Квантовая механика

| Ψ |² = dW/dV – плотность вероятности

| Ψ (x,y,z,t) |² = dW/dV – плотность вероятности обнаружить мкч в точке с координатами x,y,z в момент времени t

Ψ (x,y,z,t) = A e^{–i/ ħ (Et –pr)}

| Ψ (x,y,z,t) |² = Ψ (x,y,z,t) Ψ*(x,y,z,t)

Ψ*(x,y,z,t) – комплексная сопряженная

Плотность вероятности  – вероятность, отнесенная к единице  объема.

В квантовой  механике движение 1й мкч уже связано  с W

1 частица имеет  вероятностный характер.

§8 Вероятность нахождения мкч.Нахождение средних  значений функции  от координат. (роль Ψ –фунукции в квантовой механике)

Ψ(x,t) = A e^{–i/ ħ (Et –px)}

| Ψ(x,t) |² = dW/dV

dW = | Ψ(x,t) |² dV

W = (интеграл от x1 до x2)( Ψ*(x,t) Ψ(x,t)dx)

Условие нормировки:

(интеграл от  – бесконечности до + бесконечности) (| Ψ(x,t) |² dx) =1 одномерный случай

(3 интеграла  от – бесконечности до + бесконечности)( Ψ*(x,y,z,t) Ψ(x,y,z,t)dxdydz) = 1

Плоская волна  де Бройля не нормируется на единицу:

Свободная мкч

Ψ(x,t) = A e^{–i/ ħ (Et –px)}

| Ψ(x,t) |² = A e^{–i/ ħ (Et –px)} A e^{–i/ ħ (Et –px)} = A²

(интеграл от  – бесконечности до + бесконечности) (| Ψ(x,t) |² dx) стремится к бесконечности

Непрерывна  однозначна конечна!

Нахождение средних  значений координаты и функции от координат.

<F(x)> = (интеграл от – бесконечности до + бесконечности) (F(x)W(x)dx)

Здесь W(x) – плотность вероятности, d(x) – класс статист.

(интеграл от  – бесконечности до + бесконечности) (W(x)dx) = 1

В квантовой  механике:

(интеграл от  – бесконечности до + бесконечности) (Ψ(x,t)* f(x) Ψ(x,t) dx) =

(интеграл от  – бесконечности до + бесконечности) (|Ψ(x)²| f(x) dx) =

(интеграл от  – бесконечности до + бесконечности) (Ψ*(x,t)  Ψ(x,t) dx) = 1

<f (x,y,z)> = (3 интеграла от – бесконечности до + бесконечности)( Ψ*(x,y,z,t) f(x,y,z)Ψ(x,y,z,t)dxdydz)= (3 интеграла от – бесконечности до + бесконечности)( |Ψ(x,y,z,t)|² dxdydz)=1

Глава 5. Уравнение Шредингера.

§1 Особенности волнового  уравнения для  микрочастицы.

Классическая  физика:

md²x/dt² = F(t)

V = dx/dt = 1/m (интеграл) (F(t)dt+C)

x = (интеграл) (Vdt + C’)

квантовая механика:

- движение расплывчатое

Ψ(x,t)

W = (интеграл от x1 до x2)|Ψ(x,t)|²dx

<x> = (интеграл от – бесконечности до + бесконечности) (Ψ*(x,t)  Ψ(x,t) dx)

∆x∆P_x>> ħ при условии (интеграл от – бесконечности до + бесконечности) (|Ψ(x,t)|²dx) = 1

Уравнение должно быть линейным тк должен быть справедлив принцип суперпозиции в квантовой  механике.

Если мкч  может находится в состоянии  которое описывается функцией Ψ1 и может находится в состоянии  Ψ2 то она также может находится в состоянии, описываемом

Ψ=С₁ Ψ₁+С₂ Ψ₂

C₁ C₂ – произвольные константы

Ψ = ∑ Сi Ψi

Аналог –  белый свет и монохроматические  волны. В квантовой механике складываются функции, а в классической – вероятности.

§2 Общий вид уравнения Шредингера от времени.

1920 г. Постулат.

