Бюджетування результативності

Метод пропорційної зміни можна застосовувати на основі даних одного року, але це не рекомендується. У наведеному нижче прикладі використано дані за п’ять років по одній статті. Щоб зробити прогноз по кількох статтях, треба просто повторити застосування цього методу потрібну кількість разів, щоб одержати додаткові прогнози.

ПРИКЛАД VI. Відділ соціальної допомоги міста Гоблер

Динаміка орендної плати

Стаття 1982 1983 1984 1985 1986

Орендна плата $16 940 $16 720 $16 500 $13 243 $13 041

Першим кроком до обчислення пропорційної зміни є збір достатніх даних за попередні роки, як показано в прикладі VI. Наступний крок (2) цього методу полягає в тому, щоб одержати абсолютні значення різниці між окремими роками. У цьому прикладі обчислені значення різниць будуть такими:

ПРИКЛАД VIІ. Відділ соціальної допомоги міста Гоблер

Обчислення різниць

Рік Сума Різниця

1982-1983 $16 940-$16 720 -220

1983-1984 $16 720-$16 500 -220

1984-1985 $16 500-$13 243 -3 257

1985-1986 $13 243-$13 041 -202

Після визначення різниць робимо наступний крок (3), який передбачає визначення процентної зміни одного року порівняно з другим, починаючи з першого набору даних. Формула для розрахунку процентної зміни у цьому разі така: різниця, поділена на суму попереднього року. (Якщо процентна зміна негативна, це показує знак “-“.) У цьому випадку обчислені процентні зміни такі:

ПРИКЛАД VIІІ. Відділ соціальної допомоги міста Гоблер

Обчислення процентних змін

Рік Обчислення Процент

1982-83 -220/16 940 -1,30

1983-84 -220/16 720 -1,32

1984-85 -3 257/16 500 -19,74

1985-86 -202/13 243 -1,53

Після визначення процентних змін між роками робимо наступний крок (4) — визначення найконсервативнішої оцінки на прогнозний період шляхом усереднення значень за попередні періоди (у цьому випадку — 4). Результат цього останнього обчислення: ([( 1,30) + ( 1,32) + ( 19,74) + ( 1,53)] /4) — -5,97. Наступний крок (5): цифра за поточний рік (1986 у цьому прикладі) множиться на середню процентну зміну (тобто 13 041 х –0,597), результат цієї дії — -779 (округлено в бік збільшення) і є прогнозною сумою (скорочення продовжується) на наступний бюджетний рік. По суті, видатки на орендну плату ceterius paribus [лат. — при незмінних інших умовах] у 1987 бюджетному році мають складати $12 262,00. Застосовуючи описані вище принципи, можна одержати прогноз на наступні відрізки часу.

Однак обчислення на основі прикладу VI вказують на ваду методу пропорційних змін, яка може призвести до зниження точності прогнозу: він дуже чутливий до великих коливань. У даному випадку вплив великого коливання посилюється відносно незначною кількістю точок даних. Більше того, якщо дані показують, що в минулому мали місце протилежні тенденції (в деякі роки — зростання, а в інші — скорочення), тоді слід підрахувати середнє зростання, потім проаналізувати річні дані з метою виявлення закономірностей у зростанні та скороченні, якщо вони мають місце, то до застосування середнього значення слід підходити з обережністю. Насамкінець, у випадках, коли мають місце значні коливання, керівник може на основі свого судження застосувати нижчий темп середньої процентної зміни, ніж виходить за обчисленнями, або вдатися до іншого методу прогнозування. Джерджофф та Мердік, наприклад, пропонують, щоб керівник поліпшив передбачення, поєднавши прогнози з застосуванням певного набору вхідних припущень та вибірково застосовуючи судження.

