Контрольная работа по "Экономике"

 

В данном случае  коэффициент уравнения регрессии  можно считать значимым, т.к. t_расч≥ t_крит.

 

 

Задание  3. На основании данных о продажах продукции за последние десять лет; маркетинговый  отдел должен определить прогнозные показатели на 2001 и 2002 год, используя трендовую модель. Необходимо решить следующие вопросы;

1. Определить наличие  тренда методом существенности разности средних.

2. Выявить аномальные  показатели в динамическом ряде.

3. Произвести выравнивание  динамического ряда методом скользящей  средней при    т=5.

4. Определить параметры  уравнения для расчета прогнозных  показателей.

5. Определить точечные значения прогноза и диапазон возможного разброса на  2001   и 2002гг.

Данные для решения  задачи приведены в таблице.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                   

Год	Объем продаж
1991	84
1992	86
1993	89
1994	92
1995	91
1996	97
1997	99
1998	96
1999	95
2000	101

 

Решение.

 

1. Метод проверки разности  средних уровней заключается  в последовательной реализации  следующих этапов:

На первом этапе исходный временной ряд (табл. 3) разбивается  на две примерно равные по числу уровней части: в первой части п₁ первых уровней исходного ряда, во второй – n₂ остальных уровней (n₁+n₂=n).

В условиях данной задачи n₁=n₂=5

На втором этапе для  каждой из этих частей вычисляются  средние значения и дисперсии:

Годы	Объем продаж (уt) n1 = 5	(yt – yср)2
1	84	19,36
2	86	5,76
3	89	0,36
4	92	12,96
5	91	6,76
	yср = 88,4	σ2 = 11,3
Годы	Объем продаж (уt) n2 = 5	(yt – yср)2
6	97	0,36
7	99	1,96
8	96	2,56
9	95	6,76
10	101	11,56
	yср = 97,6	σ2 = 5,8

 

Третий этап заключается  в проверке равенства (однородности) дисперсий обеих частей ряда с  помощью F-критерия Фишера, которая основана на сравнении расчетного значения этого критерия:

с табличным (критическим) значением критерия Фишера F_α с заданным уровнем значимости (уровнем ошибки) α. В качестве α чаще всего берут значения 0,1 (10%-ная ошибка), 0,05 (5%-ная ошибка), 0,01 (1%-ная ошибка). Величина 1 – α называется доверительной вероятностью.

F_табл (α=0,05, k₁=k₂ = 3) = 9.28

По условиям данного  временного ряда F_расч  < F_табл .

Если расчетное значение F меньше табличного F_α, то гипотеза о равенстве дисперсий принимается и переходят к четвертому этапу. Если F больше или равно F_α, гипотеза о равенстве дисперсий отклоняется и делается вывод, что данный метод для определения наличия тренда ответа не дает.

На четвертом этапе  проверяется гипотеза об отсутствии тренда с использованием t-критерия Стьюдента. Для этого определяется расчетное значение критерия Стьюдента по формуле:

 

 

где σ — среднеквадратическое отклонение разности средних:

 

 

 Если расчетное  значение t меньше табличного значения  статистики Стьюдента t_α с заданным уровнем значимости α,  гипотеза принимается, т.е. тренда нет, в противном случае  тренд есть. Заметим, что в данном случае табличное значение t_α берется для числа степеней свободы, равного n₁+n₂  - 2, при этом данный метод применим только для рядов с монотонной тенденцией.

t_табл (0,05; 5+5-2) = 2,306

t_табл <  t_расч   следовательно тренд есть.

 

2. Для выявления аномальных  показателей в динамическом ряде  воспользуемся правилом «трех  сигм», т.е. запишем соотношение:

если у_i   не попало в интервал -3σ_у + у^ср ≤ у_i ≤ у^ср + 3σ_у  то у_i  исключаются из динамического ряда.

Год	Объем продаж	(у-уср)^2
1991	84	81
1992	86	49
1993	89	16
1994	92	1
1995	91	4
1996	97	16
1997	99	36
1998	96	9
1999	95	4
2000	101	64
	уср = 93	σу 2 =  28
		σу  = 5,2915

 

Если σ_у = 5,2915, у^ср = 93 то интервал для у_i составит

-15,8745+93 ≤ у_i ≤ 93+15,8745

77,12 ≤ у_i ≤ 108,87

 

3. Самым простым методом  механического сглаживания является метод простой скользящей средней. Для первых т=5 уровней временного ряда вычисляется их средняя арифметическая; это будет сглаженное значение уровня ряда, находящегося в середине интервала сглаживания. Затем интервал сглаживания сдвигается на один уровень вправо, повторяется вычисление средней арифметической и т.д. Для вычисления сглаженных уровней ряда y_t применяется формула:

где (при нечетном m); для четных т формула усложняется.

В результате такой процедуры  получаются n - m + 1 сглаженных значений уровней ряда; при этом первые р и последние р уровней ряда теряются (не сглаживаются).

Другой недостаток метода в том, что он применим лишь для рядов, имеющих линейную тенденцию.

На основе временного ряда представленного в данной задаче скользящая средняя составит:

Продажи	Скользящая средняя
84
86
89
92
91	88,4
97	91
99	93,6
96	95
95	95,6
101	97,6

 

4. Для определения  параметров уравнения регрессии  воспользуемся формулами:

где  у – значения  объема продаж по прогнозу;

t – переменная фактора времени. t =1–10

Параметры уравнения  находятся в результате решения  системы нормальных уравнений вида, используя метод наименьших квадратов:

или используя формулу  для расчета коэффициентов уравнения  парной регрессии:

Для этого выполним ряд  промежуточных вычислений (табл. 2).

ti	yi	yi*ti	ti^2
1	84	84	1
2	86	172	4
3	89	267	9
4	92	368	16
5	91	455	25
6	97	582	36
7	99	693	49
8	96	768	64
9	95	855	81
10	101	1010	100
tср = 5.5	у срi= 93	Σ = 5254	Σ = 385

 

 

Используя данное уравнение рассчитаем выровненные уровня ряда динамики .

ti	yi	yi*ti	ti^2	yt*	(yi-yt*)^2
1	84	84	1	85	2,00
2	86	172	4	87	1,21
3	89	267	9	89	0,05
4	92	368	16	90	2,34
5	91	455	25	92	1,33
6	97	582	36	94	9,99
7	99	693	49	96	12,09
8	96	768	64	97	1,46
9	95	855	81	99	15,16
10	101	1010	100	101	0,18
55	930	5254	385	930	45,81

 

5. Используя данную  модель можно рассчитать точечные  прогнозы на 2001 и 2002 года.

 

 

Годы ti	Объем продаж (yi)	Прогнозные  значения по модели yt*
1991	84	85
1992	86	87
1993	89	89
1994	92	90
1995	91	92
1996	97	94
1997	99	96
1998	96	97
1999	95	99
2000	101	101
2001		102
2002		104