Простейшие методы статистической обработки материалов психологических исследований

Нужно вычислить все величины, входящие в эту формулу. Для получения S используется формула:

Извлекая корень из полученной величины, узнаем значение S. Остается произвести по формуле все вычисления.

Ниже приводятся ряды, полученные в эксперименте (числа заимст­вованы из кн.: Бейли Н. Статистические методы в биологии. М., 1964).

При вычислении t при попарном сравнении число степеней сво­боды равно п -1. По таблице уровней значимости для t находим, что для 7 степеней свободы ^о,95 должно быть не менее 2,36. По­скольку получена большая величина, следует признать, что налицо статистически значимое влияние занятий физкультурой на самочув­ствие школьников.

Из непараметрических методов для попарного сравнения удобен для пользования критерий Уилкоксона, правда, на небольших вы­борках этот критерий оказывается недостаточно мощным; его лучше применять на выборках объемом от 12 и более элементов.

Небольшие по объему выборки, однако, удобны для наглядного последовательного изложения техники расчетов.

Для использования этого критерия (его называют также знаково-ранговым) следует проранжировать, сначала не обращая внимания на знаки, весь перечень разностей между рядами «до» и «после». Если разность у отдельных испытуемых и в отдельных случаях ну­левая, то она из ранжирования исключается и не входит в сумму рангов. В этом примере таких разностей (равных нулю) не встреча­ется.

Далее нужно суммировать раздельно ранги разностей с положи­тельным знаком и ранги разностей с отрицательным знаком. Значе­ние критерия Т равно меньшей по абсолютной величине сумме рангов.

В этом примере Т = 3,5.

Кружком обведены ранги разностей с отрицательными значениями.

Но прежде чем отыскивать уровень значимости Т, нужно обра­тить внимание на то, что в данном случае критерий Уилкоксона — это двусторонний критерий. Как это понимать? Различают односто­ронние и двусторонние критерии. Отвергая нуль-гипотезу, выдвига-ют альтернативную ей гипотезу. При этом возникает вопрос: в ка­кую сторону направлено отличие альтернативной гипотезы от Но — в положительную или отрицательную. Если исследование предпола­гает равно возможными и ту, и другую направленности, следует принять двусторонний критерий. Возможна вместе с тем такая по­становка исследования, когда учитывается лишь одна направлен­ность результатов. Так, сравнивая две выборки учащихся по освое­нии ими научных химических понятий, исследователь ставит огра­ниченную задачу — рассмотреть только возможность преобладания в этом освоении одной выборки над другой. В этом исследовании применим односторонний критерий.

При описании статистических методов всегда указывается, какого рода критерий подлежит применению — односторонний или двусто­ронний. В таблицах уровней значимости обычно значения для односто­роннего и для двустороннего критериев даются либо в особых столб­цах, либо в таблице указывается, какому значению одностороннего критерия соответствует значение двустороннего, и наоборот.

Возвращаясь к рассматриваемому примеру, следует признать, что для него при обработке с помощью критерия Уилкоксона применим двусторонний критерий: различия между показателями «до» и «пос­ле» в одних строках положительные, в других отрицательные, учи­тываются те и другие.

В таблице уровней значимости для критерия Т, имея в виду, что критерий двусторонний, находим, что для 0,95 уровня значение Т должно быть не более 3. Поскольку получено значение Т = 3,5, Яо не следует отклонять.

Следовательно, критерий t Стьюдента свидетельствует о том, что Яо подлежит отклонению, а Г-критерий Уилкоксона свидетель­ствует о том, что нуль-гипотезу отвергать не следует. Такого ро­да расхождения, особенно при работе с небольшими выборками, вполне возможны. То, что критерий Уилкоксона Т всего на 0,5 превысил установленный уровень значимости, говорит о том, что при увеличении объема выборки в 1,5 или в 2 раза критерий Т также окажется значимым. В параграфе, где пойдет речь о пла­нировании эксперимента, еще предстоит рассмотреть вопрос об объеме выборок.

Сравнение нескольких выборок по Уилкоксону. Иногда ис­следователю приходится сравнивать не две, а несколько выборок: три, четыре и более. В таких случаях следует обратиться к просто­му и достаточно мощному непараметрическому критерию, пред­ставляющему собой модификацию критерия Уилкоксона. Метод позволяет сравнивать выборку с любой другой — вторую с третьей, первую с четвертой и т.д. Нужно, чтобы выборки были равными по численности.