Прогноз на основі ковзного середнього

Методика прогнозування за допомогою ковзного середнього є поширеним методом згладжування, особливо корисним для керівника при прогнозуванні тенденцій в разі нерегулярного або вибіркового характеру даних (напр., тенденції — сезонні чи циклічні) і коли нема ні часу, ні ресурсів, щоб розробити або застосувати складніші методи. Цей метод, аналогічно до інших згладжувальних методів, виходить із припущення про наявність якихось закономірностей у даних за попередні періоди. Метод “згладжує” випадкові дані, щоб відділити закономірності від випадкових коливань. Хоча нема ніяких причин, з яких метод ковзного середнього не можна було б застосовувати для річних передбачень, його, як правило, використовують для передбачень на значно ближчу перспективу. Почасти такий характер застосування пов’язаний із тим, що ефект згладжування на випадкові дані є цінним для тривалого періоду. Якщо цей метод застосовується, наприклад, для чотирьох відрізків часу, згладжувальний вплив є недостатньо відчутним і результати — відносно безплідними. Цей метод полягає просто в тому, що береться набір даних, визначається їхнє середнє, а потім це середнє застосовується для прогнозування на наступний період. Він не особливо корисний для прогнозування більш як на один період вперед, оскільки в цьому випадку братиметься середнє від середнього. При застосуванні методу ковзного середнього бажано мати велику кількість спостережень (точок) за певний час (напр., помісячні дані за рік, річні дані за багато років). Попри цю останню вимогу, метод ковзного середнього можна проілюструвати, взявши за основу дані по місту Гоблер. Спершу керівник має визначити період / кількість спостережень, які буде представляти ковзне середнє, наприклад, 3 тижні, 3 місяці, 3 роки. Цей період залишається незмінним під час усіх обчислень, хоча конкретні значення можуть мінятися в міру того, як в нього додаються нові спостереження і виключаються інші; звідси й назва “ковзне середнє”. У наведеному нижче прикладі було вибрано період у 3 місяці, що пов’язано з застосуванням у місті Гоблер поквартальної системи асигнувань (тож, якщо, проводячи моніторинг видатків на цю статтю, керівник прогнозує істотну зміну в цій галузі, то можна буде звернутися до тих, хто приймає рішення, по додаткові кошти або зробити внутрішній перерозподіл).

Виходячи з того, що щомісячні витрати на зв’язок є відносно рівномірними, орієнтований на результат керівник Відділу соціальної допомоги міста Гоблер знає, що середні витрати мають становити близько 1096,00 доларів, але відзначила, що за останні місяці витрати, здається, відходять від цієї норми, і вона починає одержувати особливо гострі запитання в ході щомісячного розгляду асигнувань у місцевій Раді соціальної допомоги та на правлінні, оскільки постійно мусить звертатися по затвердження поправок до бюджету. Тож ми можемо зрозуміти її інтерес до більш систематичного аналізу ситуації, включаючи прагнення спрогнозувати витрати на майбутнє.

ПРИКЛАД ІХ. Прогноз на основі ковзного середнього

Відділ соціальної допомоги міста Гоблер

Помісячні витрати на зв’язок з 1.01.87 по 1.31.88

Місяць Період Витрати Ковзне середнє за 3 місяці

Січень 1 $ 998 ****

Лютий 2 1085 ****

Березень 3 1142 ****

Квітень 4 1096 $1075

Травень 5 1084 1108

Червень 6 1005 1107

Липень 7 1085 1062

Серпень 8 970 1058

Вересень 9 1145 1020

Жовтень 10 1150 1067

Листопад 11 1070 1088

Грудень 12 1240 1122

Січень 13 1092 1153

Лютий 14 **** 1134 Прогноз

Лютий 14 **** 1134 Прогноз

Березень 15 **** 1155 Прогноз

Квітень 16 **** 1127 Прогноз

Травень 17 **** 1139 Прогноз

Обчислимо ковзне середнє за 3 місяці для періоду 4. Ця сума визначається як середнє за періоди 1-3 (тобто 998+1085+1142 = 3225/3 = 1075). Ковзне середнє для періоду часу 5 (травень) є функцією середнього за періоди 2-4 (тобто лютий, березень та квітень). Інші значення з’явилися аналогічним чином, відповідно до прогнозного значення за період 14 (воно обчислене так: 1070+1240+1092 = 3402/3 = 1134). Щоб продемонструвати закономірність, що спостерігатиметься в наступні місяці, обчислення було проведено аж до періоду 17 (травень 1988 р.).

При продовженні обчислень прогнозні значення було використано так, ніби вони мали місце фактично. Наприклад, щоб одержати прогноз на березень, було використано фактичні значення за грудень та січень і прогнозне значення за лютий (тобто 1240+1092+1134 = 3466/3 = 1155); при прогнозуванні видатків на зв’язок за квітень було використано фактичне значення за січень і прогнозні — за лютий та березень (тобто 1092+1134+1155 = 3391/3 = 1127); нарешті, при прогнозуванні на травень було використано прогнозні значення за лютий, березень та квітень (тобто 1134+1155 + 1127 = 3416/3 = 1139). Очевидно, що при прогнозуванні видатків на березень, квітень та травень дедалі більшою мірою зростає небезпека помилки у зв’язку з тим, що дедалі більшою мірою застосовуються прогнозні цифри, а не фактичні дані.

