Решение уравнеий

     Последовательность  изучения различных классов уравнений, неравенств и систем различна в разных учебниках. Однако количество возможных  вариантов для последовательности их введения не слишком велико –  классы находятся в определенной логической зависимости друг от друга, которая предписывает порядок их появления в курсе. Можно выделить два основных пути развертывания  содержания линии уравнений и  неравенств.

     I путь. Сначала вводится материал, относящийся к уравнениям и их системам, затем к неравенствам. Раздельное изложение проводится до теории квадратного трехчлена включительно. Дальнейшее изучение, происходящее в старших классах, лишено этого противопоставления; логарифмические, показательные, тригонометрические уравнения и соответствующие неравенства изучаются в более тесной связи друг с другом.

     II путь. Основные классы неравенств изучаются сразу вслед за изучением соответствующих классов уравнений.

     Имеются и промежуточные пути, когда некоторые  классы уравнений и неравенств сближены друг с другом по времени изучения, а другие наоборот не связаны.

     Наличие такого разнообразия подходов затрудняет методическое описание, поскольку принятие того или иного пути требует различных  приемов изучения материала.  

1. Линейные  уравнения с одним  неизвестным

     Этот  класс уравнений – первый в  курсе алгебры,  поэтому от характера  его изучения в значительной мере зависят особенности организации  всего последующего изучения линии  уравнений и неравенств. При изучении этого класса уравнений, помимо его  непосредственного выделения и  описания, приходиться останавливаться  на вопросах, относящихся к формированию общего понятия об уравнении, вводить  терминологию.

     Первая  методическая задача, с которой сталкивается учитель, приступая к изложению  этой темы, состоит в выделении  формальной части понятия уравнений из этой содержательной ситуации, в которой оно возникает. В качестве такой ситуации обычно выступает несложная текстовая задача, решение которой алгебраическим методом приводит к уравнению первой степени с одним неизвестным. Следует обратить внимание на основной метод, примененный в решении задачи, – переход к ее алгебраической модели, общий вид которой f(x)=g(x), где f и g некоторые выражения, содержащее неизвестное x. Далее необходимо привести формулировку общего понятия уравнения, принятую в учебнике, и ввести (или напомнить) связанные с ним термины. Нужно обратить внимание на те формальные характеристики составленного уравнения, которые уже непосредственно приводят к описанию изучаемого конкретного класса уравнений.

     В различных учебниках применяется разная терминология, относящаяся, по существу, к одному и тому же классу уравнений. В этом отношении необходимо быть чрезвычайно внимательным и употреблять только те термины, которые введены в учебнике, причем в том смысле, который им придается. Опишем несколько подходов к выделению первого изучаемого в курсе алгебры класса уравнений.

     В учебнике [9] это линейные уравнения с одной переменной, т.е. уравнения вида ax=b, где x – переменная,a и b – числа. Это определение выделяет очень узкий класс уравнений, недостаточный для решения самых простых задач. Он выполняет двоякую роль. Во-первых, уравнения этого класса просто решаются, причем так описанный класс допускает полное исследование. Во-вторых, запись уравнений из этого класса играет роль образца, к которому могут быть сведены посредством простейших преобразований уравнения более широкого класса.

     В [1] вводится и рассматривается класс уравнений, названный по-иному – уравнения первой степени с одним неизвестным. К особенностям введения этого класса следует отнести то, что явного определения он не получает: определение заменяется описанием и иллюстрацией несколькими примерами. Основное внимание уделяется изложению правил последовательного преобразования уравнения ко все более простому виду. Фактически при этом приходят к уравнению ax=b.

     В[11] также вводится понятие уравнения первой степени с одним неизвестным и объясняется алгоритм его решения. Здесь дано явное определение: «Алгебраическое уравнение от одного неизвестного называется уравнением первой степени, если обе его части являются многочленами первой степени относительно неизвестного».  По поводу этого определения следует сказать, что по смыслу  понятия степени многочлена, введенного в этом учебнике, оно относится к конкретной записи многочлена без приведения подобных членов.

