Квантовая механика

Ямы могут имеет самую причудливую форму.

Для удобства вид  ямы сводят к прямоугольному виду

Потенциальный ящик – одномерная потенциальная  яма с бесконечно высокими стенками

U(x) = {0 0<x<L

Бесконечность 0>=x, x>=L}

Мкч не может  выйти за пределы ящика, граничные условия:

{ ψ (0) = 0

ψ (L)=0}

уравнение шредингера и его  решения для частицы  в потенциальном  ящике

(- ħ²/2m) (d² ψ /dx² ) = E ψ

(d² ψ /dx² )  + (2m/ħ²) E ψ = 0

(2m/ħ²) E = k²

(d² ψ /dx² )  + k² ψ = 0

Решение: ψ = A’ e ^ikx + B’ e ^–ikx

По т.Эйлера: ψ = A’ (Coskx + iSinkx) + B’ (Coskx - iSinkx)

ψ = (A’ + B’)(Cos kx) + (A’ – B’) (iSinkx)

A’ = 1/2 B’= 1/2  тогда ψ1 = Cos kx

A’ = -i/2 B’= -i/2  тогда ψ2 = Sin kx

ψ = ASinkx + BCoskx – амплитудная функция

Ψ (x,t) =  e ^{–i/ ħ (Et )} (ASinkx + BCoskx)  - амплитудное рещение

Ψ (x,t) =  Ae ^{–i/ ħ (Et )} Sinkx + B e ^{–i/ ħ (Et )} Coskx – общее решение

Собственные значения энергии

ψ = ASinkx + BCoskx

применим граничные  условия

ψ (0) = 0 B=0 A!=0

ψ (l)=0  ASinkL=0

Sinkl = 0 kL=nPi k=nPi/L

(2m/ħ²) E = (nPi/L)²

E= n² Pi²ħ²/2mL²

Мкч имеет дискретный спектр энергий в потенциальном ящике

E₁= Pi²ħ²/2mL²

E₂=4 Pi²ħ²/2mL² итд

ψ = ASin(nPi/L)x

∆E = E_n+1 – E_n = (n+1)² (Pi²ħ²/2mL²) – n² (Pi²ħ²/2mL²) = (2n+1) (Pi²ħ²/2mL²) ~ n

Дискретность  проявляется при малых массах и малых размерах потенциального ящика.

Относительная дискретность  ∆E/E = 2n+1/n² ~ 1/n

При n стремящемуся к бесконечности дискретность исчезает (стремится к 0) и квантовая механика переходит в классическую.

Собственные функции

ψ (x) = ASin(nPi/L)x

Условие нормировки:

(интеграл от 0 до L) (A²Sin²(nPix/L) dx) =1

A² 1/2 (интеграл от 0 до L) (1 -Cos(2nPix/L) dx) =1

A² 1/2 [(интеграл от 0 до L)(dx) - (интеграл от 0 до L) (Cos(2nPix/L) dx)] =1

A² 1/2 [x| - ((1/2n(Pi/L)) (Sin(2nPix/L) )) |] =1

A² L/2 = 1

A = sqr (2/L)

ψ (x) = sqr (2/L) Sin(nPi/L)x

Ψ (x) = sqr (2/L)  e ^{–i/ ħ (Et )} Sin(nPi x /L)

n=1 ψ 1 = sqr (2/L) Sin(Pi x/L) E= Pi²ħ²/2mL²

n=2 ψ 2 = sqr (2/L) Sin(2Pi x/L) E= 4Pi²ħ²/2mL²

n=3 ψ 2 = sqr (2/L) Sin(3Pi x/L) E= 9Pi²ħ²/2mL²

n – число максимумов

для классической частицы будет просто прямая.

n стремится к бесконечности – кривая вырождается в прямую

принцип соответствия Бора: квантовая механика переходит  в классическую.

Общие выводы:

- спектр энергии  мкч в потенциальном ящике  дискретен

- минимальная  Екин (Е1) мкч в потенциальном ящике  != 0, следовательно мкч не может находится в состоянии покоя

- дискретность  энергии мкч проявляется только  при достаточно малых размерах  потенциального ящика и малой  массе мкч

- дискретность  исчезает при n, стремящемся к бесконечности.

§3 Отражение и прохождение  мкч через Потенциальный барьер.

1.Потенциальный барьер – область, в которой Епот больше чем в остальных точках пространства.

U={U₀  x>=0

0 x<0}

1)Eкин>U₀

2)Eкин<U₀

По требованию непрерывности 

ψ₁(0) = ψ₂(0)

ψ₁’(0) = ψ₂’(0)

2.уравнение Шредингера и его решение

1)я область

U(x)=0

(- ħ²/2m) (d² ψ /dx² ) = E ψ

(d² ψ /dx² )  + (2m/ħ²) E ψ = 0

(2m/ħ²) E = k₁²

k₁ = sqr ((2m/ ħ²)(p²/2m)) = p/ ħ = p2Pi/ ħ2Pi = 2Pi/λ – волновое число

2)я область

(- ħ²/2m) (d² ψ /dx² ) + U₀ ψ = E ψ

(d² ψ /dx² ) + (2m (E - U₀) ψ/ ħ²)=0

2m (E - U₀) ψ/ ħ² = k₂

{(d² ψ /dx² ) + k₁²ψ = 0

(d² ψ /dx² ) + k₂²ψ = 0}

Решение

1)ψ₁(x) = A₁ e ^ik1x + B₁ e ^–ik1x  - отражается от потенциальной ступени

      Волн. Пад.    Отр. Волн.