(- ħ²/2m )*(∂² Ψ/∂x²) = i ħ (∂ Ψ/∂t) – для свободной мкч

Для трехмерного  случая:

(- ħ²/2m )*(∂² Ψ/∂x² +∂² Ψ/∂y² +∂² Ψ/∂y² ) = i ħ (∂ Ψ/∂t)

В операторной  форме:

- ħ²/2m * ∆ Ψ = i ħ (∂ Ψ/∂t)

t-независимая переменная

неизвестная функция Ψ(x,y,z,t)

С учетом силового поля:

E = T + U (x,y,z,t)

(- ħ²/2m )*(∂² Ψ/∂x²) + U(x,t) Ψ = i ħ (∂ Ψ/∂t)

(- ħ²/2m )*(∂² Ψ/∂x² +∂² Ψ/∂y² +∂² Ψ/∂y² ) +  U(x,y,z,t) Ψ = i ħ (∂ Ψ/∂t)

- ħ²/2m * ∆ Ψ +  U(x,y,z,t) Ψ = i ħ (∂ Ψ/∂t)

Решение -  Ψ (x,y,z,t)

§3 Уравнение Шредингера для стационарных состояний.

Общая характеристика стац. Состояний

Состояние называется стационарным если | Ψ (x,y,z,t) |² = const

M(x,y,z)

U (x,y,z,t) = U (x,y,z)

E = p²/2m    + U(x,y,z)

Система консервативна, тк сумма постоянна

По Гейзенбергу

∆E∆t >= ħ

∆E стремится к 0

∆t стремится к бесконечности

| Ψ |² = const

| Ψ (x,y,z,t) |² = const

Ψ (x,y,z,t) = e ^if(x,y,z,t) ψ (x,y,z)

Ψ(x,t) = A e^{–i/ ħ (Et –px)} удовлетворяет условию стацион.

Ψ (x,y,z,t) = e ^if(x,y,z,t) A e^{–i/ ħ (kEt –PxX – PyY  - PzZ)}

ψ  = A e^{–i/ ħ (kEt –PxX – PyY  - PzZ)}

U (x,y,z,t) = U (x,y,z)

- ħ²/∂x² + U (x,y,z) Ψ = i ħ (∂ Ψ/∂t)

Ψ(x,t) =  e^{–i/ ħ (Et )} ψ – функция стац состояния

∂ Ψ/∂x = e^{–(i/ ħ) E} ∂ ψ /∂x

 ∂ ²Ψ/∂x² = e^{–(i/ ħ)} ∂² ψ /∂x²

∂ Ψ/∂t = –(i/ ħ) E e^{–(i/ ħ) Et} ∂ ψ

(- ħ²/2m) e^{–(i/ ħ) Et} (∂² ψ /∂x²) + U (x,y,z) e^{–(i/ ħ) Et} ψ = i ħ–(i/ ħ) E e^{–(i/ ħ) Et} ψ

(- ħ²/2m) (∂² ψ /∂x²) + U (x,y,z) ψ = E ψ

Eпот не зависит от t

E = p²/2m – U(x,y,z)

ψ (x,y,z) 

(- ħ²/2m) ∆ Ψ  + U (x,y,z,t) Ψ = i ħ (∂ Ψ/∂t)

Свободная мкч: (- ħ²/2m) ∆ Ψ  = 0

(- ħ²/2m) ∂ ²Ψ/∂x² =E Ψ

E – Eкин

Решение: Ψ(x,t) =  Ae^{–i/ ħ (Et -px)}

Уравнение Шредингера в стац состоянии для свободной мкч.

(- ħ²/2m) (∂² Ψ /∂x² + ∂² Ψ /∂y² + ∂² Ψ /∂y²) = E Ψ

(- ħ²/2m) (∂² Ψ /∂x²) = E Ψ – одномерный случай

Уравнение Шредингера описывает  возможные состояния  волн де Бройля

§4 Уравнение Шредингера для n частиц

Ур. Стационарного состояния для 1й частицы: (- ħ²/2m) ∆ Ψ  + U (x,y,z) Ψ = i ħ (∂ Ψ/∂t)

Система находится  под действием силы F

(- ħ²/2) ∑ (1 /m_i) ∆_i Ψ + [∑ U (r_i) + U_{взаимодействия} (r₁ …. r_N)] Ψ = EΨ

U (r_i) – Eпот iй мкч в силовом поле

U_{взаимодействия}  -  Eпот взаимодействия всех частиц

E – полная энергия всех частиц

Решение: Ψ (r₁ …. r_N)

Решив уравнение  можно найти | Ψ (r₁ …. r_N)|² = dW/dV

§5 Анализ решений уравнений Шредингера

1.Сравнение  с обычным волновым  уравнением:

∂² S /∂x² = 1  ∂²S/ U²  ∂t²

Его решение: S = A Cos (ωt - kx)

По теореме Эйлера: S = e ^{-i(ωt - kx)} = A [ Cos (ωt - kx) - iSin(ωt - kx)]

iSin(ωt - kx) – не отражает реального физического пр. (??)

