Квантовая механика

(d² ψ /dx² ) + k_1,3² ψ = 0

II

(- ħ²/2m) (d² ψ /dx² ) = E ψ

(d² ψ /dx² ) + (2m E ψ/ ħ²)=0

k₂ = sqr (2m E / ħ²)

(d² ψ /dx² ) + k₂² ψ = 0

Решение:

ψ _I(x) = A₁ e ^ik1,3x + B₁ e ^–ik1,3x

ψ _II(x) = A₂ e ^ik2x + B₂ e ^{- ik2x} 

ψ _III(x) = A₃ e ^ik1,3x + B₁ e ^–ik1,3x  B₃=0

Анализ решения:

1)E> U₀ (микрочастица свободная)

k_1,3 и k₂ – действительные числа

k_1,3 > k₂ λ = 2Pi/k λ_1,3 < λ₂

рис*

Энергия не квантуется

2)E< U₀

k₂ - действительное число 

k_II3 – мнимое число k_1,3 = ik

Решение:

ψ₁(x) = A₁ e ^-kx + B₁ e ^kx A₁ e ^–kx не удовлетворяет условию конечности при x<0 - сокращаем

ψ₂(x) = A₂ e ^ik2x + B₂ e ^-ik2x

ψ₃(x) = A₃ e ^-kx

пси функция  удовлетворяет только при определенных значениях E. E квантуется

спектр энергий  дискретный

E= n² Pi²ħ²/2mL²

В потенциальном  ящике n – бесконечно

В потенциальной  яме n - конечно. 

Вероятность обнаружить мкч:

Мкч можно обнаружить в I и III области.

§6 Квантово-механический осциллятор

1.Гармонический осциллятор

- точка или  система точек, совершающая гармонические  колебания.

X=ACosωt

F = - c x  c – коэффициент упругости

Сила упругая  или квази упругая

F= - grad U

U = cx²/2

2.Классический  гармонический осциллятор

(рисунок шарик  на пружинке)

md²x/dt² = -cx  F_y = -cx

d²x/dt² + cx/m =0 c/m=ω₀²

d²x/dt² + ω₀²x = 0

решение: x = ACos(ω₀ + φ₀)  - смещение от положения равновесия

V = dx/dt = - A ω₀Cos(ω₀t + φ₀) 

T = mV2/2 = (m A² ω₀² / 2) Sin²(ω₀t + φ₀)

U = cx²/2 = (cA²Cos²(ω₀t + φ₀))/2

U = (m A² ω₀² Cos²(ω₀t + φ₀)) / 2

E = T + U = m A² ω₀² / 2

-A, A – точки поворота – U=E

Вероятность местонахождения 

dW/dx – плотность вероятности

(интеграл от –A до А)(Wdx) = 1

3.Квантово-механический  осциллятор

Электрон в  атоме, атом в кристалле… колеблющаяся частица ???

Уравнение Шредингера

(- ħ²/2m) (d² ψ /dx² ) + (cx²/2) ψ = 0

Решение: ψ = A_n e^{αx^2}

A_n – нормирующий множитель

Пси функции  удовлетворяют стандартным естественным условиям не при всех E

Энергия осциллятора

E = (2n + 1) ħ ω₀/ 2 n = 0,1,2,3…

ħ ω₀ – расстояние между уровнями

Энергия меняется по параболическому закону

Emin, n=0: Emin = ħ ω₀ /2

n=1: E₁ = 3ħω₀ /2

n=2: E₂ = 5ħω₀ /2

Классический  гармонический осциллятор может находится в состоянии покоя, механический – нет.

ħω₀ – энергия нулевых колебаний

нулевые колебания  – колебания которые квантово-механический осциллятор совершает при t=0

ставили опыты. Интенсивность рассеяния при  определенных условиях минимальна. При t=0 колебания есть, иначе было бы нарушение ∆x∆P_x>= ħ (соотношение неопределенности импульса и координат)

доказано при  наблюдении рассеивания света на монокристалл.

С возрастанием n, квантово-механический осциллятор стремится к классическому.

§7 Квантово-механическая модель атома.

1.Качественное рассмотрение

r =  n²ћ²/kme² 

II обл

T = ke²/2r U=-ke²/r

E = T+U=-ke²/2r

r стремится к бесконечности, U стремится к 0

r стремится к 0, U стремится к  - бесконечности

I обл  E>0, принимает любые значения

II обл  E<0

2. Уравнение шредингера  для электрона  в атоме водорода

U=-ke²/r

(- ħ²/2m)∆ψ + (-ke²/r) ψ = E ψ

∆ψ + (-2m /ħ²)(E + ke²/r) ψ = 0

Сферические координаты

M(r,θ,φ)

X = 2Sinθ Sinφ

Y=2Sinθ Cosφ

Z=rCosθ

∆ = (1/r²)( ∂/∂r)(r²∂/∂r) + (1/r²Sinθ)(Sinθ∂/∂θ)+( 1/r²Sinθ)( ∂²/∂φ²)

(1/r²)( ∂/∂r)(r²∂ ψ /∂r) + (1/r²Sinθ)(Sinθ∂ ψ /∂θ) + ( 1/r²Sinθ)( ∂² ψ /∂φ²) + (2m /ħ²)(E + ke²/r) ψ = 0

Решение:

ψ (r,θ,φ)

1) E>0, при любых E

2)E<0

Уравнение решилось только при введении дополнительных параметров: n, L, m_e

3.Квантовые  числа

1)Главное квантовое  число n=1,2,3…

E = - (1/n²) (k²me⁴/2ћ²)

2) Орбитальное квантовое число l=0,1,2,…,(n-1)

Характ. Орбит. Момент.

