Роль і місце вибраних задач у начанні математики

Шкільні уроки математики як і раніше, націлені на проходження програми, а не на розвиток мислення у дітей. Учитель бачить своє завдання втому, щоб школярі з його допомогою  засвоїли ще одну порцію матеріалу.

Проте головне його завдання –  всебічно сприяти розвитку пізнавальних можливостей в учнів. [15]

Основну частину часу на уроці учень  проводить, вирішуючи завдання, і  причому від їх особливостей (складності, багатогранності, сюжетної форми,послідовності  та ін) і залежить, наскільки успішним буде процес навчання математики. Але  що ж ми маємо насправді? На практиці виходить, що частіше за все, процес вирішення завдань на уроці є  рутинним і залишає учневі мало можливостей  для творчості.

Згодом така специфіка завдань  виробляє в учня деякий неправильний стереотип мислення, що відноситься  до вирішення завдань. Учень просто шукає стандартну ситуацію, до якої можна було б застосувати відомі формули і теореми, і втрачається, коли запропонована завдання вимагає  навіть нескладного нестандартного підходу.

Аналіз шкільних підручників математики показує, що вони містять начебто  достатня (або навіть надлишкове) кількість  завдань, з яких вчитель може становити  набори завдань, орієнтовані на різні  класи і на різних учнів. Однак  навчальний ефект виходить, на думку  багатьох педагогів-дослідників, з  яким ми цілком згодні, невисоким.

Більшість учнів, зустрівшись із завданням  незнайомого або малознайомого  виду, не знають, як до неї підступитися, з чого почати рішення, і при цьому  зазвичай вимовляють сумно відомі слова: "А ми такі не вирішували ".

Які ж причини цього широко розповсюдженого  явища?

Автор книги [21] вбачає основну причину в незадовільною постановці завдань у навчанні математики. Він пише: "Проблема постановки задач у процесі навчання математики до цих пір не знайшла задовільного рішення (ні в нашій країні, ні за кордоном) ні з точки зору змісту навчальних завдань, ні з точки зору їх цільового призначення,ні з точки зору числа обов'язкових або необов'язкових завдань або представлення їх у вигляді цілісної системи. "

Зараз, коли учні не мають систематичних  знань про завдання і суті їх вирішення, головна увага учнів (і вчителів) спрямовано нате, щоб знайти рішення  задачі і то якомога швидше. На заключний  аналіз, на встановлення того, які висновки можна зробити з виконаного рішення, - на все це вже не залишається  ні сил, ні часу, ні бажання, але ж  це чи не головні аспекти вирішення  завдань.

У школі неможливо, та й не потрібно, розглядати всі види математичних задач. Скільки б завдань ні вирішували в школі, все одно учні у своїй  майбутній роботі зустрінуться з  новими видами завдань. Тому школа повинна  озброювати учнів загальним підходом до вирішення будь-яких завдань.

Важливим є те, що задачі у шкільних підручниках є вузького спрямування. Наприклад, метод вивчення геометрії, заснований на ознаках рівності трикутників, в підручниках геометрії  розглядається головним чином в  розділі "Трикутники". У наступних  розділах представлені вже інші методи без урахування ознак рівності трикутників. Ігнорування необхідності об'єднання методів призводить до появи труднощів у застосуванні провідних методів у більш складних ситуаціях. Зниженню цих труднощів, а в деяких випадках їх попередження буде сприяти використання завдань, розв’язання яких ґрунтується на застосуванні різних методів. Такі завдання будуть сприяти і укрупнення методів їх розв’язання. Це вже новий етап використання задач, коли вони служать в якості основи освіти, розвитку і виховання учнів. Тут уже потрібні завдання, розв’язання яких вимагає від учнів інтеграції знань з різних освітніх галузей, використання методів пізнання, конструювання нових способів аргументації, додатків і т.д.

Таким чином, систематичне застосування нестандартних задач сприяє формуванню та розвитку прийомів розумової діяльності і формуванню логічного мислення.

Серед задач для математичної школи багато задач учбового призначення, але постановка проблеми в задачі подається в незвичайній формі, а цікаві задачі, завдяки своїй  оригінальності, самі по собі викликають інтерес у учнів.

У педагогічної та методичної літературі багато говориться про індивідуалізації навчання, про облік готовності учня до сприйняття матеріалу, про дозування  завдань з, урахуванням потреб і  можливостей школяра, але традиційно урок готується з розрахунку на якогось  середнього учня, що і призводить до настільки невисоких результатів  навчання. Тому і виникають сумніви в тому, що можуть бути рекомендації, придатні для всіх. Адже кожен учень особистість, і в кожному класі є учні, які схоплюють все на льоту, і такі, яким все треба докладно кілька разів пояснити; захоплені математикою і не люблять її; готові багато займатися математикою вдома і не торкаються до підручника.

