По  форме расчета выделяют несколько видов средних величин, которые образованы из единой степенной средней величины. Степенная средняя величина имеет форму:

      ,

где - среднее значение исследуемого явления;

k – показатель  степени средней;

x – текущее значение (вариант) осредняемого признака;

i –i-тый элемент  совокупности;

n – число  наблюдений (число единиц совокупности).

При разных показателях  степени k получаем, соответственно, различные  по форме средние величины. (Табл. 1):

     Таблица 1 - Наименования средних величин по степеням средних.

 

     Выбор формы средней обусловлен исходным соотношением, суть которого приводилась выше. Существует порядок расчета средней величины:

1. Определение  исходного соотношения для исследуемого  показателя.

2. Определение  недостающих данных для расчета  исходного соотношения.

3. Расчет средней  величины.

   Рассмотрим  некоторые виды средних, которые наиболее часто используются в статистике. Для этого введем следующие понятия и обозначения:

     Признак, по которому находится средняя, называемый осередняемым признаком,  обозначим  буквой "х"

Значения признака, которые встречаются у группы единиц или отдельных единиц совокупности (не повторяясь) называются вариантами признака  и обозначаются через x₁, x₂, x₃ и т.д. Средняя величина этих значений обозначается через "  " . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1.3.1 Средняя арифметическая

 

     Средняя арифметическая простая (невзвешенная) равна сумме отдельных значений признака, деленной на число этих значений.

     Отдельные значения признака называют вариантами и обозначают  через х ( ); число единиц совокупности обозначают через n, среднее значение признака - через . Следовательно, средняя арифметическая простая равна:

     

     Например, имеются следующие данные о производстве рабочими продукции  (табл. 2)

     Таблица 2 - Количество изделий, выпущенных за смену 

 

     В данном примере варьирующий признак - выпуск продукции за смену.

     Численные значения признака (16,  17 и т. д.) называют вариантами. Определим среднюю выработку продукции рабочими данной группы:

     

     Простая средняя арифметическая применяется  в случаях,  когда имеются отдельные  значения признака,  т.е. данные не сгруппированы. Если данные представлены  в  виде  рядов распределения или группировок,  то средняя исчисляется иначе.

     Средняя арифметическая взвешенная вычисляется  по формуле  , где f_i - частота повторения i-ых вариантов признака, называемая весом. Таким образом, средняя арифметическая взвешенная равна сумме взвешенных вариантов признака, деленная на сумму весов. Она применяется в тех случаях, когда каждая варианта признака встречается несколько (неравное) число раз.

     Статистический  материал в результате обработки  может быть  представлен не  только  в виде дискретных рядов распределения,  но и в виде интервальных вариационных рядов с закрытыми или открытыми интервалами. В таких рядах условно величина интервала первой группы принимается равной величине интервала последующей, а величина интервала последней группы - величине интервала предыдущей. Дальнейший расчет аналогичен изложенному выше.

     При расчете средней по интервальному  вариационному ряду необходимо сначала  найти середину интервалов. Это и  будут значения x_i, а количество единиц совокупности в каждой группе f_i (таблица 3).

     Таблица 3 - Распределения числа рабочих цеха по возрасту.

 

     Средний возраст рабочих цеха будет равен лет.

Для упрощения  расчета средней используют «способ  моментов» (способ отсчета от условного  нуля).

     Способ  моментов предполагает следующие действия:

     - Если возможно, то уменьшаются  веса.

     - Выбирается начало отсчета – условный нуль. Обычно выбирается с таким расчетом, чтобы выбранное значение признака было как можно ближе к середине распределения. Если распределение по своей форме близко к нормальному, но за начало отсчета выбирают признак, обладающий наибольшим весом.

     - Находятся отклонения вариантов  от условного нуля.

     - Если эти отклонения содержат  общий множитель, то рассчитанные  отклонения делятся на этот  множитель. 
Находится среднее значение признака по следующей формуле

     

,

     где A  - значение одного из центральных вариантов с наибольшей частотой

     i  - величина интервала.

     Пример: А= 45; i=10

     Таблица 4 - Распределение рабочих по возрасту.

 

     x1 – новые варианты признака

      .

      .

     Как видно из примера средняя величина, полученная в результате использования способа моментов отличается от средней, рассчитанной по формуле взвешенной средней. Неточность объясняется, по-видимому, предположением о равномерном распределении единиц признака внутри группы, а так же большим интервалом.

    В практике экономической статистики иногда приходится исчислять среднюю по групповым средним или по средним отдельных частей совокупности (частным средним). В таких случаях за варианты (х) принимаются групповые или частные средние, на основании которых исчисляется общая средняя как обычная средняя арифметическая взвешенная.

     Средняя арифметическая обладает рядом свойств:

     1. От уменьшения или увеличения  частот каждого значения  признака  х в n раз величина средней арифметической не изменится.

     Если  все частоты разделить или умножить на какое-либо число,  то величина  средней не изменится.

     2. Общий множитель индивидуальных  значений  признака  может   быть вынесен за знак средней:

     

     3. Средняя  суммы  (разности)  двух  или нескольких величин  равна сумме (разности) их средних:

     

     4. Если х = с, где с - постоянная  величина, то  .

     5. Сумма отклонений значений признака  Х от средней арифметической  х равна нулю:

       

1.3.2 Средняя гармоническая

 

     Наряду  со средней арифметической, в статистике применяется средняя гармоническая величина,  обратная  средней  арифметической из обратных значений признака. Как и средняя арифметическая, она может быть простой и взвешенной. Применяется она тогда, когда необходимые веса (f_i) в исходных данных не заданы непосредственно, а входят сомножителем в одни из имеющихся показателей.

     Средняя гармоническая простая рассчитывается по формуле 

      ,

     т.е. это обратная величина средней арифметической простой из обратных значений признака.

     Например, бригада токарей была занята обточкой одинаковых деталей в течение 8-часового рабочего дня. Первый токарь затратил на одну деталь 12 мин, второй - 15 мин.,  третий - 11, четвертый - 16 и пятый - 14 мин. Определите среднее время, необходимое на изготовление одной детали.

     На  первый  взгляд  кажется,  что  задача легко решается по формуле  средней арифметической простой:

     

     Полученная  средняя была бы правильной,  если  бы  каждый  рабочий сделал только  по одной детали.  Но в течение дня отдельными рабочими было изготовлено различное число деталей.  Для определения числа деталей, изготовленных каждым рабочим, воспользуемся следующим соотношением: