Формирование у учащихся начальных классов навыка решения задач с пропорциональной зависимостью

      Дадим образец задачи с пропорциональной зависимостью и этого вида.

Задача: На оборудование детской  площадки, теплицы  и спортивного  зала администрацией школы было израсходовано 49 000 р. Оборудование детской  площадки обошлось вдвое  дешевле, чем теплицы, а теплицы в 3 раза дешевле, чем спортивного зала и детской площадки вместе. Сколько денег было израсходовано на оборудование каждого из указанных объектов?

  Чтобы узнать количество денег, израсходованных на оборудование каждого объекта, надо знать, сколько частей всех израсходованных денег приходилось на оборудование каждого объекта и сколько рублей приходилось на каждую часть. Число частей израсходованных денег на оборудование каждого объекта определяется из условия задачи. Определив число частей на оборудование каждого объекта в отдельности, а затем, найдя их сумму, вычислим величину одной части.

      Принимаем за одну часть - количество денег, израсходованных  на оборудование детской площадки. По условию на оборудование теплицы  израсходовано в 2 раза больше, т.е. 1 ∙ 2 = 2 (ч.); на оборудование детской площадки и спортивного зала вместе израсходовано в 3 раза больше, чем на теплицу, т.е. 2 ∙ 3 = 6 (ч.), следовательно, на оборудование спортивного зала израсходовали 6 – 1 = 5 (ч.)

      На  оборудование детской площадки израсходована одна часть, теплицы – 2 части, спортивного зала – 5 частей. Весь расход составлял

1 + 2 + 5 = 8(ч.)

      8 частей составляют 49000 р., одна часть  меньше этой суммы в 8 раз: 49000 : 8 = 6125 (р.). Следовательно, на оборудование  детской площадки израсходовали 6125 р.

      На  оборудование теплицы израсходовано  в 2 раза больше: 6125 ∙ 2 =

= 12250 (р.)

      На  оборудование спортивного зала израсходовано 5 частей: 6125 ∙ 5 =

= 30625 (р.)

      Ответ: 6125 рублей; 12250 рублей; 30625 рублей.

      Существуют и задачи, решаемые делением числа пропорционально нескольким рядам чисел.

      К задачам данного типа относятся  задачи, в которых значение некоторой  величины нужно разделить на  части пропорционально нескольким рядам чисел.

      Задача: Двое рабочих получили 1800 р. Один  работал 3 дня по 8 ч, другой 6 дней по 6 ч. Сколько заработал каждый, если за 1 ч работы они получали поровну?

      Чтобы узнать, сколько получал каждый рабочий, надо знать сколько рублей платили  за 1 ч работы и сколько часов  работал каждый рабочий. Чтобы узнать, сколько рублей платили за 1 ч работы, надо знать, сколько заплатили за всю работу (дано в условии) и сколько часов работали оба рабочих вместе. Чтобы узнать общее число часов работы, надо знать о том, сколько часов работал каждый, а для этого  необходимо знать - сколько дней работал каждый и по сколько часов в день. Эти данные в условии имеются. Запишем решение по действиям с пояснением:

1) 8 ∙  3 = 24 (ч) – работал первый рабочий;

2) 6 ∙  6 = 36 (ч) – работал второй рабочий;

3) 24 + 36 = 60 (ч) – работали оба рабочих вместе;

4) 1800 : 60 = 30 (р.) – получали оба рабочих  за 1 ч работы;

5) 30 ∙  24 = 720 (р.) – заработал первый рабочий;

6) 30 ∙  36 = 1080 (р.) – заработал второй рабочий.

Ответ: первый рабочий заработал 720 рублей; а второй - 1080 рублей.

     Задачи  на нахождение неизвестного по двум разностям.

     К задачам данного вида относятся  задачи, в которых рассматривается  две прямо и обратно пропорциональные величины, такие, что  известны два  значения одной величины и разность соответствующих значений другой величины, а требуется найти сами величины.

     [6]

     Задача: Два поезда прошли с одинаковой скоростью  – один 837 км, другой 248 км, причем первый был  в пути на 19 ч больше второго. Сколько  часов был в  пути каждый поезд?

     Для ответа на вопрос задачи, сколько часов  был в пути тот или другой поезд, надо знать пройденное им расстояние и скорость. Расстояние дано в условии. Чтобы узнать скорость, надо знать расстояние и время, за которое это расстояние пройдено. В условии сказано, что первый поезд шел на 19 ч дольше - это первая разность между величинами в данной задаче, а пройденное им за это время расстояние можно найти - это и будет вторая разность. Используя две разности, вычислим скорость первого поезда, а уже следующими действиями - время движения поездов.

     Запишем решение по действиям с пояснениями:

     1) 837 – 248 = 589 (км) – на столько километров больше прошел первый поезд;

     2) 589 : 19 = 31 (км/ч) – скорость первого  поезда;

     3) 837 : 31 = 27 (ч) – был в пути первый  поезд;

4. 248 : 31 = 8 (ч) – был в пути второй поезд.

Ответ: первый поезд был в пути 27 часов, второй поезд -  8 часов.