2)ψ₂(x) = A₂ e ^ik2x + B₂ e ^–ik2x  - ни от чего не отражается B₂=0

Ψ₁ (x,t) =  A₁e ^{–i/ ħ (Et )} e^ik1x + B₁ e ^{–i/ ħ (Et )} e^-ik1x

Ψ₂ (x,t) =  A₂e ^{–i/ ħ (Et )} e^ik2x

3.Микро и макро частицы на грани 2х сред

Макрочастицы:

T1=mV₁²/2 U=0

T2=mV₂² – U₀

mV₂² < mV₁²/2

V₂ < V₁ T₁>U₀

T₁<U₀  тогда  mV₂²< 0

V2 – мнимая величина: во вторую область макрочастица не пройдет

Микрочастица:

ψ₁(x) = A₁ e ^ik1x + B₁ e ^–ik1x

ψ₂(x) = A₂ e ^ik2x

1)E> U₀

мкч может пройти во вторую область, а может отразиться

|ψ₁(x)|², |ψ₂(x)|²

2)E< U₀ тоже самое

4.Определение коэффициента отражения R и коэффициента прозрачности D

R=N’/N=число отраженных частиц/число падающих частиц = |B₁|²/|A₁|²

D=N’’/N=число прошедших частиц/число падающих частиц = |A₂|²/|A₁|²

N=nV₁ n-концентрация

Скорость частиц 1 и 2 разная V₁ V₂

N,N’,N’’ – число частиц, падающих на 1 площади в 1 времени

A₁ – характеризует плотность потока падающих частиц

A₁=1  R= |B₁|²

D = |A₂|² (V₂/V₁) = |A₂|² (k₂/k₁)

(V₂/V₁) = (P₂/P₁) = (k₂/k₁)

1+ B₁= A₂  => ψ₁(0) = ψ₂(0)

ik₁A₁ e ^ik1x + ik₁B₁ e ^-ik1x = ik₂A₂ e ^ik2x

ψ₁’(0) = ψ₂’ (0)

k₁(1+ B₁)= k₂A₂

{1+ B₁= A₂ 

(1+ B₁)= (k₂ / k₁)A₂ }

2 =  A₂(1+ (k₂ / k₁))

A₂ = 2 k₁/ k₁+ k₂

B₁= A₂ - 1 = (2 k₁/ k₁+ k₂) – 1 = 2 k₁ - k₁ - k₂/ k₁+ k₂

B₁= k₁ - k₂/ k₁+ k₂

R=| k₁ - k₂/ k₁+ k₂|²

D = (4 k₁² / (k₁+ k₂)²) (k₂/ k₁)

D = 4 k₁ k₂/ (k₁+ k₂)²

R+D=1

D = D₀ e ^{–(2/ ħ)sqr(2m(U0 - E)) L}

D₀ = 1 обычно

5.Частные случаи

1)U₀ = 0 => k₁= k₂  R=0 D=1 мкч проходит в II

2) U₀ = E макрочастица проходит в II со скоростью V=0

k₁!= 0 k₂= 0

R=1 D=0

3) E > U₀ k₁-действ.число  k₂-дч

k₁ > k₂  λ₁ < λ₂

4) E < U₀  | ψ _II|² != 0 микрочастица может пройти во II область

k₁-действ.число  k₂-мнимое число

R = | k₁ - ik/ k₁+ ik|² = (k₁ - ik/ k₁+ ik)( k₁ + ik/ k₁- ik) = 1

D = 0 ψ _II =A₂e^-kx

Вектор Умова-Пойнтинга = 0

Аналог –  полное внутреннее отражение

§4 Прохождение микрочастицы через потенциальный  барьер конечной ширины. Туннельный эффект.

1)

U(x) = {0, x<0, x>L

U0, 0<=x<=L}

2)Уравнение Шредингера

Обл. I и III

(- ħ²/2m) (d² ψ /dx² ) = E ψ

  (d² ψ /dx² ) + ( 2m E ψ/ ħ² ) = 0

k_1,3 = sqr (2mE / ħ²)

(d² ψ /dx² ) + k_1,3² = 0

Обл II

(- ħ²/2m) (d² ψ /dx² ) + U₀ ψ = E ψ

(d² ψ /dx² ) + (2m (E - U₀) ψ/ ħ²)=0

k₂ = sqr (2m (E - U₀) ψ/ ħ²)

(d² ψ /dx² ) + k₂²ψ=0

Решение:

ψ _I(x) = A₁ e ^ik1,3x + B₁ e ^–ik1,3x

ψ _II(x) = A₂ e ^ik2x + B₂ e ^–ik2x

ψ _III(x) = A₃ e ^ik1,3x + B₃ e ^–ik1,3x

B₃ = 0

Анализ решения  уравнения Шредингера

1)E>U₀

k_1,3 и k₂ – действительные числа

k_1,3 > k₂ λ = 2Pi/k λ_1,3 < λ₂

2) E<U₀

k_1,3– действительные числа и k₂ – мнимое. k₂ = ik

Энергия микрочастицы принимает любые значения

ψ _I(x) = A₁ e ^ik1,3x + B₁ e ^–ik1,3x

ψ _II(x) = A₂ e ^–kx + B₂ e ^kx B₂=0

ψ _III(x) = A₃ e ^-ik1,3x

микрочастица  «просачивается» через потенциальный  барьер

Туннельный  эффект

Холодная эмиссия  электрона из металла

Вн. Эл поле меняет профиль потенциальной ямы.

§5 Микрочастица в потенциальной яме конечной глубины.

1. U(x) = {U₀, x<=0, x>=L

0, 0<x<L}

2.Уравнение Шредингера

I,III U(x) = U₀

(- ħ²/2m) (d² ψ /dx² ) + U₀ ψ = E ψ

(d² ψ /dx² ) + (2m (E - U₀) ψ/ ħ²)=0

k_1,3 = sqr (2m (E - U₀) / ħ²)