Опционные стратегии

      И снова независимо от итогового курса акции общая  стоимость  портфеля paвна нулю.  Это означает,  что при осуществлении данной  стратегии для инвестора  отсутствует  риск   потерь.   Таким   образом,   инвестор   имеет возможность получать свободные деньги до тех пор, пока опцион  «колл»  стоит $10. Такая ситуация не может быть равновесной, поскольку любое лицо  может

получить свободные  средства аналогичным образом.

 Коэффициент хеджирования

      Допустим, что мы занимаем $41,03  и  покупаем  0,5556  акций компании Wopov и таким образом, воспроизводим опцион  «колл»  на  эти акции.  Теперь рассмотрим  то  влияние  которое  окажет  на   стоимость   воспроизведенного портфеля изменение курса акций завтра (а не через год). Так как  в  портфель входит  0,5556  акций,  то  стоимость  портфеля  изменится  на  $0,5556  при изменении курса акций Wopov на $1. Но  так  как  опцион  «колл»  и  портфель должны продаваться по одной  цене,  то  цена  опциона  «колл»  также  должна измениться на $0,5556 при изменении курса акции на  $1.  Данная  взаимосвязь называется коэффициентом хеджирования опциона. Он равен  числу

Ns которое было  определено в уравнении выше.

      Для опциона «колл» на акции компании  Wopov  коэффициент  хеджирования

составлял 0,5556, что равно ($25 - $0)/($125 - $80).  Обратите  внимание  на то, что числитель равен разности между выплатами по опциону  в  «верхнем»  и «нижнем» положениях, а знаменатель - разности между  выплатами  по  акции  в

этих двух положениях. В общем виде в биноминальной модели:

 h=(Pou-Pod)/(Pso-Psd) (5), где P- это цена в конце периода, а индексы обозначают инструмент (о -опцион, s -акция) и положение (и - «верхнее», d - «нижнее»). Чтобы воспроизвести опцион «колл»  в  условиях  биноминальной  модели, необходимо купить h акций. Одновременно необходимо получить под  ставку  без

риска средства путем «короткой» продажи облигации. Эта сумма равна: B=PV(hPsd- Pod) (5а), где  PV-  дисконтированная  стоимость  суммы,  указанной   в   скобках (стоимости облигации в конце периода).  В  итоге  стоимость  опциона  «колл» равна: V0=hPs-B (6) где  h  и  В  -  это  коэффициент  хеджирования  и  текущая  стоимость «короткой» позиции по облигации в портфеле,  который  воспроизводит  выплаты по опциону «колл».

Для опционов «пут»

Так как формулы  охватывают любой набор выплат, то их можно использовать  для той цели. Рассмотрим еще  раз  акции  компании  Wopov  в  случае  годичного

периода, при  этом цена исполнения опциона «пут»  —  $100,  дата  истечения  —

один год с  сегодняшнего  числа. Коэффициент хеджирования для опциона «пут» -0,4444 [($0-$20) /($125  -$80)]. Это отрицательная величина. Она означает, что повышение  курса  акции приведет к уменьшению цены опциона.  В равно - $51,28. Это - дисконтированная стоимость величины, которая в конце года составляет - $55,55. Так как это отрицательные величины,  то  они означают сумму, которую надо заплатить за  облигации(т.е.отрицательная стоимость «короткой» позиции может рассматриваться как стоимость «длин  ной»позиции).Чтобы  воспроизвести  опцион  «пут»,  следует  осуществить  «короткую» продажу 0,4444 акций Wopov  и  предоставить  кредит  (т.е.  инвестировать  в безрисковую облигацию) $51,28. Так как «короткая» продажа  принесет  $44,44 а за облигацию будет уплачено $51,28, то  чистая  стоимость  воспроизведения портфеля составит $6,84 [($51,28 – (-$44,44))]. Таким образом, это  и  есть действительная цена опциона «пут».Это та же цена, что и полученная из уравнения (20.7): $6,84 [0,4444 х$100 -(-$51,27)] где h = 0,4444, В = -$51,28  и Ps=  $100.  Таким образом, полученные  выше   уравнения   для   опциона   «колл»   можно   использовать применительно к опционам «пут». (3) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2.3 Модель Блэка-Шоулза   

       

Фишером и Блеком  и Мертоном Шоулзом была разработана  формула для оценки опционов. Современное управление рисками, применяемое в страховании, торговле на фондовом рынке и инвестировании, основывается  на  возможности  использовать математические методы для предсказания будущего.  Конечно,  не  со  100%-ной вероятностью,  но  достаточно  точно  для  того,  чтобы  принять  взвешенное  инвестиционное  решение.  Основополагающий  принцип  работы  на   финансовых рынках состоит в следующем: чем больший риск вы готовы на себя принять,  тем на большее вознаграждение вы вправе рассчитывать.  Использование  математики никогда не сможет полностью элиминировать риск, но  может  помочь  правильно оценить степень принимаемого на себя риска и решить  вопрос  о  справедливом вознаграждении. В моделе Блэка-Шоулза  опцион  рассматривается  как  функция следующих элементов:

• Цена базового актива и цена страйк (цена исполнения),это  соотношение между  ценой  лежащего  в  основе  опциона  актива  и  ценой   страйк.   Это соотношение определяет статус  опциона  ("в  деньгах"  или  "вне  денег")  и внутреннюю стоимость опциона (величина,  на  которую  цена  базового  актива выше или ниже цены страйк для опционов колл и пут соответственно).
• Время, остающееся до даты истечения  опциона.  Время  работает  против покупателя опционов, так как цена опционов вне денег  снижается  ускоренными темпами  с  приближением  даты  их   истечения.   Этот   эффект   называется"разрушение временем". Больший срок,  остающийся  до  окончания срока действия опциона, означает большую неопределенность.
• Степень   колебаний   (волатильность).   Этот   показатель    отражает подверженность  базового  актива  ценовым  колебаниям.  Величина  премии  по опционам в деньгах прямо пропорциональна  ожидаемой  ценовой  неустойчивости

базового актива.