L=sqr(l(l+1)) ћ, L=[r,P] (вект), p=mV(вект)

3) магнитное квантовое число m_e= 0, +-1,+-2,…,+-l

L_z = m_e ћ

Состояние электрона  в атоме

Таблица:

n l m_e   сост

1 0 0   1S

2 0|1 0|-1 0 1  2S|2p

3 0|1|2 0|-1 0 1|-2 -1 0 1 2 3S|3p|3d

При одном и  том же n может быть несколько состояний. Состояние электрона с одинаковой энергией называются вырожденными.

Кратность вырождения N

n, l – n значений m=(2n+1)

N=∑(от эль до n-1)(2l + 1) = 1+3+5…

N=(1+2n-2+1)n/2=n²

4.спектр  атома водорода. Правило  отбора.

∆l = +-1

∆m_e = 0,+-1

Правило отбора отражает закон сохранения импульса.

Серия лаймана (n,p --- 1S), n=2,3…

Серия Бальмира (nS --- 2p), (nd---2p), n=3,4

5.сферич. Симметрич. Случай. (1S сост)

(1/r²)( ∂/∂r)(r²∂ ψ /∂r) + (1/r²Sinθ)(Sinθ∂ ψ /∂θ) + ( 1/r²Sinθ)( ∂² ψ /∂ φ ²) + (2m /ħ²)(E + ke²/r) ψ =0

ψ (r,θ,φ)

∂ ψ /∂ θ = 0 ∂ ψ /∂ φ = 0

(1/r²)( ∂/∂r)(r²∂ ψ /∂r) + (2m /ħ²)(E + ke²/r) ψ =0

(1/r²) 2r ( ∂ ψ /∂r)  (1/r²) r²∂ ²ψ /∂r² + (2m /ħ²)(E + ke²/r) ψ =0

∂ ²ψ /∂r² + (2/r) ( ∂ ψ /∂r) + (2m /ħ²)(E + ke²/r) ψ =0

ψ = e ^-ar

∂ ψ /∂r = -a ψ

∂ ²ψ /∂r² = a² ψ

a² ψ – (2a ψ/r) + (2m /ħ²)(E + ke²/r) ψ =0

a² – (2a /r) + (2m /ħ²)(E + ke²/r) =0

(a² + 2mE /ħ²) + (2/r)( kme²/ћ² -a) =0

kme²/ћ² -a =0

a = kme²/ћ² a=1/r

ψ = e ^-2/r

a² + 2mE /ħ² =0

E= - ħ²a²/2m = - ħ²k²m²e⁴/2mћ⁴ = - k²m²e⁴/2ћ²

6. Местонахождение электрона в атоме в 1S состоянии

ψ = Ae ^-r/r1 A – нормирующий множитель

(интеграл от 0 до бескон.)( A²e ^-2r/r1)dV = (интеграл от 0 до бескон.)( A²e ^-2r/r14Pir²)dr = 1

dV=4Pir²dr

4Pi A²(интеграл от 0 до бескон.)( r² e ^-2r/r1) = 1

A² Pir₁³=1

A = sqr (1/ Pir₁³)

ψ = e ^-r/r1/ sqr ( Pir₁³)

dW = | ψ ²|dV

dW = (e ^-2r/r1/  ( Pir₁³)) 4Pir²dr – вероятность обнаружить электрон в dr

Радиальная  плотность вероятности:

ρ(r) = dW/dr = (1/ Pir₁³) (e ^-2r/r1) 4Pir²

r стремится к 0, ρ(r) стремится к 0

r стремится к бесконечности, ρ(r) стремится к 0

∂ ρ(r) /∂ r = 0

(4/ r₁³)((-2/ r₁) (e ^-2r/r1)r² + 2r(e ^-2r/r1))=0

(4/ r₁³)( 2 r e ^-2r/r1)(1 – r/r₁) = 0

1 – r/r₁ = 0

r = r₁ – максимальный радиус плотности вероятности

Сравнение с теорией Бора

ψ = e ^-r/r1/ sqr ( Pir₁³)

§8 Магнитные свойства и спин электрона.

Энергетические  уровни электрона в атоме расщепляются изза того, что электрон имеет магнитный момент.

L = [r, mV] – момент импульса

P_m = JS

P_m / L = l/2m

В квант механике

L= sqr(l(l+1)) ħ

L=n ħ по Бору

(l/2m) ħ sqr(l(l+1))

----------

P_m = - eL/2m (вект) – орбитальным магнитный момент

e/2m – гиромагнитное отношение

по квантово-механической модели:

L = sqr(l(l+1)) ħ – закон квантования магнитных моментов

P_m = sqr(l(l+1))μ_б

μ_б = e ħ /2m – минимальная порция магнитного момента в природе

Запустили в  состояние 1S => L=0

Если L=0 атомы прошли и с МП(магнитное поле?) не взаимодействовали. НО

Опыты Штерна и Германа

F = μ (∂B/∂x)Cosα

Cosα = (μ, B) (вект)

1S n=1 l=0 m_e=0 P_m=0

Опыт состоял  в следующем: пучок атомов серебра  пропускали через сильно неоднородное магнитное поле, создаваемое мощным постоянным магнитом. При прохождении атомов через это поле, в силу обладания ими магнитных моментов, на них действовала зависящая от проекции спина на направление магнитного поля сила, отклонявшая летящие между магнитами атомы от их первоначального направления движения. Причём, если предположить, что магнитные моменты атомов ориентированы хаотично (непрерывно), то тогда на расположенной далее по направлению движения атомов пластинке должна была проявиться размытая полоса. Однако вместо этого на пластинке образовались две достаточно чёткие узкие полосы, что свидетельствовало в пользу того, что магнитные моменты атомов пучка принимали лишь два определённых значения, что подтверждало предположение квантово-механической теории о квантовании магнитного момента атомов.