     В [10] в системе изучения присутствуют оба понятия: и линейного уравнения с одним неизвестным, и уравнения первой степени. Первое из них описывает широкий класс уравнений (левая и правая части уравнения – нуль или многочлены не выше первой степени), а второе – более узкий (уравнение вида kx+b=0, k ≠0).

     Выделение подкласса уравнений первой степени  в классе линейных уравнений в  принципе может облегчить изложение  этого класса. В частности, введение двух терминов позволяет четче описать  сам процесс решения. Однако при  этом возникает необходимость в  усвоение двух, а не одного термина. Точно также указание явного определения  изучаемого понятия по сравнению  с описанием имеет преимущество большей четкости. Но представляет более высокие требования к логическому  мышлению учащихся.

     При изучении этого класса уравнений  учащиеся подходят к осознанию того, что уравнения, с первого взгляда  мало отличные друг от друга, могут  резко отличаться по количеству корней. Это ответственный момент, один из самых существенных в изучении всего  курса алгебры, поскольку при  этом  учащиеся впервые сталкиваются с необходимостью теоретического осмысления именно класса уравнений , а не каждого уравнения в отдельности.

     Рассматриваемый класс является единственным, для которого есть разные подходы к проведению исследований. Для каждого из остальных классов уравнений, неравенств, систем исследование проводится, по существу, одинаково при любом построении курса алгебры.

     В итоге тематического изучения первого  класса уравнений учащиеся должны овладеть: алгоритмом решения уравнений данного  класса; умением применять результаты исследования уравнений данного  класса; основными понятиями общей  теории уравнений; применением уравнений  данного класса к решению текстовых  задач.

2. Системы двух линейных уравнений  с двумя неизвестными

     С помощью линейных уравнений с  одним неизвестным можно решать многочисленные задачи, в которых  имеется либо одно неизвестное, либо среди известных можно указать  одно «ведущее», через которое выражаются остальные. Но многие ситуации описываются  несколькими параметрами, вообще говоря, равноправными друг другу, эти ситуации требуют разработки новых алгебраических средств их изучения. В качестве одного из таких средств в курсе  алгебры выступает класс систем двух линейных уравнений с двумя  неизвестными.

     Приведенное рассуждение может быть положено в основу методики изучения указанного класса, которая реализована, например, в [1]. Такой способ введения подчеркивает прикладную значимость уравнений с  двумя неизвестными. Однако изучение этого класса требует введения обширной совокупности формальных понятий и  методов, поэтому отмеченная схема  изложения, в которой проводится содержательная мотивировка данного  класса, не единственный способ изложения  этого материала.

       Изложение темы можно начать  с рассмотрения понятий, входящих в качестве компонентов в понятие системы линейных уравнений с двумя неизвестными; их соединение формирует представление о данном классе. Эти компоненты таковы: представление о конъюнкции логических условий, которое формализуется в понятии системы уравнений; представление о наличии в составе логического условия двух переменных; представление о линейном уравнении с двумя неизвестными, непосредственно связанное с данным классом систем.

     Рассмотрим  эти компоненты подробнее. Полезность изучения понятия уравнение с  двумя неизвестными перед введением  понятия о системе уравнений  заключается в том, что при  этом могут быть рассмотрены два  важных в дальнейшем вопроса: выражение  одного из неизвестных через другое (это преобразование используется при  изучении метода подстановки) и введение понятия графика уравнения с  двумя неизвестными.

     Существенно новым представлением, которое получают учащиеся при изучении этой темы, является представление о том, что решением уравнения с двумя неизвестными служит не число, а упорядоченная  пара чисел. Вторым представлением, резко  расширяющим кругозор учащихся, служит то, что множество решений уравнений с двумя неизвестными, как правило, бесконечно и его изображение на координатной плоскости – некоторая линия.

     Изучение  этой темы может рассматриваться  как определенный мостик, связывающий  понятие функции и понятие  уравнения с двумя неизвестными: с одной стороны, уравнение с  двумя неизвестными, в котором  одно из них выражено через другое, по виду формулы совпадает с функцией; с другой – оказывается, что один и тот же геометрический образ  является и графиком уравнения, и  графиком функции. Эти первые представления  в дальнейшем подвергаются неоднократному уточнению и переосмысливанию, но уже и в таком несовершенном  виде они с успехом пользуются при изучении систем уравнений.

