Табличные случаи умножения и деления

     Умножение чисел обладает следующими свойствами:

1. коммутативность: ab = ba;
2. ассоциативность: a (bc) = (ab) c;
3. дистрибутивность: a (b + c) = ab + ac.

При этом всегда а • 0 = 0; a • 1 = а.

     Коммутативное свойство умножения иначе называют переместительным свойством, а ассоциативное - сочетательным свойством. Переместительное свойство умножения в начальной  школе изучают в виде правила: от перестановки множителей произведение не изменяется. Сочетательное свойство умножения изучают в виде правила умножения произведения на число: чтобы умножить произведение на число, нужно умножить на это число один из множителей, а затем результат умножить на другой множитель.

     Дистрибутивное  свойство умножения относительно сложения называют распределительным свойством умножения относительно сложения и изучают в начальной школе в виде правила умножения суммы на число: чтобы умножить сумму на число, нужно каждое слагаемое умножить на это число и результаты сложить.

     По  правилам построения аксиоматической  теории определить умножение натуральных  чисел можно, используя отношение  «непосредственно следовать за»  и понятия, введенные ранее.

     Предварим определение умножения следующими рассуждениями. Если любое натуральное  число а умножить на 1, то получится а, т.е. имеет место равенство а • 1 = а и мы получаем правило умножения любого натурального числа на 1. Но как умножать число а на натуральное число b, отличное от 1? Воспользуемся следующим фактом: если известно, что 7 • 5 = 35, то для нахождения произведения 7 • 6 достаточно к 35 прибавить 7, так как 7 • 6 = 7 • (5+1) = 7 • 5 + 7. Таким образом, произведение а • b΄ можно найти, если известно произведение а • b: а • b΄ = а • b + а.

     Отмеченные  факты и положены в основу определения умножения натуральных чисел.

     Деление при аксиоматическом построении теории натуральных чисел обычно определяется как операция, обратная умножению (Стойлова 1986: 20). Делением натуральных чисел а и b называется операция, удовлетворяющая условию:

а : b = с  тогда и только тогда, когда b • с = а.

     Число а : b называется частным чисел а  и b, число а – делимым, число b – делителем.

     Как известно, деление на множестве натуральных  чисел существует не всегда, и такого удобного признака существования частного, какой существует для разности, нет. Есть только необходимое условие существования частного.

     В начальном обучении математике определение  деления как операции, обратной умножению, в общем виде, как правило, не дается, но им постоянно пользуются, начиная с первых уроков ознакомления с делением. Учащиеся должны хорошо понимать, что деление связано с умножением, и использовать эту взаимосвязь при вычислениях. Выполняя деление, например, 48 на 16, учащиеся рассуждают так: «Разделить 48 на 16 – это значит найти такое число, при умножении которого на 16 получится 48; таким числом будет 3, так как 16 • 3 = 48. следовательно, 48 : 16 = 3». 
 
 
 

2. Методика  изучения табличного умножения и деления  в вариативных  учебниках

 

     Умножение по таблицам впервые ввели вавилонские математики. Однако это было не традиционное умножение в десятичной системе счисления, а умножение по готовым таблицам шестидесятеричной системе счисления, не получившей широкого распространения среди народов мира.

     Привычная форма таблицы умножения использовалась в таблицах Паламеда (до 3 в. до н.э.), выполненных в виде столбиков, и таблице Никомаха (1 в. н.э.), выполненной в виде квадрата. Современное применение табличного умножения ведет свое начало со времени изобретения индийцами десятичной позиционной системы счисления и введения ими нуля, а также изобретения более совершенных способов умножения произвольных чисел (5-6 вв.). Применяемая сегодня форма записи действия умножения введена Н.Г. Кургановым в его «Универсальной арифметике»  (1757) под влиянием французской математической литературы.

     Табличное деление (в том смысле, которое рассматривается в современной начальной школе) фактически появляется одновременно с возникновением табличного умножения у индийцев. Однако на таблицу деления большинство математиков не обращали особого внимания, и ни один из авторов математических сочинений до конца XIX в. не помещал ее в своих книгах. Впервые в русские учебники таблица деления введена П.С. Гурьевым (1832), а необходимость ее применения более или менее подробно обоснована СИ. Шорох-Троцким (1903).

