Роль і місце вибраних задач у начанні математики

Навчальну роль математичні  завдання виконують при формуванні в учнів системи знань, умінь  і навичок з математики та її конкретним дисциплінам. Слід виділити кілька видів завдань з їх навчальною ролі.

1) Задачі на засвоєння  математичних понять. Відомо, що  формування математичних понять  успішно проходить за умови  ретельної клопіткої роботи над  поняттями, їх означеннями і  властивостями його означення;  необхідно розібратись у смислі  кожного слова – означення,  чітко знати властивості поняття,  що підлягає вивченню. Такі знання  набувають перш за все при  розв’язанні задач і виконанні  вправ.

2) Задачі на оволодіння  математичною символікою. Найпростіша  символіка вводиться в початковій  школі та в V-VІ класах (знаки  дій, рівності та нерівності, дужки,  знаки кута, паралельності і т.д.). Правильному використанню символів  слід вчити, розкриваючи їх  роль і значення в процесі  розв’язування задач.

3) Задачі для навчання  доведенням. Навчання доведенням  – одне з найголовніших завдань  навчання математики. Найпростішими  задачами, з розв’язання яких практично начинається навчання доведенням, є задачі-питання та елементарні задачі на дослідження. Розв’язання таких задач полягає у знаходженні відповіді на запитання і доведення. Метою розв’язання задач – питань є осмислення, уточнення понять, що вивчаються, і зв’язків між ними.

4) Задачі для формування  математичних умінь і навичок.

Найпростішими задачами, з  вирішення яких практично починається  навчання доведенням, є задачі-питання  та елементарні завдання на дослідження. Розв’язання таких завдань полягає в знаходженні відповіді на питання і доведенні його істинності.

Завдання-питання зазвичай вимагають для свого розв’язання (доведення істинності відповіді) встановлення однієї імплікації, одного логічного  кроку від даних до того що потрібно довести. Доведення ж при вирішенні більш складної задачі або доведення теореми являє собою ланцюжок кроків-імплікацій.

Метою розв’язання задач-питань є й усвідомлення, уточнення і  конкретизація досліджуваних понять і зв'язків між ними. Завдання-питання необхідні також для засвоєння учнями вводиться символіки і використовуваної мови.

1.3. Розширення функцій навчальних математичних задач

Елементарна математика використовує поняття, що склались до появи математичного аналізу. Вона охоплює в основному арифметику і так звану елементарну теорію чисел, елементарну алгебру, елементарну геометрію, тригонометрію.

Задачі з елементарної математики є платформою для поглибленого вивчення математики в подальшому.

В навчальній програмі шкільної математики вказується і на значення математичних задач в справі розвитку у дітей мислення, пам'яті, уваги, творчої уяви, спостережливості, суворої  послідовності міркування і його доказовості, для розвитку логічного  мислення учнів, для навчання їх мистецтву  коротко, точно, ясно і правильно  викладати свої думки. Всі ці передумови повинні бути можливо повніше використані при навчанні дітей математики.

Але переважна більшість  завдань виконують переважно  навчальні та тренувальні функції, що сприяє формуванню лише репродуктивного  мислення школяра. І лише небагато завдань передбачають в різному ступені конструювання нового способу розв'язання, дозволяють формувати різні рівні продуктивного мислення.

Посилення ролі розвивального  навчання, необхідність формування в  учнів навичок впорядкованого аналізу, синтезу та елементарного дослідження зумовили появу в підручниках математики деяких завдань, що значно відрізняються від звичайних за змістом, формою і методам розв’язання. Такі завдання в методиці математики прийнято називати нестандартними. Нестандартність цих завдань полягає не в складності, а в незвичності для учнів. Поява нестандартних завдань свідчить про еволюцію змісту і структури текстових завдань в залежності від інших компонентів методичної системи, про зміну їхньої ролі і місця в навчанні, тобто є цілком закономірним, обґрунтованим процесом.

У період, коли протягом десятків років зміст математичної освіти не змінювалося, завдання підвищеної труднощі застосовувалися лише як цікавий  матеріалу з метою підвищення інтересу до математики у найбільш здібних учнів. Основною формою використання цих задач були різні види позаурочної роботи.

