Понятие об устойчивости линейных систем автоматического регулирования

Для астатических систем и  систем, неустойчивых в разомкнутом  состоянии, требования к л.а.ч.х. и л.ф.х. в отношении устойчивости можно сформулировать, исходя из соответствующих требований к а.ф.х.. В частности, для систем, неустойчивых в разомкнутом состоянии, условием устойчивости в замкнутом состоянии является следующее: при положительной л.а.ч.х. число пересечений л.ф.х. уровня   снизу вверх должно быть на   раз больше числа пересечений в обратном направлении.

При оценке устойчивости систем одного факта устойчивости недостаточно. Необходимо еще оценить величину запаса устойчивости, т. е. степени удаленности системы от границы устойчивости. Система, которая теоретически является устойчивой, но находится очень близко к границе устойчивости, практически при ее реализации может оказаться неустойчивой как вследствие неточности математического описания системы, использованного при оценке устойчивости, так и из-за изменения во времени параметров системы. Основное распространение в качестве меры запаса устойчивости получили вытекающие из критерия Найквиста две величины – запас устойчивости по фазе   и запас устойчивости по амплитуде   в логарифмическом масштабе. Эти величины показаны на рис.  4, б для системы с л.ф.х., представленной кривой 1. Аналогично они могут быть найдены и по а.ф.х.. Запас устойчивости по фазе определяется величиной, на которую должно возрасти запаздывание по фазе в системе на частоте среза  , чтобы система оказалась на границе устойчивости. Запас устойчивости по амплитуде определяется величиной допустимого подъема л.а.ч.х., при котором система окажется на границе устойчивости.

Таким образом, запас по амплитуде  представляет собой запас по коэффициенту передачи   разомкнутой системы по отношению к его критическому по устойчивости значению. Рекомендуется выбирать запас устойчивости по фазе больше  , а запас устойчивости по амплитуде больше 6дБ. Последнее соответствует примерно двойному запасу коэффициента передачи по устойчивости.

Доказательство  критерия Найквиста

Характеристическое уравнение  замкнутой системы

,

(11)

 
в которое входит передаточная функция условно разомкнутой системы

.

(12)

 
С учетом (12) уравнение (11) запишем в  виде

.

(13)

 
Обозначим корни числителя через p₁ ,p₂ , p₃,…p_n , а корни знаменателя уравнения (13) через λ₁, λ₂, λ₃,… λ_n Тогда уравнение (13) можно представить как

.

(14)

При переходе к частотной  функции заменой   получим

.

(15)

На основании принципа аргумента при изменении   от   до   результирующая фаза будет равна сумме углов поворота всех векторов сомножителей числителя и знаменателя.

Для устойчивой замкнутой  системы вектор числителя   повернется при изменении   от нуля до бесконечности на угол  .

Если система устойчива  в разомкнутом состоянии, то вектор   также повернется на угол  . Результирующий угол поворота вектора  будет равен разности углов поворота векторов   и  . Тогда получим  , т.е. приращение аргумента результирующего вектора равно нулю.

С другой стороны, на основании (5.11)

.

(16)

 

Рис.5. К доказательству критерия Найквиста

Изобразим вектор   совместно с вектором   согласно уравнению (16) на комплексной плоскости а.ф.х. разомкнутой системы (рис.5). Для устойчивой системы достаточно, чтобы а.ф.х. разомкнутой системы не охватывала точку с координатами   (только тогда результирующий угол поворота  ).

Для случая, когда система  в разомкнутом состоянии является неустойчивой и имеет   правых корней, то результирующий угол поворота вектора   будет

.

(17)

Это означает, что для  устойчивой системы а.ф.х. должна охватывать точку     раз.

 

Алгебраический  критерий устойчивости Гурвица

Применительно к задачам  теории управления критерий Гурвица  можно сформулировать так: автоматическая система, которой соответствует характеристическое уравнение

,

 
устойчива, если при  a₀>0 положительны все определители   вида

.

(18)

Если хотя бы один из определителей (18), называемых определителями Гурвица, отрицателен, то система неустойчива.

Определители (18) составляют следующим образом: на главной диагонали  записывают все коэффициенты характеристического  уравнения от   до   (в порядке возрастания индекса), затем в каждом столбце выше диагональных коэффициентов записывают коэффициенты с последовательно возрастающими индексами, а ниже – с последовательно убывающими индексами; на место коэффициентов с индексами большими   или меньшими нуля проставляют нули. При этом каждая  -я матрица получается квадратной размером  .

