Решение уравнеий

     Ответ:

     II вид – подкоренное выражение  сравнивается с подкоренным выражением  . Решать при помощи равносильного перехода, т.е. 

     Пример 42: 

     Ответ:  

     III вид – подкоренное выражение  меньше другого выражения          Решая, необходимо использовать равносильный переход, т.е. 

     Пример 43: 
 

     Ответ: .

     Пример 44: 
 

     Ответ:

     IV вид – подкоренное выражение  больше другого выражения           Решая, необходимо использовать равносильный переход, т.е. 

     Пример 45:  
 

     Ответ:

     Более сложные неравенства можно решать при помощи метода замены.

     Пример 46:  
 
 
 
 
 
 

     Ответ:

     Рассмотрим  обобщенный метод интервалов.

     Пример 47:

     ; ОДЗ:

     

        

7. Показательные уравнения и неравенства

       Показательные уравнения можно разбить на несколько видов.

     I вид – простейшие – . Решение имеет вид: f(x)=g(x).

     Пример 48: 
 
 
 

     II вид – «приводимые к квадратным».

     Пример 49: 
 
 
 
 
 
 
 

     III вид – «однородные».

     Пример  50: 
 
 
 
 
 
 
 

     Пример 51: 
 
 
 
 
 

     Неравенства решаются почти, как и уравнения.

     Пример 52: 
 
 
 

     Ответ:

     Пример53: 
 
 
 
 

     Ответ:

     Пример 54: 
 
 
 
 

     Ответ:  

2.8. Логарифмические уравнения и неравенства

Разделим  данные уравнения на виды по методам решения.

1. Решаемые потенцированием: .

     Пример 55: 
 
 
 
 

     Пример 56: 

     Ответ:

2. Решаемые заменой переменных.

Пример 57: 
 
 
 
 
 
 

Пример 58: 
 
 
 
 
 

3. Решаемые  логарифмированием.

     Пример 59: 
 
 
 
 
 

     Пример 60: 
 
 
 
 
 
 
 
 

     Неравенства решаются аналогично.

     Пример 61: 
 
 

     Пример 62: 
 
 

     Ответ:

     Пример 63: 
 
 
 
 

     Ответ:

     Пример 64: 
 
 
 
 

     Ответ:  

2.9. Тригонометрические  уравнения и неравенства

     Углубляться в решение тригонометрических уравнений  и неравенств не будем, поэтому рассмотрим решение лишь простейших. Для их решения необходимо знать функции  арккосинуса, арксинуса, арктангенса  и арккотангенса.

Пример 65: 
 
 
 

Пример 66: 
 
 
 

Пример 67: 
 
 

Пример 68: 
 
 
 
 
 

Пример 69: 
 
 

Пример 70: 
 
 

Пример 71: 
 
 

Пример 72: 
 
 

Пример 73: 
 
 
 

2.10. Уравнения с параметром

     Уравнения с параметрами в школьном курсе математики рассматриваются очень мало, поэтому большинство примеров разбирается на дополнительных занятиях. Данные уравнения вызывают много сложностей при решении у учащихся. Рассмотрим несколько примеров решений уравнений с параметрами.

     Пример 74: 

       Для a=0 уравнение не определено. На множестве {a∣a≠0} исходное уравнение равносильно

         обращается в нуль  для a= -6. Соответствующее уравнение 3x+1=0 имеет единственное решение

       На  множестве {a∣a≠-6;0} уравнения являются квадратными с дискриминантом Дискриминант для a= -5 и a= 3.

       Пусть a= -5, соответствующее уравнение имеет двукратный корень x=-1. Для a= 3 соответствующее уравнение имеет двукратный корень . На числовой прямой отметим найденные значения параметра и на каждом из полученных промежутков установим знак дискриминанта.

       

       

       

       Если  , то соответствующие уравнения не имеют решений.  Для значений параметра из уравнения имеют два различных корня, их общие решения

       Ответ: если a=0,  то уравнение не определено; если {a∣a≠-6}, то{x∣};  если {a∣a=-5}, то {x∣x=-1};  если {a∣a=3}, то {x∣}; если {a∣a∊(-5;0)(0;3)}, то решений нет; если , то {x∣}.

       Пример 75: при каких значениях параметра p корни уравнения действительны и имеют разные знаки?

       Допустимые  значения параметра p∊ℝ .

