Табличные случаи умножения и деления

     С учетом того, что не все учащиеся могут непроизвольно запомнить табличные случаи умножения в процессе выполнения обучающих заданий, в учебнике в определенной системе даются установки на запоминание 3-4 табличных случаев. Например, первая порция, рекомендуемая для запоминания в таблице умножения числа 9, включает случаи 9 • 5, 9 • 6 и 9 • 7. В качестве опорного здесь выступает случай 9 • 5, ориентировка на который позволяет учащимся быстро найти значение произведений 9 • 6 и 9 • 7. Вторая порция, рекомендуемая для запоминания, включает случаи 9 • 2, 9 • 3 и 9 • 4. Здесь внимание школьников акцентируется на случае 9-3. И наконец, последняя порция включает случаи 9 • 8 и 9 • 9.

     Таким образом, данная методика позволяет учесть индивидуальные особенности учащихся, создавая условия как для непроизвольного, так и для произвольного запоминания таблицы, активизируя при этом смысловую память. Положительную роль играет и тот факт, что таблица умножения числа 9 является самой большой по объему и все случаи этой таблицы включаются в установку на запоминание. Как известно, знакомство с переместительным свойством умножения и его использование при составлении таблицы умножения сокращает объем последующих таблиц и последняя таблица (умножение числа 2) содержит одну строку (2-2 = 4).

     Во 2 классе рассматриваются только табличные  случаи умножения с числами 8 и 9. Дальнейшая работа, связанная с усвоением таблицы умножения и соответствующих случаев деления, продолжается в 3 классе.

     Курс  математики Л. Г. Петерсон в целом ориентирован на личностное развитие ребенка. Поэтому знания в нем рассматриваются не как самоцель, а как средство развития мышления учеников, их чувств и эмоций, творческих способностей и мотивов деятельности.

     Первостепенным  по значимости вопросом, который рассматривается во 2 классе, является раскрытие смысла умножения и деления. При введении умножения учитель показывает школьникам практическую целесообразность нового арифметического действия. Оно заключается в том, что решение многих практических задач с помощью известных действий неудобно или даже невозможно. Учитель предлагает задачу: «На одну рубашку пришиваю 9 пуговиц. Сколько пуговиц надо пришить на 860 рубашек?» Ученики придумывают варианты записи суммы, состоящих из одинаковых слагаемых. Они фантазируют, высказывают свои предложения. Только после этого учитель показывает им общепринятый способ записи:

      9 + 9 + 9 + ... + 9 = 9 • 860 

                   860 раз

     Открытие, которое должны сделать в данном случае учащиеся, заключается в самостоятельном обобщении, переносе полученного равенства на язык букв. Левую часть может записать учитель, а правую часть — ученики, объяснив смысл каждого множителя: первый множитель показывает, какое слагаемое взяли, а второй множитель показывает число слагаемых:

      а + а + а + ... + а = а • b 

                    b раз

     Учитель лишь сообщает общепринятую терминологию: умножение, первый множитель, второй множитель.

     Далее учащиеся составляют таблицу умножения всех однозначных чисел. Заполняя ее, они должны заметить, что в первой строке каждое следующее число на 1 больше предыдущего, во второй строке каждое следующее число на 2 больше предыдущего, в третьей строке увеличиваются на 3, в четвертой — на 4 и т.д. Поскольку кратные однозначных чисел школьники должны уже знать, то остальные строчки заполняются быстро. В результате получается полная таблица умножения. В готовом виде она показана на следующей странице в учебнике. После заполнения таблицы учащиеся проверяют по готовой таблице и еще раз проговаривают вслух числа, кратные 2, 3, ..., 9. На этом же уроке учитель знакомит школьников с таблицей умножения на пальцах.

     На  следующих уроках осваивается таблица умножения на 2. Школьники должны научиться решать соответствующие примеры быстро и в произвольном порядке. Учащиеся заполняют первый столбик по памяти (к этому времени они уже освоили счет через 2), проговаривая вслух. Затем заполнение идет по строкам: 2 • 3 = 6, значит, 3 • 2 = 6, так как от перестановки множителей произведение не меняется.

     Далее учащиеся встречаются с действием деления и устанавливают его взаимосвязь с умножением. Вначале учащиеся повторяют смысл умножения и составляют произведение по рисунку.

     

                                            2 • 4 = 8

     Учитель предлагает решить задачу: «Разделите 16 конфет поровну на четверых. По сколько конфет надо дать каждому?» Затруднение, которое возникает в классе в связи с ответом на вопрос задачи, мотивирует проведение исследования с помощью предметных моделей: учащиеся раскладывают заранее подготовленные конфеты на 4 равные по количеству кучки. Выясняется, что в каждой кучке 4 предмета. Учитель показывает общепринятую запись деления: 16:4 = 4. Отсюда следует, что разделить на равные части — значит найти число предметов в каждой части.

     Затем ученикам предлагается решить аналогичную  задачу: «Разделите 8 орехов поровну  на 4». Подбором учащиеся определяют, что при делении 8 орехов на равные части каждый получает по 2 ореха. Равные части обводятся замкнутыми линиями, и рядом записывается соответствующий пример на деление.

         

                                      8:4=2

     Теперь  учащиеся замечают, что рисунки в задачах одинаковые. Значит, операция деления обратна операции умножения. При делении 8 орехов на 4 получается такое число (2), которое при умножении на 4 дает 8.

     На  следующем уроке ученики знакомятся с делением по содержанию. Им даны две задачи на деление одного и того же множества предметов. Анализируя их, учащиеся приходят к выводу, что задачи на деление могут иметь одинаковое решение, но разный смысл (деление на 4 и деление по 4).

