Табличные случаи умножения и деления

Введение 

     На  первой ступени обучения математике изучаются четыре основных математических действия: сложение, вычитание, умножение  и деление. Эти действия, эти действия связывающие между собой три  абстрактных числа нелегко даются ученикам. Поэтому на первой ступени обучения абстрактные числа стараются овеществлять, связывая их с предметами, например с яблоками, кубиками, шариками и т.д. Действия сложения и вычитания в этом плане особых трудностей не вызывают. В нашей научной работе мы остановимся на особенностях изучения умножения и деления.

     Изучение  табличного умножения и соответствующих  случаев деления – центральная  тема курса математики во 2 классе. Знанию таблицы умножения всегда придавалось  большое значение. Но всегда возникали  и трудности, которые приходилось преодолевать при заучивании ее.

     Современная методика требует, чтобы дети не только знали таблицу, но и поняли принцип  ее составления, дающие возможность  находить любое произведение. Ученик должен не только выучить и запомнить  результаты табличного умножения, но и уметь при необходимости вычислить результат самым кратчайшим путем. Эти вопросы были достаточно освещены Г.Г. Микулиной, А.Д. Никулиной и др. в статьях, опубликованных в журнале «Начальная школа».

     Все выше изложенное определило актуальность курсовой работы.

     Объектом  исследования является процесс изучения математики в начальной школе.

     Предметом является приемы изучения табличного умножения и деления в вариативных  учебниках.

     Цель  курсовой работы – выявить наиболее эффективные приемы изучения табличного умножения и деления.

     Нами  определены следующие задачи:

     - изучить и проанализировать научно-методическую  и учебную литературу по проблеме  исследования;

     - изучить методические основы  табличного умножения и деления;

     - рассмотреть различные методики  изучения табличного умножения и деления;

     - обобщить результаты экспериментальной  работы.

     Исследование  проводилось с помощью таких  методов, как анализ теоретической  литературы, обобщение педагогического  опыта.

     Курсовая  работа состоит из введения, двух основных разделов, заключения, списка используемой литературы и приложений.

     Во  введении раскрывается актуальность, цели, объект, предмет и задачи исследования. Основная часть работы разделена  на два раздела. Первый раздел имеет  теоретический характер. В нем  рассматривается теоретические и методические основы табличного умножения и деления. Во второй части мы рассмотрели и проанализировали конспекты уроков по математике по теме исследования.

     В заключении приводятся выводы, сделанные  в ходе исследования.

     Список  используемой литературы включает наименования книг и статей по теме исследования.

     В приложении приводятся уроки, разработанные  учителями начальных классов, анализ которых мы выполняли во второй части  нашей курсовой работы. 
 
 
 
 
 
 

     

1. Теоретические и методические основы изучения

табличного  умножения и деления  в начальном курсе  математики 

1.   Математические основы  табличного умножения  и деления

 

     Для развития у детей познавательного  интереса к изучаемому материалу большое значение имеет методика преподавания данного материала. Поэтому, перед тем как приступить к изучению данной темы, учитель много времени уделяет поискам активных форм и методов обучения, продумывая каждый урок, ибо урок, по словам В. А. Сухомлинского, первая искра, зажигающая факел любознательности.

     Готовясь  к урокам, на которых учащиеся получат  новые знания, надо стараться заинтересовать учащихся этим знанием,  пробудить в них активное восприятие. Лучшему усвоению материала способствуют средства наглядности, опорные схемы, таблицы, которые применяются на каждом уроке.

     Изучение  табличного умножения проводится по следующему плану: подготовительная работа, изучение смысла действий умножения, некоторых его свойств, связь между умножением и делением, составление и усвоение таблиц умножения. На каждом из этих этапов важно качественно решать учебные задачи.

     В школьной практике соотношения между  знаниями, умениями и навыками рассматриваются  прямолинейно: на первое место ставится усвоение математических знаний, а  затем формирование умений и навыков. Однако такой подход не всегда правомерен. В одних случаях знания выступают необходимым условием выполнения действия, в других — знания могут являться результатом выполнения учащимися того или иного действия. Также существуют различные точки зрения на соотношение между умениями и навыками.

     Различные трактовки соотношений умений и навыков обусловлены целями и содержанием обучения математике. Поэтому, формируя вычислительную деятельность учащихся, требуется заранее четко определить, что формируется — вычислительное умение или вычислительный навык, выяснить, в состав каких вычислительных умений входит тот или иной вычислительный навык, какое вычислительное умение должно сопровождать проявление конкретно взятого вычислительного навыка и т.д. Такой подход позволяет рассматривать формирование вычислительных умений и навыков в динамике, взаимных переходах.

     Таким образом, вычислительные знания, умения и навыки находятся в сложных  взаимоотношениях, и процесс их формирования — это единый процесс, требующий активной мыслительной деятельности. Овладение вычислительными навыками арифметических действий через активное использование приемов умственных действий есть суть вычислительной культуры.

     Во 2 классе параллельно с разъяснением предметного смысла умножения начинается работа по формированию вычислительных навыков умножения.