     До 70-х годов XIX в. в школах России таблицы  умножения и деления не изучались, а механически заучивались (зазубривались). Лишь с появлением «Методики арифметики» В.А. Евтушевского они стали именно изучаться, т.е. составляться тем или иным способом и усваиваться учащимися в процессе упражнений.

     Вопросы формирования понятия учащихся об умножении и делении изложены в «Очерках по методике арифметики» Ф.А. Эрна. Вопросы взаимосвязи между умножением и делением, а также вопросы психологии усвоения учащимися умножения и деления в значительной мере раскрыты в «Методике арифметики» СИ. Шорох-Троцкого, а также в работе Н.А. Менчинской «Психология обучения арифметике».

     Методы  изучения таблиц умножения и деления  были разработаны методистами А.И. Гольденбергом, В.К. Беллюстиным и др. Они широко проверены на опыте массовой школы.

     Методика  введения новых понятий в школе  должна базироваться на научной теории соответствующего предмета. Так, широкую известность получили три способа введения понятия умножение:

     1)  с помощью системы аксиом;

     2) на основе операций над множествами;

     3)  на основе сложения одинаковых  слагаемых.

     Первый  способ положен в основу введения понятия действия умножения в школьный курс как в ряде английских и немецких учебников, так и в некоторых советских, например, пособиях К.И. Нешкова и А.М. Пышкало.

     Деление может вводиться следующими путями:

     1) как действие, обратное умножению;

     2) на основе операций над предметными  множествами.

     Различают две операции: деление на равные части и деление по содержанию (различная роль множимого и множителя порождает различные виды деления). Можно познакомить учеников сначала с делением по содержанию, а затем с делением на равные части. Возможен и обратный порядок.

     Однако, какой бы путь ни избрал учитель, изучение табличного умножения и деления — это один из наиболее трудных вопросов начального курса математики.

     В настоящее время существует много  различных программ обучения математике, которые различаются по методике обучения умножению и делению. Рассмотрим подробнее, каким образом в различных программах изучается табличное умножение и деление.

     В учебниках авторского коллектива под  руководством М.И. Моро при изучении табличных случаев на 2 и на 3 (II класс) составляются две таблицы  умножения. При введении последующих случаев умножения на 4 - 9 (3 класс) составляются две таблицы умножения и две таблицы деления. Из каждого случая умножения, например 2 • 5, выводится новый случай путем перестановки множителей 5 • 2 и два случая деления 10 : 2 = 5 и 10 : 5 = 2. Все результаты деления находят из соответствующей таблицы умножения. Сначала рассматриваются все табличные случаи умножения и соответствующие случаям деления с числами 2 и 3, затем 4, 5 и т.д.

     Табличные случаи умножения и деления с каждым числом изучаются примерно по одному плану. Сначала составляется таблица умножения по постоянному первому множителю (3 • 3, 3 • 4, 3 • 5 и т.д.). В этом случае учащиеся легко находят результат следующего примера, пользуясь результатом предыдущего (3•5 = 5•3 + 3), но в этом случае в некоторых суммах будет много слагаемых (например, в случае 2 • 9 будет девять слагаемых). Если составлять таблицу по постоянному второму множителю (3 • 3, 4 • 3, 5 • 3 и т.д.), то слагаемых будет меньше. Эта таблица удобнее для запоминания наизусть, но зато при ее составлении труднее находить результат: слагаемые каждого следующего примера отличаются от слагаемых предыдущего примера (3-3 = 3 + 3 +3,4-3 = 4 + 4 + 4 и т.д.). Чтобы найти результат следующего примера, пользуясь предыдущим, придется рассуждать так: 4-3 = 3-3 + 3, 5-3 = 4-3 + 3.

     Для нахождения результата умножения используют различные приемы:

     — произведение заменяют суммой (3 • 4 = 3 + 3 + 3 + 3= 12);

     — к результату предыдущего примера из таблицы прибавляют соответствующее число (3 • 4 = 12; 3 • 5 = 12 + 3 = 15);

     —  из известного результата вычитают соответствующее  число (8 • 10 = 80, 8 • 9 = = 80-9 = 72).