Допустим, что учащимся 8-х классов четырех различных школ был предложен тест умственного развития. В школах использова­лись различные методы обучения и воспитания. Умственное разви­тие, как можно полагать, формировалось в каждой выборке в осо­бых условиях. Эти условия и могли определить различия между выборками. Взято по 10 учеников из каждой школы. Их результаты и даны в таблице (табл. 3).

Объединим результаты четырех школ в один ряд и проранжируем его. Для этого расположим ряд в порядке его возрастания и перене­сем полученные ранги в таблицу (табл. 4).

Подсчитаем сумму рангов по каждой школе.

Проверочная формула: ZR = —(N + 1) = 820, где N — общее число элементов, включающее все выборки. В этом примере оно равно 40.

Далее суммы рангов по выборкам размещаются в матрице.

На пересечении строк и столбцов указываются разности, показы­вающие, насколько отличается сумма рангов каждой выборки от других выборок.

По таблице значимости устанавливается, что при п = 10 (учиты­вается объем отдельной выборки) и при четырех условиях достига­ют уровня значимости 0,95 — величина 134 и более, а уровня зна­чимости 0,99 — величина 163 и более. Следовательно, существен­ное статистически значимое различие имеется между 1-й и 4-й вы­борками и между 2-й и 4-й выборками; в последнем случае на уров­не значимости 0,99.

Корреляции. В примере, рассмотренном выше (С. 260), сравни­вались два ряда чисел, представляющие два ряда показателей одной и той же выборки; по смыслу задачи нужно было установить, суще­ственная ли разница между этими рядами. Это были ряды, взятые из ситуации «до» и «после». Есть, однако, и многочисленные ситуа­ции, когда исследователь заинтересован не в том, чтобы найти сте­пень существенности разницы между вариационными рядами, а в том, чтобы найти, насколько тесно эти ряды связаны между собой, какова направленность этой связи. Так, группе школьников были предложены два теста, задания которых были построены на мате­риале школьных дисциплин гуманитарного цикла — литературы и истории. Но в первом тесте для выполнения заданий требовалась актуализация умственного действия аналогии, а во втором — умст­венного действия классификации. Данные тестирования представ­лены в двух числовых рядах. Исследователю нужно ответить на во­прос, насколько тесно связаны эти два ряда. При строгой постанов­ке эксперимента это исследование должно было пролить свет на то, какую роль играют умственные действия, указанные выше, на ус­воение знаний в гуманитарном цикле.

Пример. Исследовалась выборка из 15 школьников. Для вычисления коэффициента корреляции, отражающего тесноту связи между двумя рядами, используются как параметрические, так и непараметрические методы.

До перехода к расчетам полезно рассмотреть любые корре­лируемые ряды в их размещении в корреляционной решетке. По оси абсцисс размещаются показатели одного, а по оси ординат — дру­гого ряда.

Теснота связи между рядами благодаря этой решетке становится легко обозримой. На рис. 3 схематически изображены различные виды соотношения коррелируемых рядов. Как видно, схемы отра­жают всего пять различных соотношений.

На схемах можно усмотреть как тесноту связи, так и ее направлен­ность. Схема 3 демонстрирует полное отсутствие связи между рядами; на схеме 5 показана нелинейная связь между рядами, та ее форма, ко­торая показана на этой схеме лишь одна из возможных.

Коэффициент корреляции принимает значение от -1 (схема 4) до +1 (схема 1). В этих пределах возможны все числовые значения коэф­фициента корреляции. Если никакой связи между рядами не суще­ствует, то коэффициент равен 0 (схема 3). В подавляющем боль­шинстве случаев коэффициент составляет величину, не достигаю­щую 1. При положительной корреляции при увеличении числовых значений одного ряда соответственно увеличиваются числовые зна­чения другого ряда. При отрицательной корреляции увеличению чи­словых значений одного ряда соответствует уменьшение числовых значений другого ряда.

Если исследователь убежден в том, что оба коррелируемых ряда можно рассматривать как ряды параметрические, то для вычисле­ния коэффициента корреляции применяется параметрический метод по формуле Пирсона:

Существует много различных видов этой формулы, представляю­щих собой ее преобразования. Исследователь сам выбирает удоб­ную для себя формулу. Об уровне значимости коэффициента корре­ляции судят по табл. 5, причем для г число степеней свободы fd = п - 2, где п — объем выборки.

Вычисление коэффициента корреляции по Пирсону. Ко­эффициент показывает тесноту связи между выполнением задач в тестах «Аналогии» и «Классификации». Данные по тесту «Аналогии» обозначены х, а по тесту «Классификации» — у.

Для упрощения расчетов введены некоторые тождества.