Роль і місце вибраних задач у начанні математики

Під загальними навчальними функціями розуміють функції задач, які мають місце в процесі навчання не тільки математики, а й всіх предметів природничо-математичного циклу; спеціальні навчальні функції задач – це загальні функції, співвідносні тільки з вивченням математики; конкретні навчальні функції задач – часткові види із спеціальних функцій.

До числа загальних  функцій задач відносяться ті, які спрямовані на формування в учнів  основних понять (на рівні уявлень, засвоєння, закріплення); різних зв’язків між поняттями (від роду до виду, внутрішньо предметних, між предметних); провідних ідей, законів, принципів, положень; різних зв’язків між провідними ідеями, законами, судженнями).

Навчальну роль відіграють такі задачі:

а) задачі, які передують  вивченню нових математичних фактів; вони сприяють концентрації уваги на ідеях, поняттях, методах математики;

б) задачі за допомогою яких вводяться нові поняття і методи;

в) задачі, які утворюють  проблемну ситуацію з метою формування нових знань.

1.4. Значення задач у розгортанні змісту навчання математики

С.І.Шохор-Троцький у роботі "Мета і засіб викладання нижчої математики з точки зору вимог  загальної освіти" (СПб., 1892), відзначав, що завдання повинні служити точкою результату викладання, а не засобом  дресирування учнів у певному  напрямку. Такий погляд на роль задач склав зміст нового етапу: навчання предмету шляхом розв’язання задач. Ці думки знайшли відображення в офіційних документах. Так, в резолюції Міжнародного конгресу математиків (Москва, 1966) підкреслюється, що розв’язання задач – найбільш ефективна форма не тільки розвитку математичної діяльності, а й засвоєння знань, навичок, методів і додатків математики.

Особливо велику роль відіграють задачі у навчанні. Розв’язання  задач в навчанні виступає і як ціль, і як засіб навчання. Ось  чому проблема задач являється однією із основних для дидактів, педагогічної психології та методик. Даючи відповідь  на запитання – як зробити навчання таким, щоб воно максимально розвивало  мислення, всі пізнавальні можливості учнів, Є.В. Ільєнков вказує наступний  шлях його вирішення: «Потрібно організувати процес засвоєння знань, процес засвоєння  розумової культури так, як організує  його тисячу років кращий учитель  – життя. А саме так, щоб дитина постійно мусила тренувати не тільки (і навіть не стільки) пам’ять, скільки  здатність самостійно розв’язувати задачі, які потребують роздумів в  власному і точному сенсі слова  – «сили судження» вміння розв’язувати, чи підходить даний випадок під  засвоєні раніше правила чи ні, а  якщо ні, то як тут бути?»

Розв’язання задач, як основний метод навчання, як метод придбання  учнями нових знань – такий  шлях розв’язання проблеми розвитку тих хто навчається. В області  дидактики ця думка отримала втілення в виді так званого проблемного  навчання, в основу якого і покладено  розв’язання задач-проблем учнів. Багато психологічних дослідів обґрунтовують  правомірність цього підходу. Так  В.В. Богоявленський пише: «Будь-яке  структурне наповнення стає предметом  навчання лише тоді, коли воно набуває  для навчання вид конкретної задачі, задачі, яка направляє і стимулює навчальну діяльність». До цього  ж висновку дійшов В.В Рєпкін: «… стати предметом діяльності матеріал може лише тоді, якщо він включає  а контекст задачі… Задача являється  тією загальною і обов’язковою формою викладу матеріалу, в який він  тільки і може бути включений в  процес навчання».[19]

При навчанні математики задачі мають велике і багатостороннє значення.

Вирішуючи математичну задачу, людина пізнає багато нового: знайомиться  з новою ситуацією, описаної в  задачі, із застосуванням математичної теорії до її вирішення, пізнає новий  метод розв’язання або нові теоретичні розділи математики, необхідні для  виконання завдання, і т. д. Іншими словами, при розв’язанні математичних задач людина набуває математичні знання, підвищує свою математичну освіту. При оволодінні методом розв’язання певного класу задач у людини формується вміння вирішувати такі завдання, а при достатній тренуванні – і навики, що теж підвищують рівень математичної освіти.

При розв’язанні математичних завдань учень навчається застосовувати  математичні знання до практичних потреб, готується до практичної діяльності в майбутньому, до вирішення задач, висунутих практикою, повсякденним життям. Майже у всіх конструкторських розрахунках доводиться вирішувати математичні завдання, виходячи із запитів практики. Дослідження і опис процесів і їхніх властивостей неможливо без залучення математичного апарату, тобто без розв’язання математичних задач. Математичні задачі вирішуються у фізиці, хімії, біології, опорі матеріалів, електро- і радіотехніці, особливо в їх теоретичних основах, та ін.

