Статистичне вивичення виробницва молока

 

При правосторонній асиметрії А>0, при лівосторонній А<0, при симетричному розподілі А=0. Вважається, що при |A|<0,25 асиметрія слабка, при 0,25<|A|<0,5 – середня, при |A|> 0,5 - сильна.

Коефіцієнт асиметрії можна також визначити за формулою:

 

 

 

 

 

 

При дослідженні ступеня концентрації одиниць навколо середнього рівня визначають коефіцієнт ексцесу:

 

 

 

При гостровершинному розподілі Е>0, при плосковершинному Е<0, а при  нормальному розподілі Е=0.

за результативною ознакою (урожайність, ц. ).

Знаходимо кількість груп за формулою:

,

де  - кількість груп; - кількість одиниць сукупності.

Отже, нашу загальну кількість підприємств (25) групуємо в 5 груп та визначаємо інтервал за формулою:

де  - найбільше і найменше значення ознаки; - кількість груп.

Отже, будуємо 5 груп з інтервалом 2,8:

Також побудуємо полігон , гістограму, кумуляту та огіву за кожним інтервальним рядом.

 

Однією з кількісних характеристик  статистичних закономірностей є  середня величина, яка здатна відобразити  характерний рівень ознаки, притаманної  усім елементам сукупності. Варіація будь-якої ознаки формується під впливом  двох груп причин — основних, визначальних, які тісно пов'язані з природою самого явища, і другорядних, випадкових для сукупності в цілому.

Середньою величиною в статистиці називають показник, що характеризує рівень варіюючої ознаки в якісно однорідній сукупності. Середні величини використовують для узагальненої характеристики сукупності за істотними ознаками, для порівняння цих ознак у різних сукупностях. В статистиці застосовують різні види середніх величин: середню арифметичну, середню гармонійну, середню геометричну, середню квадратичну. Вибір конкретного виду середньої величини залежить від характеру вихідних даних.

Середня арифметична є найбільш поширеним видом середніх величин. Її застосовують тоді, коли загальний  обсяг варіюючої ознаки для цієї сукупності становить суму індивідуальних значень усередненої ознаки. Середню арифметичну просту визначають за такою формулою:

, де

x₁, x₂,.. – окремі значення ознаки (варіанти);

n – число варіантів.

Середню арифметичну зважену обчислюють за формулою:

, де

f₁, f₂,.. – частоти.

Середня арифметична має певні  математичні властивості, зокрема  такі:

1. алгебраїчна сума відхилень усіх варіант від середньої дорівнює нулю;
2. якщо кожну варіанту зменшити або збільшити на будь-яку постійну величину А, то середня зміниться відповідно на ту саму величину;
3. якщо кожну варіанту розділити чи помножити на будь-яке довільне число А, то середня зменшиться або збільшиться в стільки ж разів;
4. якщо частоту кожної з груп зменшити або збільшити в одне й те саме число разів, то середня при цьому не зміниться. Ця властивість дозволяє зробити висновок, що середня залежить не від абсолютної суми частот, а від їх співвідношення в сукупності, тобто від частки кожної варіанти в сукупності. Тому якщо абсолютні частоти замінити їх частками, то розрахунок середньої в цьому випадку можна записати так: ;
5. сума квадратів відхилень варіант від середньої арифметичної менша, ніж від будь-якої іншої величини, тобто

Третю і четверту властивості використовують для спрощення техніки обчислення середньої з варіаційного ряду розподілу. Але слід зауважити, що це можливо робити тільки тоді, коли варіаційний ряд розподілу в основі своїй має рівні інтервали.

Середню гармонічну використовують для  узагальненої характеристики ознаки тоді, коли відомі окремі значення досліджуваної ознаки і обсяги явищ, а частоти невідомі. Її формула має такий вигляд:

, де

n – кількість варіантів.

На практиці частіше застосовують середню гармонічну зважену, формула якої має такий вигляд:

, де

w – обсяг явищ.

Середню геометричну використовують для обчислення середніх темпів зростання, тобто коли загальний обсяг явищ становить не суму а добуток ознак. Її визначають:

.