Існує три основні обмеження на застосування методу ковзного середнього. По-перше, цей метод більш підходить там, де в кожному наступному періоді, відбуваються лише невеликі зміни (хоча можуть бути випадки істотної варіації в періоді, протягом часового горизонту має бути відносна стабільність). По-друге, часовий горизонт прогнозу має бути відносно коротким. По-третє, якщо прогнозована змінна, що лежить в основі закономірності, коливається, то метод може бути непридатним (Wheelwright, Makridakis, p. 34). Існують і простіші методи для аналізу рядів даних, наприклад, графік часових рядів, але вони не дозволяють одержати точний прогноз. Однак саме такий прогноз дає метод ліній трендів найменших квадратів.

Метод ліній трендів найменших квадратів

Метод трендів найменших квадратів є методом прогнозування, який застосовується, мабуть, найчастіше і подеколи неправильно. Він описується майже в кожному підручнику з техніки складання бюджету та статистики. Основна проблема з його застосуванням полягає, мабуть, у тому, що ті, хто ним користуються, застосовують лише одну незалежну змінну — час, але часто намагаються стверджувати, що тенденція представляє й інші, залежні, змінні. Нерідко вони намагаються твердити про наявність причинно-наслідкового зв’язку. Як правило, речі з часом міняються і за допомогою методу найменших квадратів можна побачити характер та напрямок зміни; однак орієнтований на результат керівник має з обережністю інтерпретувати його результати, бо вони не можуть пояснити надто багато речей чи служити їм обґрунтуванням. За своєю суттю, метод найменших квадратів допомагає “підігнати” пряму лінію до варіацій у ряду точок даних у часі і виходить, ceterius paribus, з того, що тренд можна продовжити в майбутнє. У прикладі Х показано дуже прості дані по з видатків Відділу соціальної допомоги міста Гоблер.

ПРИКЛАД Х. Прогноз на основі лінії тренду найменших квадратів

Відділ соціальної допомоги міста Гоблер

Оплата праці 1983-1987

Бюджетний рік Видатки

1981 $178 643

1982 186 520

1983 194 674

1984 202 765

1985 240 642

1986 248 709

Всього $1 251 953

Першим кроком у розробці прогнозу лінії тренду найменших квадратів є визначення центрального періоду ряду. Якщо ряд складається з непарної кількості спостережень, центральним є середнє спостереження. Якщо ж кількість спостережень парна, проблема розв’язується шляхом вибору середньої точки між двома центральними періодами. Після визначення центральної точки рахуються часові періоди від центральної точки. У разі парної кількості спостережень двом центральним точкам присвоюється значення –0,5 (для першої центральної точки) та 0,5 (для другої), а значення для наступних періодів збільшуються на 1 для кожного подальшого. В разі якщо число спостережень непарне, центральному періоду присвоюється значення 0, а наступним — значення, що зростають на 1 у кожному наступному порівняно з попереднім. Це показано в стовпчику В прикладу ХІ, а деякі необхідні наступні обчислення пояснюються нижче.

ПРИКЛАД ХІ. Перетворення прикладу Х

Бюджетний рік Сума

Кількість років від центральної точки Добутки К-сть років, піднесена до квадрату

(А) (В) (С) (В) х (С) (С) х (С)

1981 $178 643 -2,5 -446 608 6,25

1982 186 520 -1,5 -279 780 2,25

1983 194 674 -0,5 -97 337 0,25

1984 202 765 0,5 101 383 0,25

1985 240 642 1,5 360 963 2,25

1986 248 709 2,5 621 773 6,25

$1 251 953 260 394 17,50

Після визначення номерів періодів часу від центральної точки (С), наступний крок (2) полягає у визначенні відповідних векторних добутків суми (В) та номеру періоду часу від центральної точки (С). Третій крок у процесі визначення найменших квадратів — піднесення до степеня відповідних номерів періодів часу (С х С).