     После того как составлена таблица по постоянному  первому множителю, из каждого примера на умножение учащиеся составляют еще один пример на умножение, переставляя множители, и два примера на деление, результат в которых находят на основе связи между компонентами и результатом умножения.

     Составление каждой таблицы начинается с примера, в котором множители равны, например 3 • 3, и заканчивается случаем умножения на 9, например 3 • 9. Таким образом, ученики должны запомнить 36 табличных случаев умножения и затем использовать их для решения либо примеров с переставленными множителями, либо примеров на деление. Число новых случаев в каждой следующей таблице уменьшается. Учащиеся от таблицы к таблице проявляют больше самостоятельности при их состоянии.

     В ходе составления и заучивания большое внимание уделяется упражнениям на запоминание табличных результатов, например:

     —  составь четыре примера на умножение и деление с одинаковыми числами (4 • 3 = 12, 3 • 4 = 12, 12 : 4 = 3, 12 : 3 = 4);

     —  повтори таблицы по порядку и  вразбивку;

     —  составь по памяти таблицу умножения двух или на два, трех или на три и т.д.;

     —  замени число (например, 24) произведением соответствующих множителей (8 • 3, 6 • 4);

     —  отгадай задуманное число (если его  умножили на 8 и получили 72).

     Заметим, что заучиваются наизусть только результаты умножения, соответствующие же случаи деления учащиеся должны уметь быстро находить, пользуясь таблицей умножения. В процессе тренировки учащиеся должны твердо запомнить тройки чисел, например: 3, 7, 21; 9, 8, 72 и т.д.

     В основе построения курса Н.Б. Истоминой лежит идея организации целенаправленной и систематической работы по формированию у младших школьников приемов умственной деятельности (анализа и синтеза, сравнения, классификации, аналогии и обобщения и т.д.). Направленность процесса обучения математике в начальных классах на формирование основных мыслительных операций позволяет включить интеллектуальную деятельность младшего школьника в различные соотношения с другими сторонами его личности, прежде всего с мотивацией и интересами, оказывая тем самым положительное влияние на развитие внимания, памяти, эмоций и речи.

     В теме «Умножение» большое внимание уделяется разъяснению предметного  смысла этого действия, усвоению его определения как суммы одинаковых слагаемых и осознанию новой математической записи. Для этой цели используются различные виды учебных заданий на:

     —  выделение признаков сходства и  различия данных выражений;

     —  соотнесение рисунка и числового  выражения;

     — выбор числового выражения, соответствующего данному рисунку;

     —  запись числового выражения по данному рисунку и др.

     Параллельно с усвоением предметного смысла умножения проводится работа по формированию навыков табличного умножения.

     Важно, что составление и усвоение таблиц умножения (деления) органически включается в содержательную линию курса. В связи с этим в учебнике нет заголовков «Умножение на 2», «Умножение на 3» и т.д. Табличные случаи умножения усваивают в процессе изучения смысла умножения (тема «Умножение»), переместительного свойства умножения, понятия увеличить в несколько раз и тем «Площадь фигуры», «Измерение площади», «Сочетательное свойство умножения». Это позволяет предложить ученикам интересные содержательные упражнения, выполнение которых способствует непроизвольному запоминанию таблицы умножения. Результаты работы по формированию табличных навыков умножения подводятся в теме «Таблица умножения», где учащимся дается задание, при выполнении которого они могут проверить, как каждый из них усвоил таблицу умножения. При этом работа, связанная с составлением и усвоением таблицы умножения, распределяется во времени.

     Составление и усвоение таблицы умножения начинается со случаев умножения числа 9. Это позволяет не только поупражнять школьников в сложении двузначных и однозначных чисел с переходом через разряд при замене произведения суммой, но и сосредоточить их внимание на более сложных для запоминания случаях табличного умножения (9 • 8, 9 • 6, 9 • 7, 8 • 7, 7 • 6).

     Составление таблицы осуществляется небольшими порциями, каждая из которых сопровождается вариативными упражнениями, связанными с такими понятиями, как смысл умножения, переместительное свойство умножения, увеличение в несколько раз. Процесс выполнения каждого упражнения требует от учеников активного использования приемов умственной деятельности, что оказывает положительное влияние на непроизвольное запоминание табличных случаев умножения.