Квантовая механика

Гипотеза  об электронном спине

У электрона  есть собственный магнитный момент

L_s – спиновый механический момент (момент импульса)

P_ms – спиновый магнитный момент

1925 Гаудсмит  и Уленберг (1я теория. не прошла.)

S=1/2    m_s = +-1/2

L_s = sqr(S(S+1)) ħ  L_s = sqr(3) ħ /2

S – спиновое квантовое число

|P_ms|  = e L_s  / m = (e ħ / m) sqr(S(S+1)) = sqr3 μ_б

Проекция на выбранное направление z:

P_msz  = e L_sz  / m = e sqr3 m_s ħ / m 2 = +- μ_б

L_sz  = m_s ħ

Электрон движется по орбите. У него будто маленькая магнитная стрелочка.

Объяснение расщепления спектральных линий:

Без учета спина:

С учетом спина:

Уровень расщепляется, линии носят дублетный характер

Тонкая структура  линий.

Глава 6. Применение квантовой  механики.

§1 Принцип Паули (1925).

Состояние электрона  в атоме характеризуется квантовыми числами:

Главное квантовое  число: n=1,2,3..  E=-(1/n²)(k²me⁴/2 ħ ²)

Магнитное квантовое  число: l=0,1,…,n-1  L= sqr(l(l+1)) ħ

Орбитальное квантовое  число: m_l=0,+-1,…,+-l L_z  = m_l ħ

Спиновое квантовое  число: m_s = +- ½  P_msz  = +- μ_б

В атоме не может быть 2х одинаковых электронов, находящихся в 1м и том же состоянии, кот. Характеризуется одним и тем же набором квантовых чисел.

Сколько электронов может быть в атоме при значении n? – 2n² эл

§2 Распределение электронов в сложных атомах по оболочкам. Таблица Менделеева.

Принцип Паули определяет возможное количество электронов в атоме.

n=1 K-оболочка l=0 m_l=0    m_s=+-1/2 2 эл

n=2 L-оболочка l=0,1 m_l=0,-1,0,1   m_s=+-1/2 8 эл

n=3 N-оболочка l=0,1,2 m_l=0,-1,0,1,-2,-1,0,1,2 m_s=+-1/2 18 эл

n=4 M-оболочка 32 эл

электроны располагаются  не произвольно а по оболочкам

распределение электронов по оболочкам

n	оболочка	подоболочки					Всего эл.
		S(l=0)	P(l=1)	d(l=2)	f(l=3)	g(l=4)
1	K	2					2
2	L	2	6				8
3	M	2	6	10			18
4	N	2	6	10	14		32
…	…	…	…	…	…	…	…

Таблица Менделеева

I период {1.водород H – 1S¹

2.гелий He – 1S²}

II период {3.литий Li – 1S²2S¹

4.бериллий Be – 1S²2S²

10. Ne - 1S²2S²2p⁶}

§3 Спектр сложных атомов.

1.Рентгеновские спектры.

λ = (10 ^-12 – 10 ^{- 8}) м

U = (10 ^-4 – 10 ⁸) В

Подогревный катод  нужен чтобы испускать электроны

На фоне сплошного  спектра выделяются спектральные линии

2.Тормозное  рентгеновское излучение  (белое)

- сплошная часть  спектра

Высокое U сообщает высокую V электрону

T=eU

Энергия большая

hν_max = eU = hC/λ_min

Коротковолновая граница тормозного рентгеновского излучения λ_min= hC/ eU

Тормозное рентгеновское  излучение не зависит от материала  катода и анода.

При увеличении U излучение становится более жестким, λ_min смещается в сторону коротких длин волн.

U₂>U₁

Характеристическое  рентгеновское излучение

Зависит от материала  анода

У каждого элемента свой спектр

Возникает если электрон имеет достаточную энергию  для того чтобы выбить какой-либо электрон с оболочки

k_α, k_β, k_γ,.. серия k

аналогичная L серия с L оболочкой

самое жесткое излучение: k серия

k_α – бОльшая интенсивность

k_γ – бОльшая частота

sqr(ν) = a (z - b) – закон Мозли

a – константа в пределах каждой серии. z – порядковый нормер. b – константа экранирования в пределах серии.

Можно переписать его подобно сериальной формуле для оптических спектров:

1/λ = R (z - b)²(1/n_i²-1/n_j²)

R = 1,1 10 ^–7 м ^–1

a = R (1/λ) (1/n_i²-1/n_j²)

k – серия: b=1

l – серия: b=7,5

переход электрона  с более дальнего от ядра на ближний  уровень(оболочку) происходит в МП других электронов, они экранируют.

