Развитие познавательного интереса учащихся 5-6 классов при решении текстовых задач

   8) 8000 + 6000 = 14000 (руб.) стоит 1 кг конфет  второго сорта.

   З а д а ч а 3. Проволока длиной 180 см разрезана на три части. Второй кусок в 3 раза длинней первого, а третий в 2 раза длинней второго. Найти длину каждого куска.

   Решение осуществляется методом допущения, который состоит в следующем: одной из неизвестных величин придается произвольное числовое значение. По нему определяются числовые значения всех остальных неизвестных слагаемых, а затем вычисляется отношение между данным в условии результатом и полученным в ходе решения. В этом отношении и изменяются все гипотетические значения неизвестных.

   Итак, положим, что I кусок имеет длину в 1 см. тогда длина II – 3 см, а III куска – 6 см. Сумма всех трех длин составляет 1 см + 3 см + 6 см = 10 см. Но по условию длина всех трех кусков составляет 180 см, т.е. в 18 раз больше гипотетической длины. Значит, и реальная длина каждого куска проволоки в 18 раз больше: I кусок – 18 см, II – 54 см, III – 108 см.

   Очевидно, что этот способ основан на свойстве дистрибутивности умножения относительно сложения:

   а(b + c + d) = ab + ac + ad. 

   З а д а ч а  4. Найти три числа, если известно, что I число относится ко II, как 16 к 7,5, а III число относится ко II, как 4,5 : 10, причем I число равно 2560.

     Решение основано на методе пропорционального деления, который применяется в тех случаях, когда дана или разность неизвестных, или их отношение.

     В данном случае необходимо  сначала выразить отношения целыми  числами:

                    16 : 7,5 = 32 : 15 и 4,5 : 10 = 9 : 20.

     Найдем теперь такие виды отношений,  в которых доли во втором  числе одинаковы:

                     32 : 15 = 128 : 60 и 9 :20 = 27 : 60.

     Теперь легко записать отношение  трех чисел: 128 : 60 : 27.

     Итак, все три числа выражены  одинаковыми долями, но в первом  числе таких долей 128. Значит, на  одну долю приходится 2560 : 128 = 20 единиц. Тогда второе число составляет 20 * 60 = 1200 единиц, а третье число – 20 * 27 = 540 единиц.[12,с.17]

     Задача 5. Отец подарил каждому из сыновей столько верблюдов, сколько каждому было лет, всего 48, и сказал: «Пусть младший, ставив себе половину, разделит остальное поровну между старшими братьями. После этого средний сын, оставив себе половину, разделит другую половину поровну между старшим и младшим, а затем тоже сделает старший». Сыновья поступили так, как велел отец, а в результате оказалось, что у всех троих стало верблюдов поровну. Сколько лет каждому сыну?

     Решение проведем методом анализа, т. е. начнем решать с конца.

     Если в конце дележа верблюдов  стало поровну, то, значит, каждый  получил 16 животных (48 : 3 = 16).

     Перед этим, третьим, переделом  старший имел 32 верблюда (16 * 2 = 32), а средний и младший по 8 ((48 - 32) : 2 = 8).

     Значит, перед вторым переделом  средний имел 16 (8 * 2 = 16), старший 28 (32 – 4 = 28), а младший 4 (8 – 4 = 4).

     Тогда перед первым переделом  у младшего было 8 верблюдов (4 * 2 = 8), у среднего 14 (16 – 2 = 14), у старшего 26 (28 – 2 = 26).

     Итак, возраст сыновей: 26, 14, 8 лет.

     Здесь приведено несколько далеко  не самых трудных арифметических  задач. Учителю вообще не следовало  бы гнаться за их усложнением. Но необходимо следить за тем, чтобы каждое действие было тщательно обосновано. Не важно, как будут выглядеть эти обоснования. Это могут быть пояснения к каждому отдельному действию или связные рассказы, как в последних задачах. Важно, чтобы пояснения были полными и логичными.[12,с.18]

     Интерес детей к текстовым задачам значительно повышается при нестандартной форме представления ее, при решении задач межпредметного характера. Так например, в разнообразии форм подачи условия (таблицы, схемы, программы, магические квадраты, блок-схемы, лабиринты, удивительные квадраты). Еще одной особенностью предлагаемых заданий является то, что кроме требования произвести те или иные вычисления они содержат вопросы, направленные на развитие логического мышления, математической речи, умения объяснить «что?», «почему?», « как?».[13,с.23] [См. приложение1.]