Середню квадратичну використовують для оцінки варіації ознак, а також  для узагальнення ознак, виражених  лінійними розмірами яких-небудь площ (для розрахунку середніх діаметрів  стовбурів дерев, листків, кошиків). Її визначають за такими формулами:

– проста;

– зважена.

Мода – це та варіанта, що найчастіше повторюється в ряді розподілу.

В дискретному варіаційному ряді моду легко відшукати візуально, бо це варіанта, якій відповідає найбільша  частота.

В інтервальному ряді моду визначають за допомогою додаткових розрахунків. Спочатку обчислюють модальний інтервал, тобто інтервал, який має найбільшу частоту. Після цього мода визначається приблизно за формулою:

де Mo—мода; X_{Mo min} — нижня межа модального інтервалу; h — величина модального інтервалу; n_Mo — частота модального інтервалу; n_Mo-1 — частота інтервалу перед модальним; n_Mo+1 — частота інтервалу після модального.

Медіана – це варіанта, що ділить ранжирований ряд на дві рівні за чисельністю частини. Якщо непарне число варіант записати в порядку зростання чи спадання, то центральна з них і буде медіаною. Коли число варіант парне, медіана розраховується як середня арифметична двох центральних варіант.

При визначенні медіани за даними ряду розподілу використовують кумулятивні частоти, які полегшують пошук центральної варіанти.

В інтервальному ряді розподілу  аналогічно визначається медіанний  інтервал. Конкретне значення медіани  обчислюється за формулою

де X_{Me min} — нижня межа медіанного інтервалу; h — величина медіанного інтервалу; n_Me — частота медіанного інтервалу; S_Me-1 —сума нагромаджених частот перед медіанним інтервалом.

Мода і медіана — це особливий  вид середніх величин. На відміну  від середньої арифметичної, що є  величиною абстрактною, ці характеристики центру розподілу статистичної сукупності завжди збігаються з конкретними варіантами. Крім того, на їх величину не впливають значення варіант, не характерних для даної сукупності, скажімо, надмірно малі чи надмірно великі. При обчисленні середньої арифметичної до уваги беруться усі без винятку варіанти. Саме через це мода і медіана в окремих випадках мають свої переваги перед середньою арифметичною і використовуються при вирішенні деяких практичних питань. Так, при плануванні обсягу виробництва господарства орієнтуються не на середній товар, а на найбільш «ходовий», тобто модальний. При виборі місця розташування заготівельного пункту зерна в тому чи іншому районі лише медіана визначить «точку», що дає найменшу відстань від тих сільськогосподарських підприємств, які мають здавати зерно саме в цей пункт.

Варіація, тобто коливання, мінливість значень будь-якої ознаки є властивістю  статистичної сукупності. Вона зумовлена  дією безлічі взаємопов'язаних причин, серед яких є основні і другорядні. Основні причини формують центр розподілу, другорядні — варіацію ознак, сукупна їх дія — форму розподілу. Наприклад, урожайність сільськогосподарської культури залежить від якості ґрунту та способів його обробки, якості насіння і кількості внесених добрив, метеорологічних умов і інших об'єктивних та суб'єктивних факторів. Сумісна дія їх і різне поєднання зумовлюють той чи інший рівень урожайності в окремих господарствах, а також закономірність розподілу господарств за цією ознакою.

Статистичні характеристики центру розподілу (середня, мода, медіана) відіграють важливу роль у вивченні статистичних сукупностей. В одних сукупностях індивідуальні значення ознаки значно відхиляються від центру розподілу, в інших — тісно групуються навколо нього, а відтак виникає потреба оцінити поряд з характеристиками центру розподілу міру і ступінь варіації. Чим менша варіація, тим однорідніша сукупність, отже, тим більш надійні і типові характеристики центру розподілу, насамперед середні величини.

Вивчення варіації має велике значення для оцінки сталості та диференціації соціально-економічних явищ, при використанні вибіркового та інших статистичних методів.

Для виміру і оцінки варіації використовують систему абсолютних і відносних  характеристик, а саме: розмах варіації, середнє лінійне і середнє квадратичне відхилення, коефіцієнти варіації, дисперсію. Кожна з названих характеристик має певні аналітичні переваги при вирішенні тих чи інших завдань статистичного аналізу.

