Решение уравнеий

5. Классификация преобразований уравнений, неравенств и их систем

     Можно выделить три основных типа преобразований:

1. Преобразование одной из частей уравнения или неравенства.
2. Согласованное преобразование обеих частей уравнения или неравенства.
3. Преобразование логической структуры.

     Поясним эту классификацию.

     Преобразования  первого типа используются при необходимости  упрощения выражения, входящего  в запись решаемого уравнения  или неравенства. Например, решая  уравнение , можно пытаться заменить выражение в левой части более простым. В данном случае соответствующее преобразование приводит к уравнению , неравносильному исходному за счет изменения области определения. Возможность получения при такой замене уравнения, неравносильного данному, приходится учитывать при изучении некоторых типов уравнений, например тригонометрических или логарифмических. В класса дробно-рациональных уравнений с этим явлением приходится сталкиваться гораздо реже. (здесь это связано с возможностью потери корней при сокращении дроби.) наконец. В классе целых алгебраических уравнений рассматриваемый тип преобразований всегда приводит к уравнениям, равносильным данным.

     Преобразование  одной из частей уравнения используют раньше всех других преобразований уравнений, это происходит еще в начальном  курсе математики. Прочность владения навыком преобразований этого типа имеет большое значение для успешности изучения других видов преобразований, поскольку они применяются очень  часто.

     Основой преобразований данного типа являются тождественные преобразования. Поэтому  классифицировать их можно в соответствии с классификацией тождественных  преобразований, например, раскрытие  скобок, приведение подобных членов и  т.д.

     Преобразования  второго типа состоят в согласованном  изменении обеих частей уравнения  или неравенства в результате применения к ним арифметических действий или элементарных функций. Общей основой всех преобразований второго типа является логический принцип, выражающий характеристическое свойство равенства выражений: если выражения  a и b равны и в выражении F(x)выделена переменная x, которая может принимать значение a, то выражения F(a) и F(b) равны: a=b→F(a)=F(b).

     Преобразования  второго типа сравнительно многочисленны. Они составляют ядро материала, изучаемого в линии уравнений и неравенств.

     Приведем  примеры преобразований этого типа.

1. Прибавление к обеим частям уравнения (неравенства) одного и того же выражения.

2а)  Умножение  (деление) обеих частей уравнения  на одно и то же выражение.

2б) Умножение  (деление) обеих частей неравенства  на выражение, принимающее только  положительные значения.

2в) Умножение  (деление) обеих частей неравенства  на выражение, принимающее только  отрицательные значения и изменение  знака на противоположный.

3а) Переход  от уравнения a=b к уравнению f(a)=f(b), где f – некоторая функция, или обратный переход.

3б) Переход  от неравенства a>b к неравенству f(a)>f(b), где f – возрастающая функция, или обратный переход.

3в) Переход  от неравенства a>b к неравенству f(a)<f(b), где f – убывающая функция, или обратный переход.

     Из  сравнения преобразований 3а, 3б, 3в  ясно, что роль, аналогичную основному  свойству равенства, выполняет понятие монотонной функции.

     Среди преобразований второго типа преобразование неравенств образуют сложную в изучении, обширную систему. Этим в значительной степени объясняет то, что навыки решения неравенств формируются  медленнее навыков решения уравнений  и не достигают у большинства  учащихся такого же уровня.

     К третьему типу преобразований относятся  преобразование уравнений, неравенств и их систем, изменяющих логическую структуру заданий. Поясним использованный термин «логическая структура». В каждом задании можно выделить отдельные уравнения или неравенства. Под логической структурой задания понимается их способ связи посредством логических связок.

     В зависимости от средств, которые  используются при преобразованиях, в этом типе можно выделить два  подтипа: преобразования, осуществляемые при помощи арифметических операций и при помощи логических операций. Первые можно назвать арифметическими  преобразованиями логической структуры, вторые – логическими преобразованиями логической структуры. 

6. Изучение основных типов уравнений, неравенств, систем

     Среди всех изучаемых в курсе математики типов уравнений, неравенств и систем выделяется сравнительно ограниченное количество основных типов. К их числу можно отнести: линейные уравнения с одним неизвестным,  линейные неравенства с одним неизвестным, системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными, квадратные уравнения и неравенства, иррациональные и трансцендентные уравнения и неравенства.

     Эти классы изучаются с большей тщательностью, для них указывается  и доводится  до автоматизма выполнение алгоритмов решения, указывается форма, в которой  должен быть записан ответ.

     Введение  каждого нового основного класса уравнений сопровождается  введением новой области числовых выражений, входящих в стандартную форму записи ответа. Например, квадратичные иррациональности () связываются с решением квадратных уравнений; логарифмические выражения при решении показательных и логарифмических уравнений; числовые множества вида , возникает в связи с тригонометрическими уравнениями. Такое распределение числовых областей в дальнейшем сохраняется на протяжении всего школьного курса математики. Вообще говоря, это не следует считать недостатком методики изучения уравнений и неравенств, поскольку внешние, формальные признаки в записи чисел до некоторой степени помогают учащимся ориентироваться в материале и контролировать получаемый результат.

     Вместе  с тем, когда материал усвоен, целесообразно  изредка предлагать и такие задания, в которых могут возникать нестандартные для данного класса уравнений ответы.

     Каждый  из основных классов уравнений, неравенств, систем требует проведения исследования зависимости результата от коэффициентов, поскольку множества решений  у заданий, входящих в один и тот  же класс, могут существенно различаться. Для уравнений с одним неизвестным (систем уравнений с двумя неизвестными) в качестве меры различия обычно берется  количество корней (решений); для неравенств и их систем – простейшие особенности  геометрических фигур. Изображающих их множества решений на координатной прямой или плоскости. Изредка требуется  выяснить положительность или отрицательность  корней (если неизвестное одно), принадлежность решений уравнений с двумя  неизвестными одной из координатных четвертей.

