Решение уравнеий

Автор: Пользователь скрыл имя, 19 Октября 2011 в 04:07, курсовая работа

Описание работы

Истоки алгебраических методов решения практических задач связаны с наукой древнего мира. Как известно из истории математики, значительная часть задач математического характера, решаемых египетскими, шумерскими, вавилонскими писцами-вычислителями (ХХ -VI вв. до н. э.), имела расчетный характер. Однако уже тогда время от времени возникали задачи, в которых искомое значение величины задавалось некоторыми косвенными условиями, требующими, с нашей современной точки зрения, составления уравнения или системы уравнений. Первоначально для решения таких задач применялись арифметические методы. В дальнейшем начали формироваться начатки алгебраических представлений. Например, вавилонские вычислители умели решать задачи, сводящиеся с точки зрения современной классификации к уравнениям второй степени. Таким образом, был создан метод решения текстовых задач, послуживший в дальнейшем основой для выделения алгебраического компонента и его независимого изучения.

Содержание

Введение......................................................................................................................3
Глава 1
Определение понятия уравнение……………………………………….5
Неравенства .......................................................................................7
Равносильность и логическое следование...................................................8
Понятие системы уравнений и неравенств……………………………...9
Классификация преобразований уравнений, неравенств и их систем….12
Изучение основных типов уравнений, неравенств, систем……………..13
Методика изучения основных классов уравнений, неравенств и их систем............................................................................................................16
Линейные уравнения с одним неизвестным…………………………..17
Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными…………19
Квадратные уравнения...........................................................................21
Изучение неравенств…………………………………………………...22
Иррациональные и трансцендентные уравнения и неравенства…...23


Глава 2
2.1 Решение целых рациональных уравнений........................................................26
2.1.1 Линейные уравнения……………………………………………………26
2.1.2.Квадратные уравнения…………………………………………………26
2.1.3. Уравнения высших степеней…………………………………………..27
2.2. Решение дробно-рациональных уравнений………………………………….30
2.3. Решение иррациональных уравнений………………………………………..31
2.4.Решение целых рациональных неравенств…………………………………..34
2.5. Решение дробных неравенств……………………………………………….36
2.6 Решение иррациональных неравенств……………………………………….37
2.7. Показательные уравнения и неравенства………………………………….39
2.8.Логарифмические уравнения и неравенства………………………………...41
2.9. Тригонометрические уравнения и неравенства……………………………43
2.10. Уравнения с параметром…………………………………………………...45
Заключение………..……………………………………………………………….46
Список использованной литературы……………………………………………..47

Скачать полностью (142.25 Кб) Сколько стоит заказать работу?
Работа содержит 1 файл

курсовая.docx

— 145.24 Кб (Скачать)

     Пример 7:

     (x+2)(x+3)(x+8)(x+12)=4x2

     (x2+14x+24)(x2+11x+24) =4x2 
 

     (t+3)t=4 
 
 
 
 

     Пример 8:

     x3 – x2 – 8x+12=0.

     Решим его, используя схему Горнера, поскольку  другие приемы не подходят. Выпишем  делители свободного члена: ± 1,± 2, ± 3, ± 4, ±6, ±12. Первым подходящим является корень x=2, тогда поделим многочлен x3 – x2 – 8x+12 на многочлен x – 2 в столбик:

       x3 – x2 – 8x+12  x – 2

      x3 – 2x2               x2+x – 6

              x2 – 8x+12

             x2 – 2x

      -6x+12

      -6x+12

              0

     Получили  многочлен:

     (x-2)(x2+x – 6 )

     x=2 или x2+x – 6=0

                        x1= - 3 и x2= 2.

     Пример 9:

     Симметрические  уравнения:

     2x5+3x4 – 5x3 – 5x2+3x+2=0.

      2x5+3x4 – 5x3 – 5x2+3x+2  x+1

      2x5+2x4                                2x4+x3 – 6x2+x+2

              x4 –  5x3

              x4 +  x3

                           -6x3 - 5x2

                 -6x3 - 6x2

                          x 2+3x

                         x 2+x

                              2x+2

                               2x+2

                                             0

(x+1)(2x4+x3 – 6x2+x+2)=0

x=-1 или 2x4+x3 – 6x2+x+2=0 
 
 

2(y2 – 2)+y – 6=0

2y2+y – 10=0 
 
 
 
 

  и 

     Замечание: 
 

     Пример10:

     Однородные  уравнения: 

     Оно не является однородным, приведем его  к стандартному виду: 
 
 
 
 
 
 
 

     .