Це означає, що при навчанні математики учням слід пропонувати  завдання, пов'язані із суміжними  дисциплінами (фізикою, хімією, географією та ін.), а також завдання з технічним  і практичним, життєвим змістом.

Розв’язання математичних задач привчає виділяти посилки  і укладання, дані і шукані, знаходити  спільне, і особливо в даних, зіставляти і протиставляти факти. При вирішенні математичних завдань, як вказував А. Я Хинчин [6], виховується правильне мислення, і перш за все учні привчаються до повноцінної аргументації. Розв’язання завдання має бути повністю аргументованим, тобто не допускаються незаконні узагальнення, необґрунтовані аналогії, ставиться вимога повноти (розгляд всіх випадків даної в задачі ситуації), дотримуються повнота і витриманість класифікації. При розв’язанні математичних завдань у учнів формується особливий стиль мислення: дотримання формально-логчної схеми міркувань, лаконічне вираження думок, чітка розчленованість ходу мислення, точність символіки.

Однак незважаючи на це, роль задач у навчанні зводилась до використання їх як засобу розвитку та застосування теорії. Підтвердженням цьому може служити схема навчання, представлена, наприклад, у книзі "Педагогіка математики" А.А. Столяра: "Завдання – теорія – завдання" (М., 1986). В даній схемі роль задач у засвоєнні теорії продовжує співвідноситися з її запам'ятовуванням і відтворенням. Знання і розв’язання ототожнюються з навчальною інформацією.

Зараз все більшого поширення набуває  прогресивний метод навчання через  задачі, як реалізація системи проблемного  навчання. Основні ідеї цього методу знаходять в якійсь мірі відображення в нових підручниках. Задачі стають не тільки і не стільки метою, скільки засобом навчання.

Задачі, які використовуються для підготовки учнів до вивчення математичної теорії, слід підбирати  так, щоб їх постановка привела не тільки до необхідності придбання нових  знань і умінь, а й до застосування набутих під впливом цієї необхідності знань для вирішення поряд  з поставленим і широкого класу  інших завдань.

Історично склалося, що на ранніх етапах розвитку математики розв’язання завдань  було метою навчання. Учень повинен  був завчити зразки і потім  підводити під ці зразки розв'язання задач. В основному вирішувалися типові,стандартні завдання, що належать класам алгоритмічно вирішуваних завдань,тобто  таких, для яких існує загальний  метод (алгоритм) розв’язання.

Різноманітні ситуації, що виникають  на математичному та нематематичне  матеріалі, приводять як до стандартних, так і нестандартним завданням, алгоритм вирішення яких або невідомий, або не існує. Алгоритмом, як відомо, називається певну вказівку щодо того, які операції і в якій послідовності  треба виконати, щоб вирішити будь-яке  завдання певного типу. Звичайно, дуже велика кількість завдань не алгорітмізіруется  і вирішується за допомогою спеціальних, особливих прийомів. Тому здатність  знаходити шляхи вирішення, не підходять  під стандартне правило, є однією з істотних особливостей математичного  мислення, як про це пише у своїй  книзі академік Колмогоров. [14]

РОЗДІЛ ІІ Основні завдання заочної математичної школи

2.1. Організація та функції заочної  математичної школи

Для забезпечення переходу до загальної середньої освіти, крім масових загальноосвітніх середніх шкіл, середніх професійно-технічних училищ, середніх спеціальних навчальних закладів, створювалась широка мережа вечірніх (змінних) середніх загальноосвітніх і заочних шкіл, в яких має можливість завершити, або розширити освіту молодь.

Програми з математики для таких шкіл відрізняються від програм масових шкіл незначно. Навчальний процес тут збільшений на один рік. Відмінність в організації навчальної роботи особливо помітно в заочних школах, де виклад вузлових і найбільш складних питань програми проводиться за допомогою надання матеріалу для самостійного навчання, а перевірка засвоєння учнями програмного матеріалу здійснюється шляхом надсилання умов завдань та отримання результатів.

В сучасних умови важливо  усвідомити і прийняти принципову педагогічну  установку-кожен учень може добровільно  обрати для себе рівень засвоєння  і звітності в результатах  своєї навчальної праці. Обов'язком  учня стає виконання обов'язкових  вимог, що дозволяє йому мати позитивну  оцінку з математики. У той же час учень отримує право самостійно вирішувати, обмежитися йому рівнем освітніх вимог або рухатися далі. Це кардинально змінює традиційні підходи до організації навчання.