Тепер же намітилася тенденція  використання задач підвищеного  рівня складності, як необхідного  компонента навчання школярів математики. Завдання підвищеного рівня складності необхідні у навчанні математики. Пояснюється це, насамперед, зростаючими вимогами, спрямованими на посилення виховують і розвиваючих функцій навчання. Ці завдання:

• Вчать дітей не тільки використовувати готові алгоритми, але й самостійно визначати оригінальні способи вирішення завдань;
• Перешкоджають виробленню шкідливих штампів при вирішенні задач, руйнують неправильні асоціації в знаннях і уміннях учнів і тим самим роблять позитивний вплив на формування навичок вирішення типових завдань;
• Припускають розвиток в учнів здатності до виявлення нових зв'язків в знаннях, до перенесення знань у нові умови, до оволодіння різноманітними прийомами розумової діяльності;
• Створюють сприятливі умови для підвищення міцності і глибини знань учнів, забезпечують більш свідоме оволодіння основним змістом курсу математики.

Удосконалення шкільної освіти призвело до зміни змісту і функцій  текстових завдань. Текстові задачі стали служити не тільки метою, а й важливим засобом навчання. Поряд з дидактичними функціями велике число завдань початкового курсу математики покликане нести пізнавальні і розвиваючі функції.

Для вирішення більшості  нестандартних завдань не потрібно знання учнями-яких правил; часто учні змушені «винаходити» новий прийом розв’язання. Нестандартні завдання можуть бути важливим засобом формування досвіду самостійної побудови учнями нових алгоритмів рішення задач.

Своєрідність нестандартних завдань полягає в тому,що майже кожна з них – це маленька проблема. Вирішення маленьких математичних проблем спирається не стільки на спеціальні знання, скільки на кмітливість і винахідливість. Ці якості розуму і необхідно активно розвивати у школярів.[13]

Розв’язання задач має  велике освітнє і виховне значення. Н.А.Мечинська і М.І.Моро відзначають, що рішення задач завжди розглядалося як така навчальна діяльність, яка переслідує двояку мету: по-перше, розв’язання задач є засобом, що сприяє засвоєнню математичних понять і законів, а по-друге, воно має самостійну цінність, оскільки служить для розвитку творчого мислення учнів.

Удосконалення змісту і методів  навчання математики в сучасних умовах, викликане зміною цілей навчання, зумовило не тільки зміну ролі текстових  задач. Поява нестандартних завдань, значення яких у зв'язку з новими завданнями навчання стало дуже важливим. Автори підручників підкреслюють, що поряд зі звичайними (і необхідними) для школи тренувальними вправами, спрямованими на автоматизацію набутих навичок, в підручниках широко представлені вправи нового типу – розвивального характеру. Це завдання, виконуючи які, учні повинні провести ті чи інші спостереження, зіставити спостережувані факти, зробити самостійні висновки, намітити різні шляхи вирішення висунутої задачі, проблеми, обґрунтувати свої дії, перевірити правильність висунутих пропозицій, підмітити ту чи іншу залежність, закономірність та інші.

Ці завдання, включені в  підручники, дають можливість не тільки урізноманітнити систему задач, а й познайомити учнів з  питаннями, не сформульованими безпосередньо  в програмі, але мають значення для загального розвитку. Кожна з  таких задач, може бути, і не дасть  безпосереднього результату, але  воно проявиться пізніше як підсумок загального підходу до навчання дітей  вмінню вирішувати різноманітні завдання. Розв’язання учнями нестандартних завдань передбачає розвиток в учнів не стільки здатності до оволодіння фіксованими операціями і прийомами, а до виявлення нових зв'язків, до перенесення знань у нові умови, до оволодіння новими прийомами розумової діяльності, до діяльності творчого характеру.

Вирішення цих завдань, з  одного боку, підвищує загальну і математичну  культуру школярів, сприяє розвитку їх математичного мислення, а з іншого боку, викликає у них прагнення  до відкриття нового, раніше невивченого.

З другої половини XX ст. з'являються публікації, в яких розглядаються розширені функції задач. Наприклад, К.І.Пєшков і  
А.Д. Семушина виділяють наступні групи завдань: з дидактичними, пізнавальними і розвиваючими функціями. Завдання першої групи призначені для освоєння теоретичного матеріалу, в процесі розв'язання завдань другого типу учні поглиблюють свої знання з теорії та методів їх розв’язання, зміст завдань третього типу може "відходити" від основного курсу, посильно ускладнювати деякі вивчені раніше питання курсу. Безумовно, доцільно широке використання завдань у навчанні, але не можна погодитися з тим, що розвиваючі функції властиві тільки завданням, зміст яких "відходить" від обов'язкового курсу, розширюючи його. Мабуть, такий підхід обумовлений тим, що розвиток пов'язується з приростом обсягу навчальної інформації, коли під знанням розуміється готова, книжкова інформація, а засвоєння знань зводиться до запам'ятовування фактів і їх відтворення і т.д. Непереконлива рекомендація вищеназваних авторів вважати завдання з пізнавальними функціями обов'язковими для розв’язання всіма учнями, а з розвиваючими – ні.