     Формированию  табличных навыков умножения способствует система заданий продуктивного характера, которая требует от учащихся активного использования приемов умственной деятельности, что оказывает положительное влияние на непроизвольное запоминание табличных случаев умножения. Система заданий отражает сущностный подход к понятию «вычислительная культура» и реализуется в соответствии с закономерностями процессов понимания и запоминания изучаемого материала.

     Сделаем вывод о том, что формирование   прочных   вычислительных навыков табличного умножения и деления — одна из основных и сложных начального курса математики. Без быстрого и правильного воспроизведения табличных результатов невозможно дальнейшее обучение устному и письменному умножению и делению.

     Итак, определяя понятие А через род и видовое отличие, мы обращаемся к ранее введенному родовому понятию В, которое, в свою очередь, также ложно быть определено через родовое понятие С, и т.д. процесс построения такой цепи определений не может продолжаться неограниченно, поэтому и приходится некоторые понятия принимать без определений. Именно такие понятия и перечисляются в начале изложения аксиоматическом построении математической теории  в качестве основных.

     Аксиоматическое построение математической теории начинается с перечисления некоторых объектов, изучаемых этой теорией, и некоторых  отношений между ними.  Эти  объекты и отношения называются основными (неопределяемыми) понятиями  рассматриваемой теории (Стойлова 1986: 5).

     Вслед за основными понятиями и отношениями  формулируются основные предложения. Их называют аксиомами, они принимаются без доказательства в данной теории, и на их основе доказываются другие предложения данной теории – теоремы.

     При аксиоматическом построении какой-либо математической теории соблюдаются определенные правила:

     1)  некоторые понятия теории выбираются  в качестве основных и принимаются  без определения;

     2)   каждому понятию теории, которое  не содержится в списке основных, дается определение, в нем разъясняется его смысл с помощью основных и предшествующих данному понятий;

     3)   формулируются аксиомы - предложения,  которые в данной теории принимаются  без доказательства; в них раскрываются  свойства основных понятий;

     4)  каждое предложение теории, которое не содержится в списке аксиом, должно быть доказано; такие предложения называют теоремами и доказывают их на основе аксиом и теорем, предшествующих рассматриваемой.

     При аксиоматическом построении теории по существу все утверждения выводятся путем доказательства из аксиом. Поэтому к системе аксиом предъявляются особые требования.

     Система аксиом называется непротиворечивой, если из нее нельзя логически вывести  два взаимно исключающих друг друга предложения.

     Непротиворечивая  система аксиом называется независимой, если никакая из аксиом этой системы не является следствием других аксиом этой системы.

     Система аксиом называется полной, если на базе этой системы можно доказать или  опровергнуть любое утверждение, относящееся  к данной теории.

     В качестве основного отношения в некотором множестве N выбирается отношение «непосредственно следовать за», а также используются теоретико-множественные понятия, правила логики. Элемент, непосредственно следующий за элементом a, обозначают а'.

     Натуральными числами называются элементы множества N, в котором установлено отношение «непосредственно следовать за», удовлетворяющее следующим аксиомам:

     Аксиома 1. В множестве N существует элемент, непосредственно не следующий ни за каким элементом этого множества. Называют его единицей и обозначают символом 1.

     Аксиома 2. Для каждого элемента а из N существует единственный элемент а', непосредственно следующий за а.

     Аксиома 3. Для каждого элемента а из N, отличного от единицы, существует единственный элемент, за которым непосредственно следует а.

     Аксиома 4. Если множество М есть подмножество N и: а) единица содержится в М; б) из того, что а содержится в М, следует, что и а' содержится в М, то множество М совпадает с множеством N.

     Сформулированные  аксиомы называют аксиомами Пеано.

     Если  в качестве множества N выбрать некоторое конкретное множество, на котором задано конкретное отношение «непосредственно следовать за», удовлетворяющее аксиомам 1 - 4, получим модель данной системы аксиом. Например, моделью системы аксиом Пеано может служить такая совокупность множеств. Первый элемент - множество, содержащее один кружок, второй элемент - множество, содержащее два кружка, третий элемент - множество, содержащее три кружка и т. д., каждый следующий элемент получается добавлением в множество одного кружка:

     {о}, {оо}, {ооо}, {оооо}, {ооооо}, {оооооо}, {ооооооо}, ...

     Другой  моделью будет такое множество. В качестве начального элемента возьмем  произвольный отрезок. Отношение «непосредственно следовать за» определим так: «иметь длину в два раза меньше». Получим модель:

     ______________________________________________________

     _____________________________________

     _________________________

     _______________

     ______

     __ 

       Умножением натуральных чисел называется алгебраическая операция, определенная на множестве N натуральных чисел (Стойлова 1986: 15).

     Умножение - арифметическое действие. Обозначается точкой "." или знаком "х" (в буквенном исчислении знаки умножения опускаются). Умножение целых положительных чисел (натуральных чисел) есть действие, позволяющее по двум числам а (множимому) и b (множителю) найти третье число ab (произведение), равное сумме b слагаемых, каждое из которых равно а; а и b называются также сомножителями.

     Число а . b называется произведением чисел а и b, а сами числа а и b - множителями. Умножение натуральных чисел существует и единственно.