Методика обчислення характеристик  варіації залежить від виду ознаки х і наявних даних (не згруповані чи згруповані).

Розмах варіації — це різниця між найбільшим і найменшим значеннями ознаки:

_{R=xmax - xmin.}

Показник характеризує межі, в яких змінюється значення ознаки.

В інтервальному ряді розподілу  розмах варіації визначають як різницю між верхньою межею останнього інтервалу і нижньою межею першого або як різницю між середніми значеннями цих інтервалів. Безумовною перевагою розмаху варіації як міри коливання ознаки є простота його обчислення і тлумачення. Але надійність такої простої характеристики невисока, оскільки вона базується на двох крайніх значеннях ознаки, які часто не є типовими для сукупності, або мають випадковий характер. Тому розмах варіації використовують для попередньої оцінки варіації.

Середнє лінійне і середнє квадратичне  відхилення призначені для вимірювання  варіації ознаки її сукупності. Чим  менша варіація, тим менше значення цих характеристик.

Розглянуті абсолютні характеристики варіації — розмах варіації, середнє  квадратичне і середнє лінійне відхилення — іменовані величини, мають одиниці виміру варіюючої ознаки. При порівнянні варіації різних ознак використовуються відносні характеристики — коефіцієнти варіації, які обчислюють як відношення абсолютних характеристик варіації до характеристики центру розподілу.

Дисперсія – це середній квадрат  відхилень індивідуальних значень  ознаки від їхньої середньої величини.

Середнє квадратичне відхилення –  це корінь квадратний з дисперсії.

_d=

Обчислимо характеристики інтервальних рядів розподілів.

Таблиця 2.4.

Інтервальний ряд розподілу  господарств за виробництва молока

Інтервал	Частота,n	Середина ряду,y	Кумулятивна частота	yn	n/y	y2n	yn	|y-yс|n	(y-yс)2n
21,14-23,93	4	22,535	4	90,14	0,178	2031,30	257887,47	22,32	124,55
23,93-26,72	8	25,325	12	202,6	0,316	5130,85	169198158599,56	22,32	62,27
26,72-29,51	8	28,115	20	224,92	0,285	6323,63	390395409886,48	0,00	0,00
29,51-32,30	4	30,905	24	123,62	0,129	3820,48	912252,35	11,16	31,14
32,30-35,09	1	33,695	25	33,695	0,030	1135,35	33,70	5,58	31,14
Разом	Сер., Y	28,115	Сума	674,975	0,937	18441,60	559594738659,56	61,38	249,09

 

Спочатку перевіримо мажорантність  середніх. Для цього обчислимо:

• Середнє арифметичне: ;
• Середнє гармонійне: ;
• Середнє квадратичне відхилення: ;
• Середнє квадратичне: ;
• Середнє лінійне відхилення: ;

Бачимо, що , тобто правило мажорантності середніх виконується. Знайдемо інші характеристики:

• Мода: ;
• Медіана: ;
• Розмах варіації: ;
• Дисперсія: ;
• Квартилі:

=23,93+2,8*

• Децилі:

D₂ = 24,28

D₃ = 25,15

D₄ = 26,02

D₅ = 29,68

D₆ = 27,77

D₇ = 27,77

D₈ = 29,51

D₉ = 28,12

 

 

Таблиця 2.6.

Інтервальний ряд розподілу  господарств за

витрат кормів на виробництво 1ц молока,%

Інтервал	Частота,n	Середина ряду,y	Кумулятивна частота	xn	n/x	x2n	xn	|x-xс|n	(x-xс)2n
1,30-1,50	7	1,408	7	9,86	4,972	13,88	10,97	2,74	1,08
1,50-1,70	13	1,604	20	20,85	8,105	33,45	465,22	2,55	0,50
1,70-1,90	2	1,8	22	3,60	1,111	6,48	3,24	0,00	0,00
1,90-2,10	2	1,996	24	3,99	1,002	7,97	3,98	0,39	0,08
2,10-2,29	1	2,192	25	2,19	0,456	4,80	2,19	0,39	0,15
Разом	Сер.	1,8		40,49	15,646	66,58	485,60	6,08	1,81