І.М. Гельфанд говорив: «Ідея  допомогти здібним дітям з  різних кінців нашої країни, що цікавляться  математикою, але часто живуть у  місцях, де немає можливості дістати  кваліфіковану допомогу, була мені особливо близькою: я сам у ті роки, коли формувався як математик, провів у глухій провінції, де окрім двох-трьох  книг і доброго ставлення учителів не мав іншої підтримки. Єдині книжки з математики я міг дістати тільки у свого вчителя, якому я донині вважаю себе зобов’язаним. Я розумію, як важко працювати в таких умовах і скільки ми втрачаємо через це по-справжньому талановитих людей.

Я вважаю, що серйозні й зацікавлені  математикою школярі є не тільки у великих містах, а потреба  у здібних і ділових людях  така велика, що декілька інтернатів не зможуть її задовольнити.

Тому в 1963 р. я запропонував моєму великому другові Івану  Георгійовичу Петровському, ректору  МДУ, організувати з його допомогою  Заочну математичну школу.

Роботу Заочної школи  ми намагалися організувати так, щоб  віднайти в різних, часто дуже віддалених, місцях країни побільше школярів, які  цікавляться математикою, і навчити  їх серйозно працювати, допомогти піднятися  на високий рівень.

Зарахованим у Заочну школу  надсилалися книги, написані спеціально для них, і завдання по них. Учні, зі свого боку, розв’язували задачі і присилали в школу свої розв’язання. Якщо хтось не зміг розв’язати задачу або допустив помилку, то його особистий  вчитель допомагав йому, але не просто писав правильний розв’язок, а давав такі «підказки», аби той  міг самостійно виправити свою роботу…  Для роботи Заочної школи дуже важливо писати гарні книжки…вони  мають бути придатні для самостійного вивчення і доступні для учнів.»[4, 5] Саме на таких засадах працює сучасна Заочна математична школа.

Основним завданням даної  школи є допомога зацікавленим учням  усіх типів шкіл у поглибленому вивченні шкільних розділів математики, формування у учнів вміння орієнтуватися  в нових задачах, накопичувати інформацію, корисну для розв’язання інших  завдань або вивчення нових розділів математики, навчання учнів різноманітним  математичним методам пізнання реальної дійсності і т.д.

Саме цей аспект навчання математики відображений в наступному переліку цілей навчання через завдання:

• зацікавити або мотивувати;
• виробляти і практикувати "техніку розв’язання завдань";
• формувати поняття математичної моделі.

Навчання у даній школі  полягає у самостійному опрацюванні  теоретичного матеріалу за навчальними  посібниками та у розв’язуванні  й належному оформленні контрольних  робіт.

Заочна форма навчання не передбачає відриву учнів від сім'ї, звичного середовища, друзів, зате дає можливість спробувати свої сили і обґрунтовано вирішити наскільки серйозно захоплення математикою.

Така форма навчання, безсумнівно, служить потужним засобом вирівнювання стартових можливостей дітей, незалежно від того, де і в якому середовищі вони ростуть. Таким чином, школа спочатку булла орієнтована також на провінцію.

Заочна форма навчання, порівняно з іншими, відрізняється більшою гнучкістю. Тут не ставиться мета працювати тільки з обдарованими дітьми, не передбачається жорстка спеціалізація і не вирішується подальша доля дітей. Хоча для багатьох школярів навчання в заочній математичній школі допомагає визначитися з вибором професії

2.2. Особливості та значення задач  в діяльності заочної математичної  школи

Як пише О. Есаулов [10] в психології та педагогіці звертається увагу переважно на те, як вирішуються вже кимось знайдені і цілком чітко сформульовані завдання, а не на те, як вони виявляються і ставляться. У результаті виходить, що людина, що звикла бачити перед собою чітко і коректно сформульоване завдання, просто губиться в незнайомій ситуації, будь то хоч звичайна некоректна математична задача або якесь завдання, що виникло як наслідок з практики (прикладна).

У сучасній математичній освіті відзначається  наступний актуальним аспектом: вивчення математики на всіх етапах повинно  мати розвиваючий характер і прикладну  спрямованість. Молоді необхідно давати не просто конкретну систему знань, а й прищеплювати їй навички творчості, інтерес до дослідження,формувати  у неї позитивну мотивацію. [15]