     По мере возрастания интереса  к математике повышается у  учащегося настойчивое стремление  добиваться решения «трудной  задачи». Задачи повышенной трудности  являются одним из средств воспитания настойчивости. Учащемуся приходится искать различные способы решения, проявляя при этом изобретательность, и эти творческие поиски имеют большое значение для развития математического мышления и для укрепления воли.

     Поиски наилучшего способа решения задачи развивают изобретательность, творческую фантазию. Следует постоянно рекомендовать учащимся приступать к решению сложных упражнений только после их предварительного анализа, после составления плана решения. Например, задачи на совместную работу. Эти задачи можно решать после ознакомления учащихся с нахождением наименьшего общего кратного нескольких чисел.

     Обычно при решении этих задач  принимают всю работу за 1. Но  всю работу можно было бы  принять и за любое другое  число. Естественно принять ее за такое число, которое делилось бы на данные в условии задачи числа без остатка, т. е. за их наименьшее общее кратное. 

     Задача. Первая бригада может выполнить некоторую работу за 12 дней, вторая – за 15 и третья – за 20. За сколько дней три бригады, работая вместе, выполнят эту работу?

     Решение. Наименьшее общее кратное данных чисел равно 60, следовательно, примем всю работу за 60 единиц. Дальше находим: 60 : 12 = 5, 60 : 15 = 4 и 60 : 20 = 3. Работая вместе, три бригады выполнят за 1 день 5 + 4 + 3 =12 (единиц работы). Всю работу они выполнят за 60 : 12 = 5 (дней). 

     Задача. Бассейн наполнятся за 10 часов первой трубой или за 15 часов второй трубой. Через третью трубу полный бассейн может быть опорожнен за 18 часов. Через сколько часов может быть наполнен весь бассейн, если одновременно открыть все трубы?

     Решение. Наименьшее общее кратное чисел 10, 15 и 18 равно 90, поэтому можно принять объем бассейна за 90 единиц. За 1 час будет наполнено: 90 : 10 + 90 : 15 – 90 : 18 = 9 + 6 – 5 = 10 (единиц). Весь бассейн будет наполнен за 90 : 10 = 9 (часов).

     Такой способ вполне доступен  учащимся 5 класса. Ученики его усваивают  и с увлечением решают. [16,с.44] 
 
 
 

2.4. Занимательные текстовые  задачи для учащихся 5-6 классов.

    

     М.Ю. Шуба дает следующее определение  занимательной задачи.

     Занимательная задача это такая задача, в которой содержится элементы занимательности либо в форме подачи задачи, либо в сюжете задачи, либо в способе решения, либо в иллюстративном материале к задаче. Иногда занимательность для учащихся заключается в неожиданности ответа задачи или в выделении элементов игры при ее решении.[19]

     Одним из способов повышения  интереса к математике у учащихся  является усиление практической  направленности преподавания, предусмотренное реформой общеобразовательной и профессиональной школы. Наблюдающаяся в последнее время общая тенденция снижения интереса к учению ставит перед школьным преподаванием серьезные проблемы. По словам К.Д. Ушинского, «воспитатель не должен забывать, что ученье, лишенное всякого интереса и взятое только силою принуждения… убивает в ученике охоту к ученью, без которой он далеко не уйдет»[18,с.327-328].

     Учителя, методисты, занимающиеся прикладными аспектами школьного курса математики, отмечают несомненную тягу учащихся к задачам практического содержания. В.Г. Болтянский писал, что «задачи прикладного характера имеют в общеобразовательной школе важное значение прежде всего для воспитания интереса к математике. На примере хорошо составленных задач прикладного содержания учащиеся будут убеждаться в значении математики для различных сфер человеческой деятельности, в ее пользе и необходимости для практической работы, увидят широту возможных приложений математики, поймут ее роль в современной культуре»[1,с.7].