       Рассмотрим  функцию 

       Требование  задачи выполняется, если корни уравнения  лежат по разные стороны от нуля, то есть при , то есть .

       Ответ:p∊(0;3). 

       Заключение 

       Содержание  линии уравнений и неравенств развертывается на протяжении всего курса математики. Учитывая  важность и обширность материала этой линии,  целесообразно  на заключительных этапах обучения предлагать достаточно разнообразные и сложные задания, рассчитанные на активизацию наиболее существенных компонентов этой линии, основных понятий и основных приемов решения, исследования и обоснования решения.

       В этой работе были разобраны основные понятия: уравнения, неравенства и  их системы. Было показано, что большинство  уравнений полезно решать при  помощи равносильного перехода. Некоторые  учащиеся отказываются решать таким  способом, считая его более громоздким. Выбирают, по их мнению, наиболее простые, хотя это не совсем так. Задача учителя  показать преимущества равносильного  перехода и научить им пользоваться.

       Решая неравенства учащиеся сталкиваются с проблемой «закрашенных» и  «выколотых» точек. Необходимо тренировать  внимание, чтобы у учащихся не возникло проблем с ответом.

       На  системы не было уделено особое внимание, поскольку при решении уравнений  и неравенств они употреблялись.

       При решении уравнений и неравенств некоторых примеров были использованы совокупности. Необходимо научить учащихся отличать совокупности от систем, поскольку они дают разные ответы при решении.

       В данной работе не был рассмотрен еще  один  класс алгебраических уравнений, который разложением на множители  может быть сведен к линейным и  квадратным уравнениям. Богатство и  разнообразие приемов, имеющихся у  учащихся, овладевших сведением различных  уравнений к квадратным, служат необходимой  предпосылкой перехода к завершающему этапу освоения методов решения  уравнений. Особенно это сказывается  на приложении к алгебраическому  методу решения текстовых задач. Сюжеты их становятся более разнообразными, возрастает также сложность перевода на язык математики.

       В целом можно сказать, что освоение линии уравнений и неравенств поднимает учащихся на более высокую  ступень овладения содержанием  школьной математики. 

 

       Список  использованной литературы

1. Алимов Ш.А. и др. Алгебра: Пробный учебник для 6 – 8 классов средней школы. – М.:Просвящение,1981
2. Алимов Ш.А. и др. Алгебра: Пробный учебник для 9 –10 классов средней школы. – М.:Просвящение,1985
3. Блох А.Я., Гусев В.А., Дорофеев Г.В. и др. Методика преподавания математики в средней школе: Частная методика: Учеб. пособие для студентов пед. институтов по  физ.-мат. спец./сост . В.И. Мишин.–  М.: Просвящение,1987
4. Виленкин Н.Я. и др. Современные основы школьного курса математики. – М.: Просвещение, 1980
5. Виленкин Н.Я., Шварцбурд С.И. Высказывания, выражения, переменные// Математика в школе, - 1970 №3
6. Колмогоров А.Н. и др. Алгебра и начала анализа: Уч. пособие для 9 класса средней школы/Под ред. А.Н. Колмогорова. – М.: Просвящение,1975
7. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений/ Под ред. А.Н. Колмогорова.-5-е изд.-М.: Просвещение, 1996
8. Колягин Ю.М. и др. Методика преподавания математики в средней школе. Частные методики. Учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. институтов. –  М.: Просвящение,1977
9. Макарычев Ю.Н. и др. Алгебра: Учебник для 6 класса средней школы/ Под ред. С.А. Теляковского. – М.:Просвящение,1985
10. Никольский С.М., Потапов М.К. Алгебра: Пособие для самообразования. – М.: Наука,1984
11. Фаддеев Д.К.Алгебра 6 – 8:Материалы для ознакомления. – М.: Просвящение,1983
12. Феликс Л. Элементарная математика в современном изложении. – М.: Просвящение,1967
13. Зеленский А.С., Василенко О.Н. Сборник задач вступительных экзаменов. – М.: НТЦ «Университетский», 2001
14. Кузовлев А. Расположение корней квадратного трехчлена при решении задач с параметрами.9-11 классы./Кузовлев А.// Математика.-2004-№34
15. Горбачев В.И. Общие методы решения уравнений и неравенств с параметрами не выше второй степени/ Горбачев В.И.// Математика в школе .- 2000-№2