ν = С/ λ

С/ λ = ν = CR(z - b)²(1/n_i²-1/n_j²)

n_i – номер оболочки куда переходит электрон_, n_j – откуда переходит

k-серия как одна серия не наблюдается, происходят и другие серии 

включаем рентгеновскую  трубку, первым появляется тормозное  излучение, увеличиваем U и появляется характеристическое излучение

a = R (1/n_i²-1/n_j²) (1/λ_kα)

(1/λ_kα) = R (z-1)²(1-(1/4))

И оптические спектры  и рентгеновские спектры могут  наблюдаться на 1 объекте.

Рентг – с  глубоких оболочек, близких к ядру

Оптич – (не обязательно  выбивать электроны) воздействие фотона. Перемещение на возбужденный уровень. E меньше.

Природа одинаковая – электромагн. Волны.

Глава 7. Элементы квантовой  статистики. Проводимость металлов.

§1 Понятие о квантовой статистике.

(вырожд сост – колво частиц = колву состояний

Невырожд сост – колво состояний >> колва частиц)

Классическая  статистика рассматривает идеальный  газ:

f(E,T) = A e ^–E/KT

невырожденные системы:

N/G <<1

N – число частиц, G – число состояний

Рассмотрим движение отдельных частиц. Величины изменяются непрерывно.

Квантовая статистика изучает вырожденные системы.

Условие вырождения: N/G~1

Величины изменяются дискретно. Квантовая статистика изучает  совокупности тождественных частиц (частицы различить невозможно). Замена и перемена 1 частицы другой в системе ничего не меняет.

Функция распределения:

1)Фермионы (S=1/2)(например электрон)

f(E,T) = 1/ (e ^E-μ/KT+1) – функция Ферми-Дирака

её физический смысл: вероятность того что уровень  с энергией E при температуре T занят электроном.

μ – химический потенциал – работа, которую нужно затратить чтобы в изолированной системе с V = const изменить N на 1

2)Бозоны (S=0,1)

 f(E,T) = 1/ (e ^E-μ/KT–1) – функция Боза-Эйнштейна

фермионы –  индивидуалисты, бозоны – коллективисты. Для фермионов работает принцип  Паули (нет 2х электронов в 1 атомном состоянии), бозоны не подчиняются принципу Паули, они наоборот охотней занимают уровни где уже есть электрон

§2 Распределение коллективизированных электронов в металле по квантовым состояниям при T=0 и при Т>0.

1)T=0

Эл. Газ в металле находится в потенциальной яме.

Рис*

N=nV (электронов)

Занято N уровней. Должны быть заняты самые низкие энергетические уровни. На них только 2 электрона.

E_f – уровень ферми – максимально возможная энергия в металле.

E_f = μ = (ħ²/2m)(3nPi²)^2/3

E_f = 5 эв n = 5 *10 ²⁸ 1/м³

n = (10 ²⁸ – 10 ²⁹)

график функции  распределения: по ф.Ферми-Дирака: температуры  низкие – энергии малые.

Рис*

E<E_f   стремится к 1

E>E_f   стремится к 0

E=E_f = 1/2

Aвыхода в классике отсчитывалась от дна, а в квантовой механике работы выхода отсчитывается от уровня Ферми

2)Т>0

Тепловое движение может сообщеть E=3KT/2 , но принять ее электрон не может. Чтобы ее принять электрон должен перейти на вышележащий уровень, но все такие уровни заняты электронами. Ее может принять только электрон лежащий на уровне Ферми или вблизи него.

(10 ^-5 от всех электронов ???)

Низкие температуры

Рис*

Высокие температуры => Е большие

f(E,T) = 1/ (e ^E-Ef/KT+1)

величина e ^E-Ef/KT принимает большие значения >>1

f(E,T) = (e ^-E-Ef/KT) = e ^Ef/KT e ^-E/KT = const e ^-E/KT

(//??? функция – экспонента –//) ф-я Максвелла-Больцмана

Система эл. Газа стала невырожденной

E_f = KT

T _f = E_f / k = (5эв 1,6 10 ^-19 Дж/эв)/(1,38 10 ^-23Дж) ~ 10⁴

Температура плавления  ~ 10 ³

§3 Динамика электрона в кристаллической решетке. Эффективная масса электрона.

Отношение неопределенностей

Электрон перемещается в кристаллической решетке, электрон квантовая частица => характ. Волна.

Если решетка  идеальная, электрон перемещается беспрепятственно, однако такого не бывает:

∆x∆P_x>= ħ

P_x  = ħk

k = 2Pi/ ħ – волновой вектор

ħ ∆x ∆k >= ħ  ∆x ∆k >= 1 ∆x >= 1/∆k 

если у электрона  определена область локализации  – движение характеризует волновой пакет.

Рис* вероятность в А мак больше

Vгр = dω/dk

E = ħω  ω = E/ħ