     Исходя  из материалов проанализированной нами методической литературы, мы можем  сказать, что задачи с пропорциональной зависимостью, решаемые в младших  классах, имеют следующую классификацию:

1) задачи  на нахождение четвертого пропорционального;

2) задачи  на пропорциональное деление:

-  задачи  на части, или задачи, решаемые  делением пропорционально ряду  данных чисел;

-   задачи на нахождение чисел  по сумме и кратному отношению;

-  задачи, решаемые делением числа пропорционально  нескольким рядам чисел;

3) задачи  на нахождение неизвестного по  двум разностям.

1.3. Методические приемы  обучения младших  школьников решению  тестовых задач  с пропорциональной  зависимостью 
 

        «В традиционном российском школьном обучении математике текстовые задачи всегда занимали особое место. С одной стороны, практика применения текстовых задач в процессе обучения во всех цивилизованных государствах идет от глиняных табличек Древнего Вавилона и других древних письменных источников, то есть имеет родственные корни. С другой -  пристальное внимание учителей к текстовым задачам, которое было характерно для России,  почти исключительно российский феномен.

        Известно, что исторически долгое время математические знания передавались из поколения в поколение в виде списка задач практического содержания вместе с их решениями. Первоначально обучение математике велось по образцам. Ученики, подражая учителю, решали задачи на определенное правило. [7]» -  так описывает работу по обучению школьников решению задач Ю.М.Колягин. Но современное образование давно отошло от таких методов обучения, они не возможны сейчас. Рассмотрим в своей работе наиболее эффективные условия для обучения учащихся начальной школы решению задач определенного вида - задач с пропорциональной зависимостью, которые являются для детей наиболее сложными.

      По  мнению Н.Б.Истоминой: «Одна из причин возникающих у детей трудностей в процессе решения этих задач  заключается в том, что понятие  «пропорциональная зависимость» не является предметом специального усвоения» [6].

      Методисты М.А.Бантова, Г.В.Бельтюкова, подробно раскрывая  методику работы с задачами с пропорциональной зависимостью утверждают то, что «связи между пропорциональными величинами раскрываются с помощью решения  простых задач на нахождение одной  из величин по данным, соответствующим значениям двух других величин (например, задачи на нахождение стоимости по известным цене и количеству)» [2]. Составим такие задачи в соответствии с теми процессами и характеризующими их величинами, которые мы изложили в предыдущем параграфе исследования:

1)   Ручка стоит 8 рублей. Дима купил  3 такие ручки. Сколько денег  заплатил Дима за покупку?

2)   Вася купил 2 пирожка с мясом,  заплатив за них 18 рублей. Какова  цена пирожка?

3)   Таня купила блокноты, заплатив 24 рубля. Сколько блокнотов купила Таня, если цена каждого -  6 рублей?

      При решении подобных простых задач  с пропорциональными величинами целесообразно использовать такие  методические приемы обучения решению  текстовых задач, которые способствуют формированию у учащихся представлений о пропорциональной зависимости величин. Некоторые из них мы уже указывали в первом параграфе исследования.

      В числе приемов, которые советуют применять математики Л.Н.Скаткин, Т.К.Жикалкина  можно назвать:

• -  изменение одного из данных задачи;
• -  сравнение результатов решения задач, в которых изменяется одно из данных;
• - интерпретация задачи в виде схемы, запись задачи в таблице;
• - анализ текстов задач с недостающими и лишними данными [6].

      Например, учащимся можно предложить задачи с  недостающими данными, при анализе которых они, пользуясь житейскими представлениями, сами употребляют термин «зависит».

      Задача: Маша купила 5 тетрадей в клетку и 2 блокнота. За что она заплатила  денег больше, за тетради или за блокноты?

      Анализируя  текст этой задачи, учащиеся могут обнаружить, что в них не хватает данных, и что ответить на вопрос задачи они не могут. Учащиеся ответят: «Это зависит от того, сколько стоит 1 тетрадь и 1 блокнот» и т. д. Для разъяснения учащимся смысла понятия «зависит», по нашему мнению, необходимо проследить, как изменяется одна величина в зависимости от изменения другой при постоянной третьей. Для этой цели можно воспользоваться приведенной задачи, дополнив ее условие.

      Задача: В палатку привезли 6 ящиков апельсинов. Сколько килограмм апельсинов привезли в палатку?

      Учащиеся  быстро обнаруживают, что ответить на вопрос задачи нельзя, так как  неизвестна масса одного ящика. Выделенные величины полезно зафиксировать  в таблице, т.е. задачу мы будем моделировать, интерпретируя ее в виде таблице : 

 

      Дети  могут дополнить условие и  решить задачу. Затем надо проследить, как будет изменяться общая масса  в зависимости от изменения массы  одного ящика при постоянном их количестве или в зависимости от изменения количества ящиков при постоянной массе одного ящика. Для этого также целесообразно использовать таблицу: 

 

      Рассматривая  предлагаемую таблицу, стоит обсудить вопросы:

1) Какая  величина не изменяется?

2)    Какие величины изменяются?

3)    Во сколько раз масса шести  ящиков больше, чем масса двух  ящиков?

4)    Во сколько раз масса четырех  ящиков меньше, чем масса двенадцати  ящиков?

            Аналогичные наблюдения следует провести при условии  изменения количества ящиков, но при  постоянной массе одного.

             Затем полезно рассмотреть обратную  ситуацию, предложив школьникам  такую задачу: