Решение уравнеий

     Решение конкретных квадратных уравнений проводится следующим образом: сначала вычисляется  дискриминант, сравнивается с нулем, и если он неотрицателен, то применяются  формулы для нахождения корней.

     В ряде учебников кроме основной формулы  для корней квадратного уравнения  ax²+bx+c=0, приводятся еще формулы корней уравнения x²+рx+q=0 или x²+2рx+q=0.

     При изучении темы « Квадратные уравнения» рассматриваются и неполные квадратные уравнения. Обычно они изучаются  перед выводом корней общего квадратного  уравнения.

     Важным  моментом в изучении квадратных уравнений  является рассмотрение теоремы Виета, которая утверждает наличие зависимости  между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Сложность  усвоения теоремы Виета связана  с несколькими обстоятельствами. Прежде всего требуется учитывать  различие прямой и обратной теоремы. В прямой теореме Виета даны квадратное уравнение и его корни; в обратной  - только два числа, а квадратное уравнение появляется в заключении теоремы. Для того чтобы распространить теоремы Виета на случай нулевого дискриминанта, приходится условиться, что в этом случае квадратное уравнение имеет два равных корня. Удобство такого соглашения появляется при разложении квадратного трехчлена на множители.

     Владение  теорией квадратных уравнений существенно  расширяет возможности решения  уравнений методами, изучаемыми в  курсе алгебры. Прямо сводятся к  квадратным дробно-рациональные уравнения  вида       и биквадратное уравнение.  

4. Изучение  неравенств

     В целом изучение неравенств в школьном курсе математики организовано так же, как и уравнений. В частности, они проходят те же этапы изучения.

     Не  рассматривая здесь уже описанные  общие закономерности, отметим ряд  особенностей изучения неравенств.

1. Как правило, навыки решения неравенств, за исключением квадратных, формируются на более низком уровне, чем уравнений соответствующих классов. Эта особенность имеет объективную природу: теория неравенств сложнее теории уравнений. Отмеченное  обстоятельство отчасти смягчается другими особенностями изучения неравенств, поэтому в целом можно считать, что содержательная сторона неравенств, возможности их приложений от этого не страдают.
2. Большинство приемов решения неравенств состоит в переходе от одного неравенства a>b к уравнению a=b и последующем переходе от найденных корней уравнения к множеству решений исходного неравенства. Эту особенность необходимо постоянно подчеркивать, с тем чтобы переход к уравнениям и обратный переход превратились в основной метод решения неравенств; далее он формализуется в виде «метода интервалов».
3. В изучении неравенств большую роль играют наглядно-графические средства.

     Указанные особенности могут быть использованы для обоснования расположения материала, относящегося к неравенствам, количества заданий, необходимых для усвоения программного минимума.

     В школьном курсе математики ограничиваются изучением только неравенств основных классов; задания, которые требуют  сведения к основным классам, встречаются  сравнительно редко. Например, не изучаются  биквадратные неравенства.

     Из  числа типов заданий, в которых  проявляется прикладная роль неравенств в курсе алгебры, отметим нахождение области определения функции  и исследование корней уравнений  в зависимости от параметров.

 

5. Иррациональные  и трансцендентные  уравнения и неравенства

     Определение различных классов иррациональных и трансцендентных уравнений  и неравенств, которые приводятся в школьных учебниках, обычно имеют  вид: «Уравнение (или неравенство) называется иррациональным (показательным и  т.д.), если оно содержит неизвестное  под знаком корня (в показателе степени  и т.д.)». Несмотря не формальную расплывчатость, определение такого типа достаточны для того, чтобы указать некоторую  область, уравнения или неравенства  из которой решаются способами, изучаемыми при прохождении соответствующей темы. В каждом из таких классов можно указать подклассы простейших уравнений или неравенств, к которым и сводится решение более сложных заданий. Например, для иррациональных уравнений это уравнение вида ; для тригонометрических – вида cos x=a и т.д.

     Каждый  простейший класс тесно связан с  классом соответствующих функций; по существу, формулы решений и  исследование простейших уравнений  и неравенств здесь опираются  на свойства функций. В начале изучения каждого простейшего класса учащимся  приходится преодолевать трудности , связанные  с освоением специфической символики, в частности узнавать новые формы  записи чисел и числовых областей, в которых должен быть получен  ответ к заданию. При решении заданий часто используются наряду с известными специфические для соответствующего класса функций тождества. Значительно чаще, чем в предыдущей части курса, в решении уравнений и неравенств используется неравносильное преобразование, широко используются подстановки. Поэтому весь этот материал требует в еще большей мере, чем изучение квадратных уравнений, достаточно логической грамотности учащихся.

     Специфика иррациональных уравнений. Здесь применяется  характерное преобразование – «освобождение  неизвестного из-под знака корня», обычно состоящая в возведении обеих  частей уравнения в одинаковую степень. Необходимо довести до понимания  учащихся причины возможного появления  при этом посторонних корней. Они  появляются при возведении в четную степень, так как получаемое при  этом уравнение – логическое следствие  данного, но может быть и неравносильным ему. Кроме того, посторонние корни могут появиться при переходе к выражениям с большей областью определения.

