Понятие об устойчивости линейных систем автоматического регулирования

 

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ  И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное  бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Ивановская государственная  текстильная академия»

(ИГТА)

Кафедра А и РЭ

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине «Автоматизация технологических процессов»

 

 

Автор работы     

                                   Подпись                                                           

Специальность     260901 Технология швейных изделий

Номер зачетной книжки   

Факультет  заочных форм обучения

 

 

 

 

 

Иваново 2012

1. Понятие об  устойчивости линейных систем  автоматического регулирования.  Необходимые условия устойчивости.

Устойчивость  линейных систем

Линейные системы обладают рядом особенностей, которые во многих случаях упрощают

анализ устойчивости:

• автономная линейная система (на которую не действуют внешние силы) может иметь

единственное положение  равновесия (в котором все сигналы  равны нулю) или бесконечно много  положений равновесия (шарик на плоской  поверхности);

• устойчивость – это свойство линейной системы, а не отдельного положения равновесия:

или все ее движения устойчивы (асимптотически устойчивы), или все  неустойчивы;

• асимптотическая устойчивость линейной системы «в малом» сразу означает ее устойчивость «в целом», то есть, при любых отклонениях от положения равновесия;

• асимптотически устойчивая система также обладает устойчивостью «вход-выход», а просто устойчивая (нейтрально устойчивая, не асимптотически устойчивая) – нет.

Для того, чтобы получить условия устойчивости, рассмотрим уравнение движения линейной системы, на которую не действуют возмущения.

Устойчивость является одним  из необходимых условий, обеспечивающих нормальное функционирование автоматических систем. Поэтому чрезвычайно важно  выяснить те условия, которые обеспечивают принципиальную работоспособность  системы, ее устойчивость.

Признаком устойчивости САУ  является существование установившегося  состояния. Если отклонение выходной координаты от заданного значения (т. е. ошибка управления) не стремится к постоянной величине или к нулю, а возрастает или испытывает колебания, то САУ неустойчива. Причинами неустойчивости могут быть инерционность элементов и большой коэффициент передачи разомкнутой системы, так как многократно усиленное рассогласование, возвращающееся по цепи обратной связи на вход системы, не успевает из-за запаздывания в инерционных элементах отрабатываться.

Не останавливаясь на теоремах, доказанных Ляпуновым, рассмотрим, как  можно оценить устойчивость линейных систем, описываемых дифференциальным уравнением вида

.

(1)

Решение этого уравнения  содержит две составляющие, одна из которых,   (свободная или переходная составляющая), определяется решением однородного дифференциального уравнения:

(2)

 
при начальных условиях: y= 0; y^/= 0; y^//= 0

В линейных системах, для  которых справедлив принцип суперпозиции,   не зависит от воздействий, а определяется только параметрами системы. В соответствии с определением устойчивости по Ляпунову, САУ асимптотически устойчива, если с течением времени при   свободная (переходная) составляющая решения линейного дифференциального уравнения будет стремиться к нулю. На рис. 1, а показаны  , соответствующие устойчивым, а на рис.  1, б – неустойчивым системам.

Поведение свободной составляющей определяется решением однородного  дифференциального уравнения

,

(3)

 
где   – постоянные интегрирования, зависящие от начальных условий; 
 – корни характеристического уравнения  .

Рис.1. Свободные составляющие переходного  процесса в САУ:  а - в устойчивых, б - в неустойчивых

Для оценки условий устойчивости необходимо выяснить, когда выражение (3) будет стремиться к нулю. Так  как система линейная, на значение свободной составляющей влияют только корни характеристического уравнения, которые зависят от структуры  и параметров системы. Эти параметры  – вещественные числа. Следовательно, вещественными являются и коэффициенты характеристического уравнения, определяемые параметрами системы и их комбинациями, а это означает, что корни уравнения  могут быть либо только вещественными, либо комплексно-сопряженными:

,  ,  .

(4)

Если вещественных корней  , а комплексно-сопряженных  , то свободная составляющая может быть записана в следующем виде:

,

(5)

и  
откуда следует, что  при  тогда и только тогда, когда все  и  отрицательны.

На комплексной плоскости  корней корни с отрицательными вещественными  частями располагаются на левой  полуплоскости и называются левыми, а корни, расположенные в правой полуплоскости, называются правыми.

Необходимое и достаточное  условие устойчивости линейной системы  может быть сформулировано так: линейная система устойчива, если все корни  ее характеристического уравнения  являются левыми.

Так как при расположении корней слева от мнимой оси система  устойчива, а справа неустойчива, то мнимую ось называют границей устойчивости. Если хотя бы один корень расположен на этой оси, то систему нельзя считать работоспособной, потому что малейшие изменения параметров могут привести к потере устойчивости.

Для оценки устойчивости системы  практически не требуется находить корней ее характеристического уравнения  в связи с тем, что разработаны  косвенные признаки, по которым можно  судить о знаках действительных частей этих корней и тем самым об устойчивости системы, не решая самого характеристического  уравнения. Эти косвенные признаки называются критериями устойчивости.

Частотные критерии устойчивости

Они позволяют оценить  устойчивость замкнутых систем косвенным  путем с помощью частотных  характеристик. Доказательство частотных  критериев основано на принципе аргумента.

Принцип аргумента. Оценка устойчивости основана на значении корней характеристического уравнения  . При этом характеристическое уравнение вида

(6)

 
можно представить в форме произведения однотипных сомножителей

.

