Ряды динамики

 3. Методы выравнивания ряда динамики

 В статистической практике часто необходимо применение выравнивания. Выравнивание – это приведение в соответствии с данными, непосредственно получаемыми из наблюдения, рядов чисел. Изменяющихся по определенному закону. Если числа, являющиеся результатом наблюдения, на графике дают ломанную, то числа, получающиеся после выравнивания на графике, изображаются плавной кривой. Например, при исчислении возрастного состава населения проявляется так называемая аккумуляция возрастов: опрашиваемые лица округляют свой возраст. В результате перепись дает преувеличенные знания возрастов. Задача выравнивания заключается в его устранении, исходя из предпосылки о плавном характере перехода от численности одного возраста с численности другого возраста. Математически выравнивание заключается в нахождении формулы, связывающей выровненные значения со значениями аргумента, по которому производится выравнивание (в нашем примере – возраста).

 Выравнивание  ряда динамики означает расхождение  основной тенденции развития – операция, используемая для анализа динамических рядов.

 Выравнивание ряда динамики заключается в нахождении плавного уровня, подчиненного некоторым условиям, например, условию его линейной изменяемости или его изменяемости по параболе и т.д.

 Выравнивание  ряда динамики преследует цель выразить общую тенденцию динамического ряда и поэтому является одним из способов анализа динамических рядов.

 Выравнивание (сглаживание) производится тремя методами:

 3.1 Метод укрупнения интервалов

 Один  из наиболее простых приемов обнаружения  общей тенденции развития явления  – укрупнение интервала динамического ряда. Смысл приема заключается в том, что первоначальный ряд динамики преобразуется и заменяется другим, показатели которого относятся к большим по продолжительности периодам времени. Например, ряд, содержащий данные о месячном выпуске продукции, может быть преобразован в ряд квартальных данных. Вновь образованный ряд может содержать либо абсолютные величины за укрупненные по продолжительности промежутке времени (эти промежутки получают путем простого суммирования уровней первоначального ряда абсолютных величин), либо средние величины. При суммировании уровней или при выведении средних по укрупненным интервалам отклонения в уровнях, обусловленные случайными причинами, взаимопогашаются, сглаживаются и более четко обнаруживается действие основных факторов изменения уровней (общая тенденция).

 Применение  метода укрупнения интервалов рассмотрим на основе данных таблицы 6.

 Таблица 6

 Объемы реализованной продукции за 5 год

 Для наглядности построим диаграмму объема реализованной продукции за 12 месяцев.

 Диаграмма 1

 Объем реализованной продукции по месяцам

 Как видим, визуальный анализ данных не позволяет сделать какие-либо выводы о наличии тенденции в данном динамическом ряду: в отдельные месяцы, например, в январе, марте, апреле, мае и июне, объемы реализации продукции возрастали по сравнению с предыдущими месяцами, в остальные периоды – снижались.

 Применим  к исходным данным метод укрупнения интервалов, образовав новый динамический ряд с более крупными временными периодами – кварталами, и рассчитаем средний месячный объем реализации продукции в каждом квартале (табл.7).

 Таблица 7

 Среднемесячные  объемы реализации продукции

 По  данным таблицы 5 построим диаграмму  на основании 4 кварталов.

 Диаграмма 2

 Объем реализованной продукции по кварталам

 Итак, по новым, более крупным интервалам уже четко видно, что значения исследуемого признака в первые 6 месяцев имеет тенденцию к возрастанию, в последние 6 месяцев – к убыванию. 

 3.2 Метод скользящей средней

 Следующий способ выявления тенденции в  динамическом ряду основан на расчете и анализе так называемых скользящих (подвижных) средних.

 Скользящими (подвижными) средними называются средние арифметические значения показателя, исчисленные по новым m-членным укрупненным интервалам. Правила построения этих интервалов следующие. Первый из интервалов включает первые m уровней ряда динамики, второй интервал образуется путем исключения первого члена укрупненного интервала и замены его последующим элементом ряда динамики, имеющим номер (m+1) и т.д. – до включения в интервал последнего уровня ряда. По вычисленным подобным путем подвижным средним делают вывод о существовании тенденции в динамическом ряду.

 Если  в качестве укрупненного интервала  используют период в 3 месяца, то первая подвижная трехчленная средняя  вычисляется как средняя арифметическая их данных за январь, февраль и март, вторая – как средняя арифметическая за февраль, март, апрель и т.д. значения подвижных средних относят к конкретному временному периоду, соответствующему середине укрупненного интервала.

 Проведем сглаживание методом скользящей средней по трем членам (табл.8).

 Таблица 8

 В данном примере первая скользящая средняя относится к февралю, вторая – к марту и т.д.

 На  основе таблицы 8 построим диаграмму скользящего среднего (диаграмма 3).

 На  диаграмме видно, что с января по май включительно выравненные  объемы реализации продукции возрастают, затем, с июля по декабрь – убывают. По сравнению с маем и июлем в июне видно резкий спад реализации продукции, на который могли повлиять различные внешние и внутренние факторы. 

 Диаграмма 3

 Скользящее  среднее

 3.3 Аналитическое выравнивание динамического ряда

 Выравнивание  по прямой – это нахождение плавного уровня ряда в предположении его  изменения по прямой:

  _t = a₀+a₁t,

 где _t – уровень, найденный по уравнению;

 a₀ и a₁ – параметры уравнения, которые при применении способа наименьших квадратов находятся из решения системы нормальных уравнений;

 t – время или иной аргумент.

  Нормальные уравнения служат для  отыскания параметров при выравнивании по прямой, выравнивании параболическом, нахождении корреляционного уравнения и т.д.для выравнивания по прямой _t = a₀+a₁t, система нормальных уравнений принимает вид:

 na₀ + a₁Σt = Σy

 a₀Σt + a₁Σt² = Σyt

    В качестве примера рассмотрим динамический ряд (табл.1) из приложения.

 При нахождении параметров уравнения показатель времени удобно обозначит так, чтобы  выполнялось следующее равенство: Σt = 0. При четном количестве уровней в середине ряда находятся два момента (периода) времени. Одному из них присваивают значение t = -1, а другому t = +1. тогда предыдущие моменты времени получают значения -2, -3 и т.д., а последующие значения - +2, +3 и т.д.

  При подобном способе обозначения  система уравнений упрощается

 na₀ = Σy

 a₁Σt² = Σyt

 Тогда коэффициенты уравнения a₀ и a₁ находят следующим образом:

 a₀ =

 a₁ =

 Определим по данным таблицы 1 из приложения, в котором представлен ряд динамики с четным числом уровней, параметры прямой (табл.9).

 Таблица 9

 Расчетная таблица для определения параметров прямой