Квантовая механика

Оказывается что  макс ток будет при условии  Вульфа-Бреггов:

2dSinφ=mλ  m=1,2,3...

максимум порядка > 1 можно наблюдать :

1)поворачивая  кристалл (меняя угол фи)

2)меняя Uускор (ускоренная ? Разность потенциалов – меняет импульс)

T = eUуск

λ = h/sqr(2meU) 

схема опыта  Тартаковского 1928

(катод, сетка,  диафрагма, фольга-поликристалл  цилиндр фарадея)

2dSinφ=mλ

на экране наблюдаются  дифрагционные кольца. Максимум соответствует  условию Вульфа-Бреггов.

Тогда возникает  вопрос. Может быть такую картину дают не электроны а рентгеновские лучи? Создали магнитное поле, которое бы нейтрализовала рентген.  - диффрагция не исчезла.

Электроны обладают волновыми свойствами.

Обладают ли другие частицы волновыми свойствами?

В лаборатории  Штерна 1932 г. На атомах водорода и гелия поставлены опыты, доказавшие наличие волновых свойств.

В 1940 опыт на нейтронах.

Обладает ли волновыми свойствами каждая частица  или только их совокупность?

1949 г. Поставлен  опыт Фабрикана, Бибермана, Сушкина.

Через установку проходило буквально по 1му электрону и присутствовала дифрагционная картина.

Каждой частице  присущи волновые свойства.

Нельзя отождествлять  частицу и волну. Корпускулярность природы электрона (фотоэффект).

§3 Общие свойства волн. Волновой пакет.

1)Волновое уравнение

V – фазовая скорость

d²S/dx² = d²S/V²dt²     волновое уравнение в одномерном случае

d²S/dx² + d²S/dy² + d²S/dz² = d²S/V²dt²     3мерный случай

d²S/dx² + d²S/dy² + d²S/dz² = ∆S – оператор лапласса

∆S = d²S/V²dt²    

Решение волнового  уравнения.

2)Плоская  монохроматическая  волна.

(Фронт волны  – плоскость, один цвет, ω=const, A=const)

S=ACos ω(t-(x/V))=ACos(ωt  – (2Pix/TV))

ω = 2Pi/T VT= λ  2Pi/ λ = k

S=ACos(ωt –kx)

Смещение от положения равновесия точки с  координатой x в момент времени t

3-хмерный случай:

S=ACos(ωt –kr)  (k, r - вект)

k – волновой вектор

|k| = 2Pi/ λ

Смещение от положения равновесия точки характеризующейся  вектором r в момент времени t

3)Принцип  суперпозиции (наложения)  волн.

Если в среде  распространяется несколько волн, они перемещаются независимо друг от друга.

S = C¹S¹ + C²S²

S= ∑CnSn

Среда линейная (свойства не меняются под воздействием распространяющихся волн)

Волны взаимно  независимы.

Смещение –  геометрическая сумма смещений, возникших  в отдельных волновых процессах.

4)Волновой  пакет

- Суперпозиция  волн, мало отличающихся по частоте  и занимающая определенный объем  в пространстве.

Волновой пакет:

Везде кроме  ∆x A=0

Плоская монохроматическая  волна – идеализированный объект:

В реальности мы имеем дело с волновыми пакетами.

S₁=A₀Cos(ωt –kx)

S₂= A₀Cos((ω+dω)t –(k+dk)x)

dω << ω

dk << k

S = S¹ + S² = 2A₀Cos ((dωt – dkx)/2)Cos(ωt –kx)

Здесь 2A₀Cos ((dωt – dkx)/2) – амплитуда (зависит от времени и координаты); Cos(ωt –kx) – фаза.

Это уже не гармонический  волновой процесс. Если волновых процессов больше, тем уже волновой пакет.

Фазовая скорость V: ωt –kx = const

V=dx/dt=ω/k

Групповая скорость U (скорость перемещения центра энергии группы волн) :

dωt – xdk = const

U = dx/dt = dω/dk

Фазовая скорость не переносит энергию, групповая переносит.

U = dω/dk = d(Vk)/dk = V+ (kdV/dk) = VkdVd λ/d λ dk

λ = 2Pid λ/kdk = - 2Pi/k²

U = V + k (- 2Pi/k²) (dV/d λ) = V – (λdV/d λ) = U

Если dV/d λ > 0  тогда U<V нормальная дисперсия

Если dV/d λ < 0 то U>V аномальная дисперсия.

Если dV/d λ=0 то среда не дисперсирующая

Волновой пакет  может перемещаться только в недисперсирующей среде (вакуум?)

В диспергирующей среде пакет расплывается.

§4 Свойства волн де Бройля.

1)Так  как волны де  Бройля – волновые процессы , то все характеристики присущие волнам, можно применить к волнам де Бройля.

A, ω, ν, фаза, пространственные координаты x,y,z, и время t.

Свойства отличаются от реальных волн:

2)Фазовая  скорость – скорость распределения в пространстве фазы волны.

V~C для релятивистской частицы.

Vфаз = ω / k

ω - угловая частота, k - волновое число

= 2Pi ν λ/2Pi = ν λh/h = h ν / p

Т.к. по де Бройлю λ = h/p, λ/ h=p

h ν = ε – энергия фотона или кванта

Vф = E/p = mC²/mV = С²/V  V<C

Vф > C

СТО – специальная  теория относительности. Отличительное  свойство, нехарактерное для других волн.

