все затраченное время

     Среднее время, затраченное =  --------------------------------------

               на одну деталь                              число деталей 

     Число деталей, изготовленных каждым рабочим, определяется отношением всего времени  работы к среднему времени, затраченному на одну деталь. Тогда среднее время,  необходимое для изготовления одной детали, равно:

        

     Это же решение можно представить  иначе:

     

     Таким образом,  формула для расчета  средней гармонической простой будет иметь вид:

     

     Средняя гармоническая взвешенная:

      , где f=w/x

     Например, необходимо определить среднюю цену 1 кг картофеля по трем коммерческим магазинам (таблица 5): 
 
 
 
 

     Таблица 5 - Цена и выручка от реализации по трем коммерческим магазинам.

 

       

     Исчисление  средней гармонической взвешенной освобождает от необходимости предварительного расчета весов,  поскольку эта  операция заложена в саму формулу. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1.3.3 Средняя геометрическая

 

     Средняя геометрическая применяется в тех случаях, когда индивидуальные значения признака представляют собой, как правило, относительные величины динамики, построенные в виде цепных величин, как отношение к предыдущему уровню каждого уровня в ряду динамики, т.е. характеризует средний коэффициент роста.

     Средняя геометрическая исчисляется извлечением корня степени и из произведений отдельных значений — вариантов признака х:

      

     где n — число вариантов;

     П — знак произведения.

     Наиболее  широкое применение средняя геометрическая получила для определения средних темпов изменения в рядах динамики, а также в рядах распределения. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1.3.4 Средняя квадратическая  и средняя кубическая

 

     В ряде случаев в экономической  практике возникает потребность  расчета среднего размера признака, выраженного в квадратных или кубических единицах измерения. Тогда применяется средняя квадратическая (например, для вычисления средней величины стороны и квадратных участков, средних диаметров труб, стволов и т.п.) и средняя кубическая (например, при определении средней длины стороны и кубов).

     Средняя квадратическая простая является квадратным корнем из частного от деления суммы  квадратов отдельных значений признака на их число:

      ,

     где x₁,x₂,…x_n- значения признака, n- их число.

     Средняя квадратическая взвешенная:

      ,

     где f-веса.

     Средняя кубическая простая является кубическим корнем из частного от деления суммы  кубов отдельных значений признака на их число:

      ,

     где x₁,x₂,…x_n- значения признака, n- их число. 

     Средняя кубическая взвешенная:

      ,

     где f-веса.

     Средние квадратическая и кубическая имеют  ограниченное применение в практике статистики. Широко пользуется статистика средней квадратической, но не из самих  вариантов x, и из их отклонений от средней (х — ) при расчете показателей вариации.

     Средняя может быть вычислена не для всех, а для какой-либо части единиц совокупности. Примером такой средней  может быть средняя прогрессивная  как одна из частных средних, вычисляемая не для всех, а только для "лучших" (например, для показателей выше или ниже средних индивидуальных). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1.3.5 Структурные средние

 

     Для характеристики структуры вариационных рядов применяются так называемые структурные средние. Наиболее часто используются в экономической практике мода и медиана.

     Мода – значение случайной величины встречающейся с наибольшей вероятностью. В дискретном вариационном ряду это вариант имеющий наибольшую частоту.

     В дискретных вариационных рядах мода определяется по наибольшей частоте. Предположим товар А реализуют в городе 9 фирм по цене в рублях:

     44; 43; 44; 45; 43; 46; 42; 46;43;

     Так как чаще всего встречается цена 43 рубля, то она и будет модальной.

     В интервальных вариационных рядах моду определяют приближенно по формуле

      ,

     где - начальное значение интервала, содержащего моду;

      - величина модального интервала;

      - частота модального интервала;

      - частота интервала, предшествующего  модальному;

      - частота интервала, следующего  за модальным.

     Место нахождения модального интервала определяют по наибольшей частоте (таблица 6).

     Таблица 6 - Распределение предприятий  по  численности промышленно - производственного персонала характеризуется следующими данными 
 

 

     В этой задаче наибольшее число предприятий (30) имеет численность работающих от 400 до 500 человек. Следовательно, этот интервал является модальным интервалом ряда распределения.

     Введем  следующие обозначения:

      =400, =100,  =30, =7, =19

     Подставим эти значения в формулу моды и  произведем вычисления:

     

     Мода  применяется для решения некоторых  практических задач. Так, например, при  изучении товарооборота рынка берется модальная цена, для изучения спроса на обувь, одежду используют модальные размеры обуви и одежды и др.

     Медиана - это численное значение признака у той единицы совокупности, которая находится в середине ранжированного ряда (построенного в порядке возрастания, либо убывания значения изучаемого признака). Медиану иногда называют серединной вариантой, т.к. она делит совокупность на две равные части.

     В дискретных вариационных рядах с  нечетным числом единиц совокупности - это конкретное численное значение в середине ряда. Так в группе студентов из 27 человек медианным будет рост у 14-го,  если они выстроятся по росту. Если число единиц совокупности четное, то медианой будет средняя арифметическая из значений признака у двух средних членов ряда. Так, если в группе 26 человек, то медианным будет рост средний 13-го и 14-го студентов.

     В интервальных вариационных рядах медиана  определяется по формуле:

      , где 

     x₀ - нижняя гранича медианного интервала;

     i_Me - величина медианного интервала;

     S_me-1 - сумма накопленных частот до медианного интервала;

     f_Me - частота медианного интервала.

     Пример: 
 

     Таблица 7 -  Распределение предприятий  по  численности промышленно производственного  персонала характеризуется следующими данными 

 

     Определим прежде всего медианный интервал.  В данной задаче сумма накопленных частот, превышающая половину всех значений (41), соответствует интервалу 400 - 500.  Это и есть медианный интервал,  в  котором находится медиана.  Определим ее значение по приведенной выше формуле.

     Известно, что:

     

     Следовательно,

     

     Cоотношение моды, медианы и средней арифметической указывает на характер распределения признака в совокупности, позволяет оценить его асимметрию. Если M₀<Me< имеет место правосторонняя асимметрия. Если же <Me<M₀ - левосторонняя асимметрия ряда. По приведенному примеру можно сделать заключение, что наиболее распространенная численность рабочих является порядка 467,6 чел. В то же время более половины предприятий имеют численность рабочих более 496,6 чел., при среднем уровне 510 чел. чел. Из соотношения этих показателей следует сделать вывод о правосторонней асимметрии распределения предприятий по  численности промышленно - производственного персонала.

     Мода  и медиана в отличие от степенных  средних являются конкретными характеристиками, их значение имеет какой-либо конкретный вариант в вариационном ряду.

     Мода  и медиана, как правило, отличаются от значения средней, совпадая с ней только в случае симметричного распределения частот вариационного ряда. Поэтому соотношение моды, медианы и средней арифметической позволяет оценить ассиметрию ряда распределения.

     Мода  и медиана, как правило, являются дополнительными к средней характеристиками совокупности и используются в математической статистике для анализа формы рядов распределения.

     Аналогично  медиане вычисляются значения признака, делящие совокупность на четыре равные (по числу единиц) части — квартели, на пять равных частей — квинтели, на десять частей — децели, на сто частей — перцентели. 
 

         
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Расчетная часть