     При решении таких уравнений возможны  два пути. Первый состоит в переходе от уравнения к его следствию  и проверке корней полученного уравнения  подстановкой в исходное. Второй –  использование равносильных преобразований, но при этом приходится переходить к системам. Пример:

     ↔.

     На  простых примерах полезно проводить  сравнение этих двух способов.

     Специфика трансцендентных уравнений и  неравенств. При рассмотрении различных  классов трансцендентных уравнений  и неравенств необходимо уделять  достаточное внимание формированию навыка применения тождеств для преобразования данных уравнений или неравенств. Особенно ярко это проявляется в тригонометрии, поэтому при изучении тригонометрических уравнений и неравенств большое значение приобретают задания и системы вопросов, связанные с распознаванием применимости того или иного тождества, возможности приведения уравнения или неравенства к определенному виду.

     Здесь, как и при решении иррациональных уравнений, значительные трудности  связаны с тем, что некоторые  тождества, используемые в преобразованиях, приводят к изменению области  определения. К числу таких тождеств относятся, например, такие:

      ; ; ;

       ;  .  Использование этих тождеств слева направо может привести к потере корней, а справа налево – к появлению посторонних корней.

     Хотя  преобразования, сужающие область определения, встречаются в школьной практике нечасто, но и для них необходимо отметить общий вывод. Он может быть сформулирован так: если используемое преобразование сужает область определения  задания, то в числовом множестве, исключенном  этим преобразованием, необходимо выделить корни исходного задания (уравнения  или неравенства).

           Особенности тригонометрических уравнений и неравенств. В отличие  от иррациональных, показательных и  логарифмических уравнений и  неравенств, где в каждом классе имеется по одному типу простейших, здесь приходится рассматривать  три (а в некоторых учебниках  и четыре) типа простейших уравнений: sin x=a, cos x=a, tg x=a (ctg x=a) – и соответствующие тины неравенств. Изучение этих типов уравнений требует введение новых функций – обратных тригонометрических функций, что представляет собой самостоятельную сложную задачу. Корме того, приходится рассматривать наряду с общими формулами решения многочисленные частные случаи. Например, для уравнения sin x=a к числу основных для усвоения фактов относятся:

1. Знания общей формулы корней x=(-1)^karcsina+πk, k∊Z, и условия 1, указывающего на наличие корней;
2. Владение частными случаями этого уравнения для a=0, ±1, ±, ±, ±;
3. Владение геометрическим смыслом решения на координатной плоскости.

     Широкое использование графиков составляет заметную черту изучения простейших классов тригонометрических уравнений  и неравенств. Графическая наглядность  позволяет смягчить недостаточно уверенное  владение учащимися обратными тригонометрическими функциями, которые, по существу, только здесь и применяются. В решении неравенств роль графиков особенно велика, причем изучаются в школьном курсе только простейшие типы неравенств.

     Тригонометрические  уравнения изучаются с большей  глубиной, здесь изучение доводится  до выделения нескольких стандартных  методов решения, укажем два из них:

1. Сведение тригонометрических уравнений к алгебраическим вида f(y)=0, где y – одна из основных тригонометрических функций.
2. Различные приемы решения важных частных классов уравнений. К их числу относится, например, метод введения вспомогательного аргумента, используемый при решении уравнения a sin x+b cos x=c.

 
 

 

Глава 2

1. РЕШЕНИЕ ЦЕЛЫХ РАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

2.1.1. Линейные уравнения

       Уравнение первой степени имеет вид ax+b=0 и называется линейным, где b – свободный член. Найти его корни просто и заострять внимание на большом количестве примеров не стоит.

       Пример 1: 
 
 
 

       Пример 2: 

       Это уравнение нужно привести к стандартному виду: 

     Далее решается как пример 1 и получается ответ:

     Вывод: общее решение линейных уравнений  имеет вид: . 

  2.1.2.     Квадратные уравнения

     Общий вид: ax²+bx+c=0.

     Методы  решения:

• Нахождение дискриминанта D=b² – 4ac;

  D>0 –2 решения; D=0 – 1 решение; D<0 – нет решений.

      - корни уравнения.

• Теорема Виета (для приведенных уравнений)

     x²+bx+c=0;

     x₁+x₂=-b;

x₁∙x₂=c.

• Частные случаи:

     (*)если a+b+c=0, то  x₁=1, x₂=;

     (**)если a+c=b x₁= - 1, x₂= .

     Пример 3:

     y²-180y+8000=0 
 
 
 

     Этот  пример можно также решить, используя  теорему Виета:

     y₁+y₂=180

     y₁∙y₂=8000,

     отсюда  получаем .

     Пример 4:

     2x²+3x – 5=0

     x₁=1 и x₂=. 

3. Уравнения высших степеней

     Если  уравнение высших степеней разрешимо, то при решении используются:

• Метод замены;
• Разложение на множители;
• Специальные приемы и частные виды.

     Пример 5: 

     .

     Сделаем замену:

     ,

     тогда

     (t+1)t=12 

      (по теореме Виета) 

      (использовано (*)).

     Пример 6:

     (x – 2)(x – 1)(x +2)(x+3)=60

     (x²+x-6)(x²+x – 2)=60.

     Сделаем замену:  

     x²+x=t

     (t – 6)(t – 2)=60 
 
 

     .