     Характерная черта большинства  задач, приводимых в школьных  учебниках математики, - это очевидная  условность, и от учащихся требуется  достаточно высокий уровень мышления, чтобы осознать, что эти задачи  – всего лишь слепки с реальных практических проблем, чисто тренировочный материал, без освоения которого подлинные проблемы, возникающие в практической деятельности людей, решать невозможно. Кроме того, школьные текстовые задачи в подавляющем большинстве описывают в некотором смысле законченные, однозначно определенные ситуации, чем еще больше удалены от реальности, где даже фиксированная проблемная ситуация требует работы по ее формализации.

     В результате существующая система задач представляется, с точки зрения учащегося, оторванной от жизни, а в дидактическом плане не выполнят важнейшей задачи – реализации прикладной направленности преподавания: отсутствует реальная (или близкая к реальной) постановка проблемы, этап построения модели не только упрощен, а фактически искажен вследствие чрезмерной фиксированности задачной ситуации. Поэтому систему задач, рассматриваемых в школьном курсе математики, следует оптимизировать в направлении, в большей степени учитывающем общий уровень мышления и психологию подростка.[ 5,с.25]

    

Задачи  с практическим содержанием имеют важное значение не только потому, что поясняют теорию, обнаруживая ее пользу, но и потому, что способны заинтересовать и увлечь учащихся рассмотрением различных вопросов. 

Задача  1. Когда семья Васи выехала на дачу?

Семья Васи приехала на дачу на машине в 16.00. Если бы скорость, с которой они  ехали, была на 25% больше, то они приехали бы в 14.30.  В какое время они выехали из дома?

Решение.  Увеличение скорости движения машины в 1,25 раза приведет к уменьшению продолжительности движения в 1,25 раза или на 20% (1:1,25=0,8). По условию  задачи, выигрыш во времени при  увеличенной скорости равен 1, 5 часа ( 16 - 14.30 =1.30 час). Следовательно, реальное время в пути составит 7, 5 часа (1,5 часа : 0,2). Отправка машины состоялась в 16.00 - 7.30 = 8.30. Итак, семья  выехала в 8 часов 30 минут.

 
 
 
 

Задача  2. Сколько теста замесил пекарь?

Пекарь  замесил тесто, из которого можно  выпечь 20 одинаковых калачей или 25 одинаковых булочек.  Сколько теста в замесе, если известно, что на один калач идет теста на 10 граммов больше, чем на одну булочку?

Решение.   На 20 калачей теста уходит на 200 граммов больше, чем на 20 булочек.  Выпекая вместо калачей 20 булочек, пекарь сэкономит 200 граммов теста,  на 25 булочек теста уйдет в 5 раз больше, то есть 1 килограмм. Обозначим массу теста в замесе - х.  х/20-х/25=10;  х = 1000. Ответ: 1000г=1кг.

 

Задача  3. Сколько продлится уборка?

Артуру нужно 6 часов, чтобы вымыть полы во всем доме, Марат и Айнур пачкают каждый час 1/18 всех полов. Сколько времени понадобится Артуру, чтобы привести полы в порядок, если к началу работы все полы были грязные?

 

Задача  4. Сколько времени придется трудиться малышу?

Котенок Малыш может облизать себя с головы до кончика хвоста за полчаса, а кот Тоша может облизать Малыша за 5 минут. Себя Тоша способен помыть за 20 минут. Сколько времени придется трудиться Малышу, чтобы помыть Тошу?

Решение.  Малыш облизывает сам себя в 6 раз (30мин/5мин=6) медленнее, чем его облизывает кот Тоша. Тоша  облизывает себя за 20 минут.   Следовательно, Малыш оближет кота Тошу за 20мин · 6=120мин=2часа.

Задача 5. Кенгуру учится прыгать.

Если  кенгуру научится прыгать в 1,5 раза дальше, чем умеет, ему понадобится  ровно 6 прыжков, чтобы добраться  до тенистого дерева. За сколько прыжков кенгуру может это сделать сейчас?

Решение.  Чем короче прыжок, тем больше их надо сделать, чтобы добраться до тенистого дерева.  Следовательно, кенгуру понадобится сделать 1,5 Х 6 = 9 прыжков.