     Пример 11:

     x6+9x3+8=0

     x3=t

     t2+9t+8=0

     t1=-1 и t2=-8

     x1=-1 и x2=-2. 
 

    1. РЕШЕНИЕ ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

       Пример 12:  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

       Пример 13: 
 
 
 
 
 
 
 
 

       D˂0→нет действительных корней

     Пример 14:  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    1.   Решение иррациональных  уравнений

     Эти уравнения можно разбить на три  вида. Рассмотрим первый вид:

       Если n – четное, а при возведении в четную степень происходит расширение ОДЗ, следовательно, необходимо использовать равносильный переход:

     Пример 15: 
 

     Ответом будет только

     Рассмотрим  теперь другой вид, в котором,  решая,  также необходимо использовать равносильный переход:

     Пример 16:  
 

     Ответом будет только

     Рассмотрим  теперь третий вид, когда в уравнении  встречается два или более  независимых подкоренных выражения. В этом случае необходимо прибегать  к проверке.

     Пример 17: 
 
 
 
 
 

     Проверка:

      

      

     3 – является корнем данного  уравнения.

     Решая такого рода уравнения можно прибегать  к методу введения новой переменной, тогда необходимо заменять все подкоренное  выражение.

     Пример 18: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     Также, решая такого рода уравнения, можно  вводить несколько переменных. 

     Пример 19: 
 
 
 

     Решим теперь уравнение(1): 
 
 
 

     Найдем  b:

     Зная  b, найдем неизвестное x: 
 
 

     Сделаем проверку: 

     6=6. 

     6=6. 

     6=6.

     Рассмотрим  еще один метод решения иррациональных уравнений – умножение на сопряженное.

     Пример 20: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     Проверка: 
 

     7=7. 

     7=7.

     Если  подкоренное выражение можно  разложить на множители, то можно  воспользоваться и таким способом.

     Пример 21: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     Ответом будет x=1.   

     2.4. Решение целых рациональных неравенств

     Решение целых рациональных неравенств не составляет труда, поэтому заострять внимание на них не стоит.

     Начнем  рассматривать неравенства второй степени и выше, напишем алгоритм их решения:

    1. Ищем нули функции;
    2. Наносим эти нули на числовую ось;
    3. Схематически строим параболу;
    4. Определяем знаки на промежутках;
    5. Записываем ответ.

     Пример 22:

     

     

      

     Ответ:

     Пример 23:

       

     

      

     Ответ:

     Пример 24:

      

      

     Ответ:

     Пример 25:

      

      

     Ответ:

     Пример 26:

      

     D=-16→нет действительных корней

     Ответ: x∊ℝ.

     Пример 27: 
 
 
 
 

     Ответ:

     Пример 28: 
 
 
 
 

     Ответ:

     Рассмотрим  метод интервалов и напишем алгоритм решения неравенств с его помощью:

    1. Привести неравенство к виду
    2. Найти  нули функции;
    3. Нанести их на числовую ось;
    4. Расставить знаки(справа всегда «+», если какой-то из нулей функции четной кратности, то около него происходит нарушение знакочередования);
    5. Записать ответ.

    Пример 29:

      

    

     

    Ответ:

    Пример 30:

    

       

    Ответ: .

     Пример 31:

      

      

     

    Ответ: . 

    1. Решение дробных неравенств

     Данные  неравенства решаются только методом  интервалов. Запишем алгоритм:

    1. Привести неравенство к виду ;
    2. Разбить числитель и знаменатель на линейные множители;
    3. Найти нули;
    4. Нанести нули на числовую ось;
    5. Проверить знаки. Замечание: 1) следить за «выколотыми» и «закрашенными» точками;

                                   2) если один и  тот же множитель повторяется  четное число раз, то в его  «нуле» будет нарушение знакочередования;

    1. Записать ответ.

     Пример 32:

     

      

     Ответ: .

     Пример 33:

      

     

      

      

      

     Ответ: .

     Пример 34:

       

      

      

     Ответ: .

     Пример 35:

       

       

      

     Ответ: . 

      1.   Решение иррациональных  неравенств

     Условно можно разбить на несколько видов.

     I вид – подкоренное выражение  сравнивается с числом 

     Пример 36: 
 

     Ответ:

     Пример 37: 
 
 

     Ответ: .

     Пример 38: 
 
 

     Ответ: .

     Пример 39: 
 

     Ответ: .

     Пример 40: 

     Ответ:  нет решений.

     Пример 41: 

Информация о работе Решение уравнеий