     Тема  «уравнение с двумя неизвестными»  в случае наличия ее в курсе  изучается недолго. Цель ее изучения состоит скорее во введении новых  представлений, чем в развитии навыков.

     Непосредственно за ней или на ее месте рассматривается  тема «Линейные уравнения с двумя  неизвестными». Этот класс изучается  детальнее. Здесь необходимо приобрести навыки перехода от линейного уравнения  ax+by=c к уравнению y=kx+b или x=k₁y+b₁. Кроме того, требуется усвоить факт: график линейного уравнения ax+by=c, где а≠0 или b≠0, есть прямая линия, а также научиться строить график конкретных линейных уравнений с двумя неизвестными.

     Непосредственно перед изучением систем линейных уравнений может быть введено  понятие о системе уравнений  с двумя неизвестными. Понятие  системы уравнений в курсе  школьной математики строго определено быть не может из за отсутствия в  нем понятия конъюнкции. Однако для  развития теории уравнений достаточно оказывается формировать представление  о системе уравнений косвенным  образом, посредством указания на цель – нахождение общих решений двух данных уравнений. Общее понятие о системе уравнений в этот момент и не обязательно вводить (такой подход проведен в [1]). Общее понятие формируется постепенно на основе своего ведущего частного случая – системы линейных уравнений, - которое и составляет непосредственный предмет изучения. Понятие о системе уравнений формируется у учащихся на основе осмысления понятия «решение уравнения» и представления о том, что значит решить уравнение.

     Переход к изучению системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными целесообразно осуществить при  помощи того же процесса выделения  математических понятий их текстовой  задачи, который был использован  в изучении первого класса уравнений. Если методическая система не содержит пропедевтики этого понятия, такой  подход является единственно возможным  [1]. Даже и при наличии подготовки он позволяет уточнить формальные характеристика вводимого класса систем уравнений и подчеркнуть некоторые существенные моменты.

     Основное  содержание рассматриваемой темы состоит  в изучении двух алгебраических способов решения таких систем, графического способа решения и исследования систем этого класса.

     Алгоритмы решения систем линейных уравнений  намного сложнее алгоритма решения  линейного уравнения с одним  неизвестным.

     В развертывании содержания данной темы используются геометрические представления, которые не только в ряде мест могут  пояснить изложение, но имеют важное самостоятельное значение. Наиболее принципиальным является их применение для проведения исследования данного  класса систем.

3. Квадратные  уравнения

     Для этой темы характерна большая глубина  изложения и богатства, устанавливаемых с ее помощью связей в обучении, логическая обоснованность изложения. Поэтому она занимает исключительное положение в линии уравнений и неравенств. В значительной мере именно на материале этой темы осуществляется синтез материала, относящегося к уравнениям.

     Понятия квадратного уравнения вводится посредством явного определения, что  обязывает организовать работу по усвоению его формальных признаков. Это тем  более необходимо, что соответствующие  признаки существенно  используются при построении теории квадратных уравнений, в частности при выводе формулы  корней и в теореме Виета.

     Вывод формулы корней квадратного уравнения  может быть осуществлен несколькими  различными способами: сразу для  общего или сначала для приведенного квадратного уравнения, сведением  к уравнению 

x² – a=0 или к уравнению x²=a. Но в любом случае приходится использовать выделение полного квадрата в трехчлене ax²+bx+c, сводящее уравнение к двучленному.

     Необходимым этапом при выводе формулы корней квадратного уравнения служит исследование, выявляющее три возможных случая: отсутствие корней, наличие одного или двух корней. При этом вводится дискриминант уравнения. В результате исследования формулируется вывод: «Если дискриминант квадратного  уравнения ax²+bx+c=0 отрицателен, то оно не имеет действительных корней; если дискриминант равен нулю, то имеется один корень, равный ; если дискриминант положителен, то уравнение имеет два корня ».