(7)

Для перехода к частотным  характеристикам вводим замену   и получаем вектор

.

(8)

Угол поворота этого вектора   определяется суммой углов поворота   отдельных сомножителей  :

.

 

Рис. 2. Левый корень

Если корень характеристического  уравнения будет левым  , то вектор   отобразится на комплексной плоскости отрезком АБ (рис. 2). Из рис.  2 видно, что при изменении   от   до   вектор АБ будет вращаться относительно точки А и скользить по мнимой оси от минус бесконечности до плюс бесконечности.

Его результирующий угол поворота составит  .

Для правого корня   результирующий вектор   расположится в правой части комплексной плоскости, а его результирующий угол поворота составит .

Если общее число корней   будет содержать   левых и   правых корней, т.е.  , то

.

Так как  , то

,

(9)

 
что соответствует изменению   от   до  .

Если   изменяется от   до  , то

.

(10)

 
Это и есть математическое выражение  принципа аргумента.

 

Критерий  устойчивости Михайлова

Критерий устойчивости Михайлова  предназначен для оценки устойчивости системы по его характеристическому  уравнению. Устойчивая система содержит только левые корни, т. е.  . И тогда, согласно формуле (5.10), угол поворота характеристического частотного вектора при изменении   от   до   составит , т. е. для устойчивости системы характеристический частотный вектор должен пройти последовательно (поочередно) в положительном направлении (против часовой стрелки)   квадрантов. Вектор начинает движение при   с положительной вещественной оси.

Порядок расчета устойчивости по критерию Михайлова:

1. Записывается характеристическое уравнение замкнутой системы:

.

2. Производится замена   и выделяются вещественная   и мнимая   слагаемые.

Рис. 3. Годографы Михайлова для  систем: а - устойчивых, б - неустойчивых

3. В осях координат  ,   при изменении   от   до   строят характеристический частотный вектор (годограф Михайлова). 
4. По виду годографа Михайлова судят об устойчивости системы. Устойчивые годографы проходят поочередно   квадрантов. На границе устойчивости системы годограф проходит через начало координат.

Различные виды годографов представлены на рис. 3.

Системе, находящейся на границе устойчивости, соответствует  годограф, проходящий через начало координат комплексной плоскости (кривая 3).

 

Критерий  устойчивости Найквиста

Этот критерий позволяет  судить об устойчивости замкнутой системы  по амплитудно-фазовой частотной  характеристике (а.ф.х.)   разомкнутой системы. Условие устойчивости замкнутой системы сводится к требованию, чтобы а.ф.х. разомкнутой системы не охватывала точку  . На рис. 5.4, а характеристики 1 и 4 соответствуют устойчивым системам, характеристика 3 – неустойчивой, а характеристика 2 – нахождению системы на границе устойчивости. Если, например, уменьшить коэффициент передачи в неустойчивой системе, то ее а.ф.х. сожмется к началу координат, в результате чего система станет устойчивой. Наоборот, при увеличении коэффициента передачи характеристика устойчивой системы в конце концов охватит точку   и система потеряет устойчивость.

Рис. 4. Амплитудно-фазовые и логарифмические  частотные характеристики устойчивых и неустойчивых САУ

Данная выше формулировка критерия Найквиста относится к  системам, которые являются устойчивыми  в разомкнутом состоянии. В случае одноконтурной системы устойчивость в разомкнутом состоянии всегда обеспечивается, если система состоит  только из устойчивых звеньев. При наличии  местных обратных связей должна быть еще проверена устойчивость образованных этими связями контуров. Для этого, в свою очередь, может быть применен критерий Найквиста или любой  другой.

Для систем, неустойчивых в  разомкнутом состоянии, критерий Найквиста  имеет такую формулировку: для устойчивости системы в замкнутом состоянии а.ф.х. разомкнутой системы должна охватывать точку  . При этом число пересечений ею отрицательной действительной полуоси левее точки   сверху вниз должно быть на   больше числа пересечений в обратном направлении, где   – число полюсов передаточной функции   разомкнутой системы с положительной действительной частью.

В соответствии с критерием  Найквиста об устойчивости можно  судить не только по а.ф.х., но и совместно по амплитудно-частотной и фазово-частотной характеристикам разомкнутой системы. Обычно при этом пользуются логарифмическими характеристиками, что представляет большое удобство в силу простоты их построения. Согласно критерию Найквиста, для системы, устойчивой в разомкнутом состоянии, условием устойчивости ее в замкнутом состоянии является неохват а.ф.х.   точки  . Последнее имеет место, если при частоте, на которой  , фаза  , т.е. абсолютное значение фазы меньше  . Сказанное непосредственно следует из рис.4 а, б. Таким образом, применительно к логарифмическим характеристикам, если учесть при этом, что значению  соответствует  , критерий устойчивости Найквиста для систем, устойчивых в разомкнутом состоянии, сводится к тому, что л.а.ч.х. должна пересечь ось абсцисс раньше, чем фаза окончательно перейдет за значение  . Или иными словами, на частоте среза   величина фазы должна быть меньше  . Изложенное иллюстрируется рис. 4, б. Здесь изображены л.а.ч.х.   и четыре варианта л.ф.х.  . В случае л.ф.х. 1 и 4 замкнутая система устойчива. Л.ф.х. 2 соответствует нахождению замкнутой системы на границе устойчивости, а л.ф.х. 3 – неустойчивой замкнутой системе.