Устойчивость систем автоматического управления

ОСНОВЫ ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ

Тема 4. УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

Диплом, это  двадцать минут позора и кусок  хлеба на всю жизнь. Временная функция многовариантна, характеристическое уравнение черт знает какого порядка, но система работает устойчиво. Стоит ли подводить под это дело еще и частотный анализ?

Владимир Кузьмин. Новосибирский геофизик Уральской  школы. ХХ в.

Ты никогда  не будешь достаточно знать, если не будешь знать больше чем достаточно.

     Уильям  Блейк.

Содержание

     Введение.

     1. Критерии устойчивости. Понятие устойчивости системы. Условие устойчивости САУ. Алгебраические критерии устойчивости. Критерий Рауса. Критерий Гурвица.

     2. Частотные критерии устойчивости. Принцип аргумента. Критерий устойчивости Михайлова. Критерий устойчивости Найквиста.

     3. Запас устойчивости систем. Понятие структурной устойчивости. Понятие запаса устойчивости. Анализ устойчивости по логарифмическим частотным характеристикам.

     4. Точность систем. Статическая точность. Динамическая точность.

     5. Качество систем. Показатели качества систем управления. Показатели качества переходного процесса. Последовательное корректирующее устройство. Параллельное корректирующее устройство. Метод Солодовникова. Программы анализа качества процессов управления.

     6. Случайные процессы в системах. Модели случайных сигналов. Фильтрация помех. Фильтр Винера. Частотная характеристика фильтра.

Введение 

     Важнейшей задачей анализа динамических систем управления является решение вопроса об их устойчивости. Техническое понятие устойчивости систем автоматического управления отражает свойство технической системы не только стабильно работать в нормальных режимах, но и "не уходить вразнос" при отклонении всевозможных параметров системы от номинала и влиянии на систему дестабилизирующих воздействий, т. е. способности системе возвращаться к равновесному состоянию, из которого она выводится возмущающими или управляющими воздействиями. Устойчивость системы - техническое требование в ряду более сложных требований, связанных с показателями качества и точности САУ. 

4.1. КРИТЕРИИ  УСТОЙЧИВОСТИ [1, 7, 11, 12].

     Понятие устойчивости системы. Система находится в состоянии равновесия, если при отсутствии воздействия на систему возмущающих факторов ошибка регулирования (разность между заданным и фактическим состоянием системы) стремится к нулю. Под устойчивостью понимается способность динамической системы возвращаться в равновесное состояние после окончания действия возмущения, нарушившего это равновесие. Неустойчивая система после воздействия возмущения удаляется от равновесного состояния или начинает совершать вокруг него колебания с нарастающей амплитудой.

     

Рис. 4.1.1.

     Возникновение неустойчивых (расходящихся) колебаний в системе можно проследить на примере следящей системы с обратной связью (рис. 4.1.1). Допустим, что в установившемся состоянии равновесия при опорном сигнале u_o на регуляторе Р выходное состояние объекта управления ОУ равно y_уст. Это состояние поддерживается сигналом рассогласования е_уст, который формируется в регуляторе Р по разности опорного сигнала и сигнала обратной связи у_ос-уст, т.е. е_уст = u_o-у_ос-уст. В первый момент включения системы в силу инерционности обратной связи у_ос = 0, а, следовательно, e(t) >> е_уст, что вызывает нарастание выходной величины y(t), которая будет стремиться к y(t) >> у_уст по крайней мере, до тех пор, пока сигнал обратной связи не начнет уменьшать значение e(t). Однако значительно возросшая величина y(t) через ОС передается на вход регулятора системы и может настолько существенно уменьшить значение e(t), что это может привести к последующему снижению величины выходного сигнала до значений y(t) << у_уст, т.е. к возникновению колебательного процесса относительно равновесного состояния. При неблагоприятном соотношении параметров системы колебательный процесс может быть незатухающим и даже расходящимся. Пример такого процесса в концертной акустике хорошо известен – свист из динамиков, если коэффициент обратной связи от динамиков на микрофоны на определенных частотах становится положительным.

     Устойчивость  линейной системы определяется не характером возмущения, а структурой самой системы. Говорят, что система устойчива "в малом", если определен факт наличия устойчивости, но не определены ее границы. Система устойчива "в большом", когда определены границы устойчивости и то, что реальные отклонения не выходят за эти границы. Соответственно, и задача исследования систем на устойчивость может быть поставлена двояко:

     1) устойчива ли система при заданном  значении ее параметров;

     2) в каких диапазонах можно изменять  параметры системы, не нарушая ее устойчивости.

     Вторая  задача исследования имеет место при наладке и эксплуатации систем автоматического управления.

     В соответствии с классическим методом  решение дифференциального уравнения для системы ищется в виде:

y(t) = у_св(t) + у_вын(t).                                               (4.1.1)

     Здесь у_св(t) – свободная составляющая, общее решение однородного дифференциального уравнения с нулевой правой частью:

a₀y⁽ⁿ⁾ + a₁y^(n-1) + ... + a_n-1y’ + a_ny = 0,

т.е. когда все внешние воздействия сняты, и состояние системы определяются лишь собственной структурой.

     Функция у_вын(t) представляет собой частное решение неоднородного дифференциального уравнения, под которым понимается уравнение с ненулевой правой частью. Физически это означает, что к системе приложено внешнее воздействие u(t). Поэтому вторая составляющая общего решения называется вынужденной. Она определяет вынужденный установившийся режим работы системы при наличии на входе определенного воздействия u(t) или f(t) после окончания переходного процесса.