В решении уравнения  Шредингера мы не отбарсываем мнимую чать:

(- ħ²/2m) (∂²Ψ/∂x² ) = i ħ (∂ Ψ/∂t)

Ψ = ACos (ωt - kx) – не решение

Решение: Ψ =Ae^{-i(ωt - kx)} =  A [Cos(ωt - kx) - iSin(ωt - kx)] – плоска волна де Бройля

2.Начальные  и граничные условия

Решить уравнения  модно только зная начальные и  граничные условия

(- ħ²/2m) ∆ Ψ  + U (x,y,z,t) Ψ = i ħ (∂ Ψ/∂t)

Ψ (x,y,z,t) – решение

Ψ (x,y,z,0) – начальное условие при t=0

Ψ (x,y,z,t) →Ψ (x,y,z,0) здесь появляется принцип причинности О_о

В граничные  условия входит Епот в явном виде

U (x,y,z,t)

Ψ (0,t)    Ψ (e,t)

3. стандартные естественные  условия 

на пси функцию накладываются условия:

1.Пси функция  непрерывна

2.однозначна

3.конечна –  требование из условия нормировки  (тройной интеграл от минус до плюс бесконечности) (|Ψ (x,y,z,t)|²dxdydz) = 1

4. собственные значения  и собственные  функции

(- ħ²/2m) ∆ ψ  + U (x,y,z) ψ = E ψ

ψ₁  ψ₂  ψ₃    - собственные функции

E₁ E₂ E₃ - собственные значения E

Не все пси  функции удовлетворяют этому  условию

Имеем дискретный ряд, удовлетворяющий этому уравнению

Мкч может иметь  только дискретный ряд значений энергии.

Уравнение шредингера содержит ключ квантования

Имеет смысл  только в ограниченном пространстве

Для нерелятивистской: V<<C E_k = p²/2m – уравнение Ш. не учитывающее спин

Для релятивистской: V~C E_k = mC² – m₀C² – уравнение Дирака учитывающее спин

Глава 6. Применение квантовой  механики.

§1 Движение мкч в  свободном пространстве.

1.уравнение  Шредингера и его решение

U(x) = 0

Состояние стационарное

(- ħ²/2m) (∂² ψ /∂x² ) = E ψ

E = p²/2m

(d² ψ /dx² )  + (2m/ħ²) E ψ = 0

(2m/ħ²) E = k²

(d² ψ /dx² )  + k² ψ = 0

Ищем решение  в виде ψ = e ^rx

(∂ ψ /∂x) = r ψ

(∂² ψ /∂x² ) = r² ψ

r² ψ + k² ψ = 0

ψ != 0

r²  + k²  = 0 => r = +- ik

ψ = A e ^ikx + B e ^–ikx

2.собственные функции оператора энергии

k = sqr ((2m/ħ²) E) = sqr((2m/ħ²) (p²/2m)) = p/ ħ

ψ = A e ^{–i (p/ ħ )x} + B e ^{–i (p/ ħ ) x}

умножаем на временной множитель

f(t) = e ^{–i/ ħ (Et)}

  Ψ (x,t) =  ψ(x) e ^{–i/ ħ (Et)}

Ψ (x,t) =  A e ^{–i/ ħ (Et - px)} + B e ^{–i/ ħ (Et + px)}

В этом случае полагают например B=0 (мкч движется в + направлении)

Ψ (x,t) =  A e ^{–i/ ħ (Et - px)}

3. собственные значения  энергии

(2m/ħ²) E = k²

E= k² ħ²/2m

- Квадратичная  функция.

§2 Движение мкч в  потенциальном ящике.

Потенциальный ящик – одна из разновидностей потенциальных  ям.

Потенциальная яма – область прорыва в  которой Епот меньше чем в окружающих точках пространства.