Наступний крок (4) методу найменших квадратів — визначення нахилу лінії тренду. Це обчислюється так:

Нахил = сума векторних добутків / сума квадратів номерів періодів.

У цьому випадку нахил дорівнює 14 879,66 (= 260,394/17,5). П’ятий крок у цьому процесі — визначення рівня центрального періоду. Це визначається так:

Рівень у центральному періоді = загальна сума зборів / кількість періодів, або 208 658,83 (=1 261 953/6).

Після цих обчислень наступний крок (6) полягає у визначенні значень лінії тренду за попередні періоди часу та прогнозу на часовий горизонт. Ці обчислення проілюстровані в прикладі ХІІ.

ПРИКЛАД ХІІ. Значення лінії тренду

Відділ соціальної допомоги міста Гоблер

Бюд-жетний рік Рівень у центральний рік К-сть років від центрального Нахил Значення лінії тренду

1981 208 658,83 + (-2,5 x 14 879,66) = 245 858

1982 208 658,83 + (-1,5 x14 879,66) = 230 978

1983 208 658,83 + (-0,5 x14 879,66) = 216 099

1984 208 658,83 + ( 0,5 x14 879,66) = 216 099

1985 208 658,83 + ( 1,5 x14 879,66) = 230 978

1986 208 658,83 + ( 2,5 x14 879,66) = 245 858

1987 208 658,83 + ( 3,5 x14 879,66) = 260 738 (П)

1988 208 658,83 + ( 4,5 x14 879,66) = 275 617 (П)

Обчислення цього кроку передбачають додавання обчисленого рівня центрального періоду до суми часових періодів від центрального періоду, помноженого на відповідний нахил (рівень у центральний період + (значення від центрального періоду х нахил) = значення лінії тренду). Зауважте, що при визначенні кінцевих значень лінії тренду знак мінус опускається. Це робиться тому, що від’ємні точки не мають арифметичного значення для цього представлення даних. Зауважте також, що тепер існують прогнози на 1987 та 1988 бюджетні роки. Після завершення застосування найменших квадратів результати на зразок представлених у прикладі ХІІ можна нанести на міліметрівку.

У статистичних графіках прийнято використовувати вісь У для залежної змінної, а Х — для незалежної. Оскільки залежна змінна проектується з незалежної (тобто значення першої залежить від значення останньої), видатки на оплату праці (залежна змінна) у цьому прикладі відкладаються по вісі У, а час (незалежна змінна) — по вісі Х. Оскільки тренд найменших квадратів часто інтерпретується невірно, породжуючи тим самим розходження в поглядах, важливо зауважити, що це застосування статистики найменших квадратів обов’язково передбачає, так само як і застосування кореляційного аналізу, що між Х та У є зв’язок, який може бути виражений лінійно, по суті, що Х викликає У. Очевидно, що час сам по собі не викликає підвищення (чи зниження) зарплати. Орієнтований на результат керівник визнає такі можливості, інтерпретуючи результати лінії тренду найменших квадратів з двома змінними. Більше того, оскільки пряма лінія є конкретним рядом сполучених між собою точок, її можна провести через будь-який ряд точок (перетинів), застосовуючи статистику найменших квадратів.

Усвідомлення цієї математичної залежності допомагає орієнтованому на результат керівнику визнати, що, коли нема фактичної, відносно лінійної залежності між двома змінними, то, можливо, доведеться застосувати інший метод прогнозування і вдатися по допомогу інших фахівців. Хоча існують статистичні розрахунки, що дозволяють визначити ступінь лінійності зв’язку, керівник може швидко відчути характер лінії тренду, нанісши залежність на міліметрівку.

Наносячи на графік фактичні значення, тренд та його продовження (прогноз), орієнтований на результат керівник одержує чудовий візуальний засіб, що дозволяє зрозуміти закономірність (показуючи його, наприклад, тим, хто приймає рішення, керівник може нанести фактичні значення, значення лінії тренду та прогнозні значення у відповідних точках чи перетинах).

Як показано, метод тренду найменших квадратів є прогнозом. Коли він застосовується для прогнозування, припущення ceterius paribus може становити проблему. Один із методів вирішення цієї проблеми полягає в тому, щоб скоригувати дані на тренд, застосовуючи їхні частки (відсотки) лінії тренду. Обчислення за цим методом відносно прості, вони показані на прикладі ХІІІ.