3) Групповая скорость – равно скорости с которой распространяются в пространстве группы волн.

Групповая скорость Vгр=U – скорость амплитуды группы волн.

Vгр = U =  d(ωħ)/d(ħk) = dE/dP

E² = E₀² + p²C²

U = d(sqr(E₀² + p²C²))/dp = 2pC²/2sqr(E₀² + p²C²)= pC²/E = pC²/mC²= p/m = mV/m = Vчаст=U

U=Vчаст

=> любую частицу  можно представить в виде волнового  пакета.

4)Дисперсия  волн де Бройля

Дисперсия –  зависимость фазовой скорости от длины волны.

Vф=f(λ)

В вакууме все  реальные волны с различными длинами волн распространяются с одинаковой скоростью, те в вакууме нет дисперсии.  ε =  1 (в вакууме.)

Среды с ε >  1 диспергируют.

Рассмотрим волны  де Бройля:

Vф = ω / k = E/p = (E₀² + p²C²)/p = sqr((E₀² + p²C²)/p²) = sqr((E₀/ p²)+ C²)

λ =h/p => p = h/ λ

Vфаз = sqr((E₀² λ² / h²)+ C²) = f (λ)  - не зависит от среды

волн де Бройля наблюдается дисперсия даже в вакууме.

5)Волны  де Бройля и  второй постулат  Бора. (правило квантования  орбит)

Le (момент импульса орбит) = mVr = nħ – правило квантования орбит

ħ = h/2Pi , n=1,2,3… ,бесконечность - квантовое число

mVr = nh/2Pi

2PirmV = nh mV=p

2Pirh/ λ = nh

2Pir = n λ

C точки зрения гипотезы де Бройля 2й постулат Бора:

стац. Орбитами электрона в атоме называются такие орбиты на длине которых укладывается целое число волн де бройля.

n=4

§5 Соотношение неопределенностей Гейзенберга.

1)разрыв  однозначных связей  между p и x в квантовой механике

Квантовая механика – особенность движения микрочастиц.

Микрочастицы  – мелкие массы

В классической физике при движении классической мкч всегда наблюдается однозначная связь между импульсом этой частицы и ее координатами

В квантовой  физике:

∆x стремится к 0:

λ определено точно.

∆P = 0

Положение объекта  любое.

∆x!=0, λ определено  не точно.

∆P не точно, ∆P !=0,

∆x стремется к 0: λ невозможно определить, P не точно, ∆P стремится к бесконечности

отсутствие траектории обусловлено волновым свойством.

2) Соотношение неопределенностей  импульса и координат.

{∆x∆P_x>= ħ

∆y∆P_y>= ħ

∆z∆P_z>= ħ}

Произведение  неопределенности координат на неопределенность импульса (?) не может быть менее ħ

3) Соотношение неопределенностей энергии и времени.

∆E∆t>= ħ

Разброс значений операции

E в атоме водорода

n=1

∆t стремится к бесконечности

∆E∆t= ħ

∆E = ħ/∆t = 0

n=2

∆t = 10 ^–8 c

∆E= 10 ^{– 34} / 10 ^{– 8} = 10 ^{– 26}Дж

4)философские  толкования

Одновременно  точно импульс и координаты у  мкч определить нельзя

§6 Волны де Бройля и  волновая функция.

1.Формула  Эйлера и комплексная  формула записи  волн.

S (x,t) = aCos (ωt –  kx +σ)

ωt – kx + σ  = α

Формула Эйлера: e^{+-i α} = Cos α +- iSin α

Для p – x iSin α = 0

aCos α = a e^{+-i α}

S(x,t) = a e^{+-i α}

2.Волновая  функция и волна  де Бройля

Пси функция  обусловлена колебанием волны в  пространстве

Ψ(x,t) = a e^{+-i α}

Ψ(x,t) = a e^{+-i (ωt – kx +σ)} = ae ^{+-i σ} e^{+-i (ωt – kx)}

ae ^{+-i σ} =A

ωt – kx = (Et - px)(1/ ħ)

Ψ(x,t) = Ae^{-i(1/ ħ) (Et - px)} для свободной мкч

§7 Вероятностное толкование волн де Бройля.

Ψ  ψ

Ψ(x,t) = A e^{–i(ωt –kr)} =Ae ^{–(1/ħ)(Et - pr)}  - свободная мкч

Ψ(r,t) = A e^{–i/ ħ (Et –pr)} = A e^{–i/ ħ (kEt –PxX – PyY  - PzZ)}

Ψ(x,t) = A(x,t) e^{–i/ ħ (Et –pt)}

Прохождение мкч  через кристалл

Или отражается или проходит.

W – вероятность: | Ψ (x,t)|²

Мысленный интерференционно - дифференционный опыт:

Две щели, на них  направлен поток электронов и  ставится фотопластинка. Там куда попадают электроны пленка темнеет. Время экспозиции τ.

Щели поочередно открывают.

Если поток  сделать очень слабым, то картина  сохранится (опыт фабрикана)

Электрон «чувствует»  какая щель открыта, обе щели действуют  на него. Электрон пройдет только через 1 щель. Движением мкч управляют волновые свойства.

Вероятность попадания  электрона в щель:

| Ψ |² dV (объем)