     

Рис. 4.1.2.

     Можно провести аналогию между САУ и  пружиной, колебания которой описываются аналогичным дифференциальным уравнением (рис. 4.1.2). Оттянем пружину, а затем отпустим, предоставив ее самой себе. Пружина будет колебаться в соответствии со свободной составляющей решения уравнения, характер колебаний будет определяться только структурой самой пружины. Если подвесить к пружине груз, то на свободные колебания наложится внешняя сила Р. После затухания колебаний, описываемых только свободной составляющей общего решения, система перейдет в новый установившийся режим, характеризуемый вынужденной составляющей у_вын = y(t®∞). Если внешнее воздействие само будет изменяться по синусоидальному закону P = P_o sin(wt+j), то после затухания переходного процесса система будет совершать вынужденные колебания с той же частотой, что и вынуждающая сила, то есть у_вын = y_max sin(wt+j).

     Только  устойчивая система является работоспособной. Основы строгой теории устойчивости динамических систем были разработаны акад. А. М. Ляпуновым в работе «Общая задача об устойчивости движения» (1892 г.). Понятия об устойчивости, вытекающие из этой работы, заключаются в следующем.

     Если  система описывается линейным дифференциальным уравнением, то ее устойчивость не зависит  от величины возмущения. Линейная система, устойчивая при малых возмущениях, будет устойчива и при больших. Нелинейные системы могут быть устойчивы при малых возмущениях и неустойчивы при больших.

      Наглядное представление о системах, устойчивых при малых и неустойчивых при больших возмущениях, дает поведение шара во впадине на рисунке слева. При малых воздействиях на шар и его малых отклонениях не выше края впадины шар возвращается в исходное положение и система шар - поверхность устойчива. При больших воздействиях с отклонением за край впадины шар не возвращается в исходное положение - система неустойчива. Поэтому устойчивость систем исследуется отдельно для случая малых и больших возмущений.

     Проблема  устойчивости обычно возникает в  замкнутых системах из-за влияния обратной связи. Поэтому в дальнейшем устойчивость исследуется на примерах замкнутых систем, хотя методы исследования устойчивости универсальны.

     Условие устойчивости САУ. Применительно к сигналам в САУ частное решение для вынужденной составляющей обычно имеет простой вид, не влияющий на устойчивость. Вопрос устойчивости сводится к выяснению устойчивости свободного движения системы и требует анализа характера решения уравнения свободного движения, составленного относительно отклонения выходной величины y(t) от установившегося состояния.

     Как известно, передаточная функция любой линейной динамической системы может быть приведена к виду:

W(p) = K(p)/H(p) =

= [b₀p^m+b₁p^m-1+…+b_m-1p+b_m] / [a₀pⁿ+a₁p^n-1+…+ a_n-1p+a_n],                   (4.1.2)

где a и b - постоянные коэффициенты, которые представляют собой вещественные числа и выражаются через конкретные физические параметры элементов системы. Полином К(р) может не содержать членов с оператором р и представлять собой произведение коэффициентов передачи звеньев, образующих систему.

     Важнейшим свойством выражения (4.1.2) является условие n≥m, т. е. порядок полинома Н(р) знаменателя передаточной функции не ниже порядка полинома К(р) ее числителя. Это условие вытекает из физических свойств звеньев реальных динамических систем.

     Из  выражения (4.1.2) передаточной функции системы можно получить дифференциальное уравнение системы в целом, как в разомкнутом, так и в замкнутом состоянии.

     Уравнения разомкнутых систем. Если выражение (4.1.2) является передаточной функцией разомкнутой системы, то выражение

u(р) К(р) = y(p) Н(р),                                               (4.1.3)

будет представлять собой операторное  уравнение разомкнутой системы (уравнение  в изображениях переменных). Положив в (4.1.3) u(p)=0, получим операторное уравнение свободного движения в разомкнутой линейной динамической системе:

y(p) H(p) = 0.                                                     (4.1.4)

     Переходя  в (4.1.4) к оригиналам, т. е. от операторного уравнения к дифференциальному, и обозначив y(t) = х, получаем дифференциальное уравнение свободного движения в разомкнутой линейной динамической системе

a₀dⁿx/dtⁿ + a₁ d^n-1x/dt^n-1 +…+ a_n-1 dx/dt +a_n = 0                          (4.1.5)

     Характеристическим  уравнением, соответствующим дифференциальному  уравнению (4.1.5), будет

Н(р) = 0,    a₀pⁿ+a₁p^n-1+…+ a_n-1p+a_n = 0.                              (4.1.6)

     Отсюда  следует: приравненный нулю знаменатель передаточной функции разомкнутой линейной динамической системы является характеристическим уравнением, соответствующим дифференциальному уравнению разомкнутой системы. В связи с этим многочлен Н(р)=0 называется характеристическим оператором системы.

     Уравнение замкнутых систем. Пусть (4.1.2) является передаточной функцией разомкнутой системы. Для замкнутой системы в силу отрицательной главной обратной связи имеем u(t) = -y(t), и (4.1.3) принимает вид -К(р) y(р) = Н(р) y(р). Операторное уравнение свободного движения в замкнутой системе:

[К(р)+Н(р)]y(р) = 0,                                               (4.1.7)