-α)t;

Різні методи інтегрування інтегралів виду .

За допомогою підстановки x=t - даний інтеграл зводиться до одного з цих інтегралів: 1) ; 2) ;  

3) .

Вказані інтеграли за допомогою замін:

1. t=m tgz, або t=m ctgz, або t=m shz.
2. t= , або t= , або t= ;
3. t=m sinz, або t=m cosz, або t=m thz

зводяться до інтегралів вигляду  або .

 

Приклад . Знайти

Розв'язування. Маємо: 

Спільний знаменник  дробових показників степенів ¹/₂, ⁴/₃, ⁵/₄ змінної х дорівнює 12. Тому зробимо підстановку t = х^1/12, х = t¹², dx = 12t¹¹dt i ми одержуємо:

 

Інтегрування  тригонометричних функцій

Інтеграли виду , де R – раціональна функція від sinx i cosx за допомогою підстановки tg =t зводяться до інтегралів ві раціональних функцій. При цьому:

sinx= , cosx= , dx= dt.

Таку підстановку називають  універсальною тригонометричною підстановкою. За її допомогою зручно знаходити  інтеграли виду .

Інтеграли виду знаходимо підстановкою cosx=t,якщо m- ціле додатне непарне число, або підстановкою sinx=t, якщо n – ціле додатне непарне число, а також за допомогою формул пониження степеня: cos²x= , sin²x= .

 

 

Визначений інтеграл. Формала  Ньютона-Лейбніца

Нехай функція f (х) задана на відрізку [a, b]. Розіб'ємо цей відрізок на n частин точками ділення

а = х₀ < x₁ < x₂ < ...   < х_n = b

У кожному проміжку [x_k-1, x_k] довжиною Δх_k = х_k- х_k-1 оберемо довільну точку і обчислимо відповідне значення функції .

Побудуємо суму   яку називають інтегральною сумою для функції f (х) на відрізку [а,b].

Означення 1. Якщо існує скінченна границя інтегральної суми при , незалежна від способу ділення відрізка [а,b] на частини та добору точок , то ця границя називається визначеним інтегралом від функції f (х) на відрізку [а,b] і позначається

Математично це означення  можна записати так:

  

Відмітимо, що числа а та b називають нижньою та верхньою межами, відповідно.

Згідно з цим означенням рівності тепер можна записати у вигляді

    

тобто площа криволінійної  трапеції S та шлях S, пройдений точкою із змінною швидкістю V = f (t) виражаються визначеним інтегралом. Перевірка існування скінченної границі інтегральної суми для кожної функції утруднена. Але такої перевірки робити не треба тому, що використовують таку відому теорему.