     Каждый  из основных классов уравнений, неравенств, систем уравнений имеет четкую, стандартную форму записи. Например, уравнение x²+x – 1=0 – квадратное, а уравнение x²+x=1, равносильное первому, квадратным не является.

     Смысл выделения основных классов состоит  именно в том, что за счет стандартизации формы задания «общего вида»  можно записать ответы к заданиям формулой.

     В результате длительного развития как  элементарной алгебры, так и методики преподавания математики было выделено несколько типов уравнений, неравенств, систем уравнений, сведение которых к основным классам производится особенно просто. Именно эти «вторичные» классы изучаются сразу вслед за изучением основным, причем в тесном взаимодействии с ними. Например, уже при изучении систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными могут быть предложены задания, не имеющие стандартного вида: . Первый шаг в решении таких заданий состоит в том, что они приводятся к стандартному виду заданий основного класса; в этом случае этот шаг преобразует систему к виду .

     Классификация «вторичных» классов намного обширнее, чем основных. Она включает, например, уравнения первой степени, биквадратные. Алгебраические, иррациональные уравнения. По мере ведения этих классов, установления соответствия между ними и основными классами возникают взаимосвязи, которыми пользуются для упрощения процесса решения.

     В ходе изучения уравнений, неравенств, систем различных классов становится все более заметной роль общих, универсальных  средств решения и исследования. Такие обобщенные средства, приемы можно разделить на три группы. Первая группа состоит из логических методов обоснования решений. Используя эти методы. Переходят от исходных уравнений, неравенств, систем к новым. Такие переходы делаются до тех пор, пока не получаются задания, относящиеся к известным классам.

     Вторая  группа состоит из вычислительных приемов, посредством которых производятся упрощения одной из частей данного  уравнения или неравенства, проверка найденных корней при помощи подстановки вместо неизвестного, различные промежуточные подсчеты и т.д. роль вычислительных приемов особенно заметна при выполнении заданий по нахождению приближенных значений корней уравнений. Возможности проведения  численных расчетов резко возрастают при использовании вычислительной техники.

     В третью группу входят наглядно-графические  приемы. Большинство этих приемов  используют в качестве основы координатную прямую либо координатную плоскость.

     Использование координатной прямой позволяет решать некоторые неравенства и системы неравенств с одним неизвестным, а также уравнения и неравенства с модулем.

     Использование координатной плоскости позволяет  применить графические методы к  решению и исследованию уравнений, неравенств и их систем как с одним, так и с двумя неизвестными. Одним из ярких примеров использования графических методов в курсе школьной математики – прием графического представления системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Этот прием используется, главным образом, для того, чтобы провести исследование этого класса систем. В качестве подготовительного этапа необходимо рассмотреть график линейного уравнения с двумя неизвестными.

     Графические приемы эффективно применяются для  изображения результатов исследования там, где чисто аналитическая  запись громоздка. Иногда графический  метод применяется и для фактического нахождения числовых значений корней или компонентов решений.

     Область применения графического метода решения  уравнений и систем в отличии  от исследования ограничена, поскольку  с его помощью можно рассматривать  только задания, в которых требуемые  для построения графики хорошо известны, а искомые точки пересечения  не выходят за пределы чертежа; кроме  того, на отыскание решений влияют неизбежные погрешности чертежа.

     Графические методы, использующие координатную плоскость, могут играть достаточно важную роль в решении и исследовании уравнений и неравенств с одним неизвестным, уравнений и систем уравнений с двумя неизвестными. Роль этого метода в применении к неравенствам с двумя неизвестными (и их системам) иная – здесь он используется только для изображения ответа; часто это единственная форма, в которой ответ может быть указан.

     Изложенные  графические приемы являются важной составной частью координатного  метода. Дальнейшему освоению координатного  метода способствует расширение запаса геометрических фигур, задаваемых уравнениями  или неравенствами (полуплоскость, окружность, круг, гипербола, парабола и т.д.). 
 

7. МЕТОДИКА  ИЗУЧЕНИЯ ОСНОВНЫХ КЛАССОВ УРАВНЕНИЙ, НЕРАВЕНСТВ И ИХ СИСТЕМ

     Классы  можно разбить на две группы. Первая группа – рациональные уравнения , неравенства и системы. Наиболее важными классами здесь являются линейные уравнения с одним неизвестным, квадратные уравнения, соответствующие классы неравенств, системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Вторая группа – иррациональные и трансцендентные уравнения, неравенства и системы. В состав этой группы входят иррациональные, показательные, логарифмические и тригонометрические уравнения и неравенства.

     Первая  группа получает достаточное развертывание, вплоть до формирования прочных навыков  решения, уже в курсе алгебры  неполной средней школы. Вторая же группа в этом курсе только начинает изучаться, причем рассматриваются далеко не все  классы, а окончательное изучение происходит в курсе алгебры и  начал анализа. При изучении второй группы приходится опираться на общие понятия и методы, относящиеся к линии уравнений и неравенств. Указанное различие, однако, не является единственным, которое противопоставляет эти две группы. Более существенным является учет особенностей, связанных с развертыванием материала каждой из этих групп. По сравнению с первой группой уравнения и неравенства. Входящие в состав второй, в процессе их изучения обнаруживают значительно более сложные связи с другими линиями курса математики – числовой, функциональной, тождественных преобразований и др.