І тим не менш, незважаючи на всі індивідуальні відмінності  школярів, існує щось в організації  навчального процесу з математики при класноурочній системі навчання, що визначає успішність чи неуспішність засвоєння матеріалу: об'єктивні  закономірності засвоєння. Ясно, що розуміння  цих закономірностей і проходження  їм у реальному педагогічному  процесі – найважливіший резерв підвищення ефективності навчання тільки формулювання теорем і наслідків і тих, які зовсім не розглядаються, їх обґрунтування; при цьому, як правило, не систематизуються наявні і не узагальнюються нові й раніше отримані знання .Навіть при систематизації матеріалу не завжди розставляються акцент – який навчальний матеріал важливіше для вирішення конкретних завдань по темі (а значить, і пріоритети у вивченні). Дійсно, в кожному з розглянутих випадків не забезпечується міцне засвоєння більшістю учнів класу ні програмного, ні додаткового матеріалу, оскільки ми з самого початку недостатньо чітко визначили мету вивчення того чи іншого матеріалу, а, отже, неякісно організували діяльність усіх учнів класу.

Фронтальне рішення навчальних математичних завдань не завжди приводить  до бажаних результатів у навчанні математики. При фронтальній роботі всі учні класу вирішують одну і ту ж задачу. Для одних учнів  це завдання може виявитися дуже легкою, і вони при вирішенні такого завдання практично не почерпнуть нічого нового. У інших, навпаки, завдання може викликати  серйозне утруднення. Тому необхідний облік індивідуальних особливостей учнів і у зв'язку з цим індивідуальний підбір завдань. Завдання слід підбирати  і систематизувати так, щоб, з  одного боку, враховувалися можливості і здібності учня, з іншого боку, його здатності розвивалися.

Будь-яка самостійна робота учня з вивчення матеріалу передбачає його роботу з навчальними текстами. У процесі читання у нього з'являються ті чи інші проблеми з розумінням змісту прочитаного. Долати їх допомагає вчитель. При очному навчанні він може надати цю допомогу в будь-який момент. У заочному навчанні діалог виглядає інакше: найчастіше вчитель може дозволити собі лише одну письмову репліку з приводу кожної помилки. Зрозуміло, що це значно збільшує "ціну" кожної репліки, і вони повинні бути особливо обдуманими і змістовними, щоб з їх допомогою учень міг зрозуміти помилку і виправити її без подальшого втручання викладача.

Говорячи про роль математичних задач у розвитку у учнів здібностей до самостійної пізнавальної діяльності творчого характеру, є корисними  постановки в навчанні математичних задач проблемного характеру.

У книзі [12] М. И. Махмутов розповідає про дослідження, проведеному групою вчених, математиків і психологів з метою виявлення закономірностей активізації пізнавальної діяльності учнів. Ось що він пише у книзі:

"Теоретичне осмислення робіт  кращих вчителів допомогло виявити  в навчальному процесі загальну  закономірність активізації пізнавальної  діяльності учнів: напруга інтелектуальних  сил учня викликається головним  чином постановкою проблемних  питань, проблемних пізнавальних  задач і навчальних завдань  дослідного характеру. Це напруга  народжується в зіткненні з  труднощами в розумінні й осмисленні  нового факту або поняття і  характеризується наявністю проблемної  ситуації, високого інтересу учня  до теми, його емоційного настрою  і вольового зусилля. "[12]

Правильна постановка задач  і вправ у навчанні математики в цьому визначає сучасну методику викладання, так як розв’язання  задач служить різним конкретним цілям навчання. Розв’язання кожної математичної задачі здійснюється за чотирма основними етапом:

• розуміння умови і вимоги задачі;
• ясне засвоєння і осмислення окремих елементів умови;
• складання плану розв’язання;
• практична реалізація плану у всіх його деталях;
• остаточний розгляд задачі та її розв’язання з метою засвоєння тих моментів, які можуть стати корисними для подальшого розв’язання завдань.