У ряді робіт пропонуються модифікації даної типології  завдань, наприклад дидактичного, пізнавального, розвиваючого характеру. Деякі дидакти співвідносять функції задач з навчанням, вихованням та розвитком, кожен тип описуючи за допомогою їх призначення, причому критерії віднесення завдань до тієї чи іншої групи настільки розпливчасті, що важко відрізнити один від іншого. Наприклад, Є.І. Лященко бачить призначення завдань з дидактичними функціями, зокрема, в тому, щоб сприяти виявленню властивостей досліджуваних понять, а завдання, що розкривають окремі аспекти формованого поняття і виконують дидактичні функції, відносить до завдань з пізнавальними функціями. Некоректність цих типологій пояснюється тим, що навчання – це процес, який одночасно є і пізнавальним, і розвивають. Тому спроба зіставити навчання, пізнання і розвиток з відповідним типом завдань викликає труднощі в їх характеристиці.

На думку Л. Фрідмана, однією з  основних у навчанні математики функцій  задач є функція формування і  розвитку в учнів загальних умінь  розв’язань будь-яких математичних (у  тому числі і прикладних) завдань.

Учні ж в даний час не отримують  ніяких спеціальних знань,на базі яких можливе таке формування. Більш того, в даний час ці загальні уміння формуються суто стихійно, а не в  результаті цілеспрямованого, систематичного навчання. Вважається, що ці вміння можуть виникнути лише завдяки рішенню великої кількості математичних завдань. [19]

Дослідження функцій задач  сприяли осмисленню їх ролі і місця  в навчанні. Всі вчені одностайні в тому, що завдання служать як засвоєнню знань і умінь, так і формування певного стилю мислення. Однак, як правило, вони протиставляють діяльність засвоєнню знань, умінь і навичок. Вже стає зрозуміло, що формування знань (понять, суджень, теорій) не може здійснюватися поза діяльністю. До такого висновку підводили результати досліджень психологів, педагогів, філософів, фахівців предметних наукових областей.

Одним із засобів організації  цілеспрямованої і систематичної  роботи над розвитком учнів, формуванням  математичної культури у процесі  вивчення курсу математики є навчальні завдання. Виконуючи їх, учень оволодівають новими математичними знаннями, прийомами активізації розумової діяльності, закріплюють і вдосконалюють уміння та навички.

Розв’язуючи математичну  задачу, учень знайомиться із ситуацією, що в ній описана, з математичною теорією до її розв’язання, пізнає нові методи розв’язання або нові розділи математики. Інакше кажучи, розв’язуючи математичні задачі, учень набуває математичних знань, підвищує свою математичну культуру.

Розв’язування математичних задач привчає виділяти умови  і висновки, дані і шукані величини, знаходити спільне; порівнювати  і протиставляти факти. Цей процес виховує правильне мислення, і  перш за все привчає до повноцінної  аргументації. У учнів формується особливий стиль мислення і збереження формально-логічної схеми міркувань, лаконічність висловлювань, чітка розмежованість ходу мислення, набування навичок  правильного використання і розуміння  математичної символіки.

Значення математичних задач  полягає у тому, що вони:

1. Сприяють розвитку пізнавальної діяльності учнів та формують цілісний розвиток та математичну культуру студентів: сприймання, уявлення, уваги, пам’яті, мислення, мови.

2. Допомагають формувати творчі здібності учнів, елементи яких проявляються в процесі вибору найбільш раціональних способів розв’язання задач, в математичній чи логічній кмітливості.

3. Дозволяють учням глибше зрозуміти роль математики в житті, виробляють стиль міркувань, потребу у чіткій аргументації.

4. Допомагають підвищити інтерес студентів до математики, сприяють розвитку їх математичних здібностей, формують математичне мовлення та культуру записів.

Під навчальними розуміємо функції задач, спрямовані на формування у учнів системи математичних знань, умінь і навичок (як передбачених програмою, так і розширюючих і поглиблюючих її зміст) на різних етапах засвоєння. Навчальні функції задач можна поділити на функції загального, спеціального і конкретного характеру.