     Изучение  табличного умножения и деления на 3, 4, 5, ..., 9 осуществляется в следующем порядке:

     1) повторение ритмичного счета  через 3, 4, 5, ..., 9 и хоровое проговаривание чисел, кратных 3, 4, 5,..., 9;

     2)  самостоятельное заполнение учащимися по памяти первого столбика таблицы;

     3)   заполнение для каждого равенства  соответствующей строки на основании  правил, изученных на предыдущих уроках.

     Для закрепления знания табличных случаев умножения и деления на 3, 4, 5,..., 9 учащиеся:

     — выполняют задания с числовым лучом;

     — играют в «вычислительную машину»;

     — зачеркивают лишние числа;

     — выполняют задания с блок-схемами;

     — играют в «парашютистов».

     Введение частных случаев умножения с 0 и 1, в отличие от традиционной методики, не разнесено во времени и проводится совместно. Это сокращение времени становится возможным, прежде всего, за счет использования деятельностного метода: учитель не объясняет, а ставит проблему, которую ученики исследуют и разрешают под его руководством. Кроме того, лучшему запоминанию полученных выводов способствует подключение образной памяти. Например, множитель 1 не изменяет число. Значит, его можно представить как своеобразное «зеркало». Оно как бы отражает второй множитель, не изменяя его. В отличие от единицы, число 0 — это «страшный зверь», который съедает при умножении любой множитель.

     Основой процесса обучения математике в развивающей  системе Л.В. Занкова, направленной на общее развитие школьников, являются особые дидактические принципы, которые реализуются в самостоятельном коллективном и индивидуальном добывании знаний учащимися на основе использования опыта, результатов практической деятельности, проведенных наблюдений, высказанных предположений, их сравнения и доказательного отбора.

     Таким образом, основным в обучении математике по этой системе является индуктивный путь познания, особенно в начале обучения, что не исключает использования и дедуктивного пути в тех случаях, когда это диктуется особенностями рассматриваемого вопроса и возможностями учеников.

     Во II классе начинается изучение действий умножения и деления. Умножение рассматривается как действие, заменяющее сложение в случаях равенства слагаемых. Деление возникает как действие, обратное умножению, которое дает возможность по значению произведения и одному множителю найти другой множитель.

     В дальнейшем умножение и деление  рассматриваются и с других точек  зрения, а именно как действия, позволяющие увеличить или уменьшить число в несколько раз. Деление также рассматривается как действие, при помощи которого можно узнать, во сколько раз одно число больше или меньше другого.

     Овладение материалом этой темы сосредоточено вокруг следующих приоритетных вопросов: связь умножения со сложением; связь деления с умножением; знакомство с законами и свойствами умножения и деления.

     Знание  переместительного закона умножения, как и знание аналогичного закона сложения, помогает значительно сократить количество равенств таблицы умножения, которые необходимо запомнить.

     Понимание связи между умножением и делением дает возможность связать каждый случай умножения с соответствующими случаями деления, что делает ненужным составление и запоминание табличных случаев деления.

     Как и при изучении сложения и вычитания, одним из центральных вопросов знакомства с новыми действиями является составление таблицы умножения. Стремясь максимально использовать связи между сложением и умножением, авторы отказались от принципа ее составления, основанного на рассмотрении сумм, содержащих разное количество одних и тех же слагаемых (2 + 2, 2 + 2 + 2 и т.д.). В учебнике по системе Л.В. Занкова первым шагом в составлении таблицы умножения является рассмотрение таблицы сложения с точки зрения выделения сумм, в которых сложение можно заменить умножением.

     Таким образом, первый столбик умножения объединяет все случаи умножения однозначных чисел на 2. В дальнейшем второй множитель последовательно увеличивается от столбика к столбику, пока не достигнет 9.

     Табличное деление выполняется учащимися на основе использования таблицы умножения и взаимосвязи между этими действиями.

     Анализ  учебников и программ по математике для начальной школы в различных системах обучения показал, что:

     — табличное умножение и деление изучается в течение двух лет в программе авторского коллектива под руководством М.И. Моро и программе Н.Б. Истоминой. В соответствии с логикой курса Н.Б. Истоминой ученики усваивают смысл умножения и его табличные случаи и только после этого (в III классе) приступают к изучению деления. В программе Л.Г. Петерсон тема «Умножение и деление» изучается в течение одного года;

     —  в каждой из указанных выше систем есть своеобразные, присущие только данной системе методы и приемы изучения табличного умножения и деления. 
 
 
 

     1.3. Приемы составления табличного умножения 

     Формирование  прочных вычислительных навыков  табличного умножения и деления  – одна из самых сложных задач  курса математики начальных классов. При современной методике решению этой задачи предшествует большая подготовительная работа, цель которой – обеспечить сознательное формирование вычислительных навыков.

     Прежде  чем приступить к составлению  и заучиванию таблиц умножения и  деления, учащимся разъясняется смысл  действий умножения и деления, переместительное свойство умножения, взаимосвязь компонентов и результатов действий (темы: «Нахождение неизвестного множителя», «Нахождение неизвестного делимого и делителя»), рассматриваются случаи умножения и деления с единицей, умножение и деление на 10.

     Усвоение  смысла действия умножения и умение применять данное знание на практике позволяет учащимся самостоятельно справиться с составлением таблицы  умножения. Здесь учащиеся не испытывают затруднений. Заменяя произведение суммой, они самостоятельно могут найти результат любого случая табличного умножения.

     Использование зависимости между множителями  и произведением (правило нахождения неизвестного множителя) позволяет  из каждого табличного случая умножения  получить два табличных случая деления.