• Дивиденды.  Повышенные  дивиденды  сокращают  цену  опционов  колл   и увеличивают цену опционов пут, потому что выплата дивидендов сокращает  цену лежащих в основе опциона акций на  сумму  дивиденда.  Дивиденды  увеличивают привлекательность покупки и держания акций по сравнению с покупкой  опционов колл и хранением резервов наличности. И обратно, продавцы в короткую  должны учитывать выплату дивидендов, поэтому покупка опционов  пут выглядит  более предпочтительной, чем короткая продажа акций.
• Уровень процентных  ставок.  Растущие  процентные  ставки  увеличивают форвардную цену базовых акций, которая рассчитывается как  цена  акции  плюс ставка по безрисковым активам на период действия опциона. Форвардная цена  в модели понимается как стоимость акции на дату истечения опциона.
• Основная привлекательность опционов для  покупателя  объясняется  тем, что  ему  заранее  известен  максимально  возможный  размер  убытков  -  это величина премии, уплаченной  за  опцион,  тогда  как  потенциальная  прибыль теоретически неограниченна -  в  случае  значительного  роста  цены  базовых акций в период действия опциона, покупатель может  рассчитывать  на  высокую

прибыль. Особенно привлекательны опционы на акции, рынок которых  отличается резкими  и  сильными  ценовыми  колебаниями,   например,   акции   компаний, производящих компьютерное оборудование  и  программное  обеспечение.Получившая в честь своих авторов название формула Блэка-Шоулза имеет следующий вид:  

(7)   где         (9)    

(8)

где

V

с — текущая  цена опциона «колл»;

Р а —

текущая рыночная цена базисного актива;

Е —

цена исполнения опциона;

R

— непрерывно начисляемая  ставка без риска в расчете  на год;

Т —

время до истечения, представленное в долях в расчете на год;

 

 — риск  базисной обыкновенной акции,  измеренный стандартным отклонением  доходности акции, представленной  как непрерывно начисляемый процент  в расчет на год; 

Е/е Rt —

дисконтированная  стоимость цены исполнения на базе непрерывно начисляемого процента;

N ( d

1

)

и

N ( d

2

) —

вероятности того, что при нормальном распределении  со средней величиной, равной 0, и  стандартным отклонением, равным 1, результат будет соответственно меньше

d

1 и 

d

2

.

     

Данная формула (7) до недавнего времени имела ограниченное применение, поскольку в США опционы являются американскими, т.е. могут исполняться в любой момент времени до даты истечения, тогда как модель Блэка-Шоулза применима для европейских опционов. Вместе с тем это ограничение легко снимается, поскольку инвестору, купившему американский опцион, нет смысла исполнять его раньше даты истечения из-за отсутствия дивидендов на акции.

     

Опцион, который  продается по гораздо более низкой цене, чем полученной по формуле Блэка-Шоулза, является кандидатом на покупку. Опцион, который продается по более высокой цене, — кандидат на продажу. Формула Блэка-Шоулза, как показано выше, применима только к опционам на акции, по которым не выплачиваются дивиденды в течение срока действия опциона. Однако по большинству обыкновенных акций, на которые выписываются опционы, дивиденды, как правило, уже выплачены. Вместе с тем, чтобы обойти этот недостаток применения указанной формулы расчета стоимости опциона, в нее должны быть внесены некоторые изменения, связанные с ценой исполнения опциона.

Пример.

 

Рассмотрим опцион «колл», который истекает через три  месяца

(Т =

0,25) и имеет  цену исполнения 40 дол. 

(Е =

40 дол.), текущий  курс 36 дол. (

V

с = 36 дол.), риск базисной обыкновенной акции 50% (

= 0,5), a ставка  без риска равна 5% (

R

= 0,05). С помощью уравнений (8 и 9) получим следующие значения

d

1 , и 

d

2 :

По специальной  таблице находим величины

N ( d

1

)

и

N

(

d

2 )

Используя уравнение (7), получим действительную стоимость опциона «колл»:

     

Если учесть то, что в настоящее время опцион продается за 5 дол. и в ближайшее время цена его, по-видимому, упадет, то продавец получит премию 5 дол. и сможет также рассчитывать на закрывающую позицию покупки по более низкой цене, что принесет вред доходу от разницы цен. До тех пор пока цена акции не превысит 40 дол., покупатель опциона «колл» не будет его исполнять, а следовательно, ему нет смысла платить высокую премию за опцион.

Действительная стоимость опциона «колл» зависит от пяти переменных,

 

к которым следует  отнести: рыночную стоимость обыкновенной акции

(Р а );

цену исполнения опциона (

E

); продолжительность  времени до даты истечения  (

T

); ставку без  риска 

( R );

риск обыкновенной акции (

).

     

Каждая из указанных  переменных оказывает разное влияние  на действительную цену опциона «колл». Так, чем выше цена базисной акции, тем  больше стоимость опциона «пут». При высокой цене исполнения —  меньше стоимость опциона «колл». Чем больше времени остается до даты истечения опциона «колл», тем больше его стоимость. Высокая ставка без риска обыкновенной акции а определяет повышенную стоимость опциона «колл». Высокий риск обыкновенной акции соответствует большей стоимости опциона «колл». Из указанных пяти переменных влияние первых трех