Для вироблення правильного  розуміння школярами постановки задачі можна рекомендувати дотримання таких вимог:

• починайте вивчення умови задачі з акуратно виконаних схем. Пам'ятайте, що правильне графічне представлення умови задачі означають по суті чітке, ясне і конкретне уявлення про всю ситуації в цілому;
• уявіть ясно і детально все основне, пов'язане з даним завданням. Докладно з'ясуйте, що дано, що треба знайти; виділіть при цьому головне в тексті умови задачі і сконцентруйте на ньому свою увагу. Виділіть на кресленні дані і шукані величини;
• перевірте ретельно кожне висунуте в процесі виконання завдання становище контрольними питаннями виду: що це означає, які є підстава для цього твердження, яку користь можна отримати з даного факту?
• перевірте, однозначно чи сформульована задача. Чи немає в умові завдання надлишкових або відсутніх даних?

Говорячи про першу  з цих вимог, відзначимо, що воно особливо важливо при вирішенні  геометричних задач, де наочний і  чіткий креслення дозволяє іноді  з першого ж погляду виявити  можливі шляхи розв’язання.

Важливу роль в успішному  вирішенні завдань відіграє цілеспрямованість  пошуку розв’язання, тобто свідоме обмеження числа проб і помилок, характерних для початковій його стадії.

Іноді учень не в змозі  самостійно проаналізувати завдання і  вирішити її без допомоги. Проте  в цьому випадку не слід повідомляється йому готове розв’язання, а надаються  підказки.

При створенні оптимальних  умов, які б активізували розумову діяльність учнів при вирішенні  завдань, дуже часто застосовується особливий дидактичний прийом, званий системою підказок. Система підказок, що складається з допоміжних завдань, запитань і т.д., не підміняючи мислення школяра, надає йому потрібний напрямок, тобто робить пошук розв’язання цілеспрямованим.

Відшукання відповідних  аналогій активізується питаннями: "Де ми раніше зустрічали що-небудь подібне, зустрічали однакові характерні властивості?"

Для простоти відшукання аналогією  корисно застосовувати порівняльні  креслення, допоміжні формулювання.

Застосовуючи аналогію при  вирішенні задач, часто буває  корисним змінювати формулювання завдання.

Розв’язання однієї задачі декількома способами часто буває  більш корисним, ніж розв’язання  одним способом декількох завдань, так як при оцінці способів розв’язання  завдання активно працюють такі розумові операції, як аналіз, порівняння, узагальнення та інші. А це, безсумнівно, робить свій позитивний вплив на розвиток математичного мислення учнів.

Розв’язання задач має  забезпечити оволодіння наступними вміннями: розпізнавати об'єкти, що належать поняттю, виводити наслідки з належність об'єкта поняттю, переходити від визначення поняття до його ознаками, переосмислювати  об'єкти з точки зору різних понять і т.д. Так, введення математичних понять здійснюється в процесі розв’язання завдань практичного, фізичного та іншого змісту. Ознайомлення з багатьма геометричними поняттями можливо в процесі розв’язання завдань на побудову фігур, які відповідають зазначеним властивостям, вправ з моделями фігур. Засвоєння визначення поняття досягається при вирішенні задач на розпізнавання, на виведення наслідків, завдань, що вимагають аналізу умов, доповнення їх таким чином, щоб з умов витікала належність об'єкта поняттю. Систематизація понять здійснюється в процесі розв’язання завдань на встановлення зв'язків між поняттями, побудова схем, що встановлюють зв'язку, на складання "родоводів" понять і т.д. Настільки ж широка роль задач у вивченні різних закономірностей.

Ще недостатньо, навіть в  теоретичному плані, розкрито потенційні можливості таких етапів розв'язання задачі, як пошук плану, способу (методу) розв’язання і підбиття підсумків. Кожен з них володіє педагогічними  достоїнствами в залученні школярів до творчої діяльності. Зі зміною ролі і місця завдань у навчанні оновлюється і сам зміст завдань. Якщо раніше вимога завдання виражалося словами: "знайти", "побудувати", "вирахувати", "довести", то тепер - "пояснити", "вибрати з різних способів розв’язання найбільш оптимальний", "виділити всі евристики, що використовуються при вирішенні завдань", "дослідити", "спрогнозувати різні способи розв’язання", "вірно чи розв’язання?".

Деякі вчені намагалися визначити  критеріальну основу для вибору естетично  привабливою завдання. Наприклад, Е.Т.Белл, виконуючи подібне дослідження  на математичному об'єкті, виділяє  наступні ознаки привабливості: універсальність  використання в різних розділах математики, як правило, спочатку зовсім не очевидна; продуктивність або можливість спонукального  впливу на подальше просування в цій  галузі на основі абстракції і узагальнення; максимальна ємність охоплення  об'єктів розглянутого типу [4]. Мабуть, характеристика естетичної привабливості математичної задачі може бути поширена на будь-які предметні завдання.