Так как последний столбец  главного определителя   содержит всегда только один элемент  , отличный от нуля, то, согласно известному свойству определителей,

.

(19)

Если главный определитель  , а все остальные определители положительны, то система находится на границе устойчивости. С учетом выражения (5.19) это условие распадается на два:

и  .

(20)

Условию   соответствует один нулевой корень, т.е. апериодическая граница устойчивости, а условию   – пара мнимых корней, т.е. колебательная граница устойчивости.

Как показывает анализ, для  устойчивости систем не выше четвертого порядка необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты характеристического  уравнения и определитель   были положительными.

Критерий Гурвица следует  применять для анализа систем не выше пятого порядка. При более  высоком порядке систем вычисление определителей становится затруднительным  без применения средств вычислительной техники.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Динамические  типовые линейные звенья систем  автоматизации. Характеристики звена  с запаздыванием (передаточная  функция, переходная характеристика  и амплитудно – фазочастотная характеристика)

Функциональные элементы, используемые в автоматических системах, могут  иметь самые различные конструктивное исполнение и принципы действия. Однако общность математических выражений, связывающих  входные и выходные величины различных  функциональных элементов, позволяет  выделить ограниченное число так  называемых типовых динамических звеньев. Каждому типовому звену соответствует  определенное математическое соотношение  между входной и выходной величиной. Если это соотношение является элементарным (например, дифференцирование, умножение, интегрирование и т. д.), то и звено называется элементарным.

Элементы автоматической системы управления химико-технологическими процессами (АСУ ХТП) можно представить  в виде типовых динамических звеньев, а также их соединений (комбинаций).

Динамические звенья называют типовыми, если изменение проходящего

через них сигнала можно  описать алгебраическим или дифференциальным

уравнением не выше второго  порядка (как правило, это линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами).

Звенья, которые описываются обыкновенными  дифференциальными уравнениями  первого и второго порядка, называются типовыми динамическими звеньями.

Типовые динамические звенья являются основными составными частями алгоритмических  структур непрерывных систем управления, поэтому знание их характеристик  облегчает анализ таких систем.

Звеном запаздывания называется звено, передающее сигнал со входа на выход без искажения его формы, но с некоторой задержкой   во времени. Наиболее распространенным в практике автоматических систем является транспортное запаздывание, обусловленное пространственным перемещением элементов, передающих информацию (например, транспортерная лента, полоса прокатываемого металла). К статическим устройствам запаздывания можно отнести различного рода линии задержки электронного или параметрического типа.

В некоторых случаях звено  запаздывания вводится при расчете  системы условно. Для ряда объектов уравнение динамики неизвестно, поэтому  кривую переходного процесса реального  объекта при единичном входном  воздействии аппроксимируют экспонентой  и эквивалентным запаздыванием.

Уравнение звена запаздывания

(1)

 
не является дифференциальным и  относится к классу особых уравнений  со смещенным аргументом.

Рис. 1. Характеристики звена запаздывания

Подстановкой в уравнение  звена значения входной величины   получим его переходную функцию:

,

(2)

а подстановкой   – импульсную:

 

.

(3)

 

Временные характеристики звена  запаздывания показаны на рис. 1, а, б.

На основании теоремы  запаздывания запишем уравнение (4) в изображениях по Лапласу:

(5)

 
и определим передаточную функцию  звена как

.

(6)

А.ф.х. звена

(7)

 
является окружностью единичного радиуса с центром в начале координат (рис. 1, е).

Амплитудная частотная и  фазовая частотная характеристики определяются выражениями:

;

(8)

 

.

(9)

 

Звенья запаздывания ухудшают устойчивость систем и делают их трудно управляемыми.

Звено запаздывания определяет трансцендентный характер характеристического  уравнения системы. Для приведения характеристического уравнения к алгебраической форме трансцендентную передаточную функцию звена раскладывают в ряд Пада и приближенно заменяют ее двумя или тремя членами ряда:

(10)

или

.

(11)

 

 

3. По заданной передаточной функции: W(s)=  . Записать дифференциальное уравнение функции.