Автор: Пользователь скрыл имя, 26 Октября 2011 в 00:14, дипломная работа
В дипломной работе показан метод решения систем уравнений высших степеней, основанный на использовании свойств симметрических многочленов. В отличие от метода исключения, данный метод приводит не к повышению, а к понижению степени уравнений. Также будет продемонстрирована эффективность использования данного метода при решении не только систем алгебраических уравнений, но и различных других математических задач, например, доказательство тождеств и неравенств, разложение на множители, избавление от иррациональности и др.
ВВЕДЕНИЕ............................................................................................................. 3
§1. Теория симметрических многочленов.................................. 5
§2. Приложения теории симметрических многочленов.... 10
2.1. Решение систем алгебраических уравнений......................................10
2.2. Доказательство тождеств....................................................................... 18
2.3. Доказательство неравенств................................................................... 26
2.4. Разложение на множители.....................................................................30
2.5. Разные задачи......................................................................................... 34
ЗАКЛЮЧЕНИЕ....................................................................................................... 39
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ............................................. 40
.
Решение.
Раскроем скобки в знаменателе и приведем подобные, затем и в числителе и в знаменателе сгруппируем слагаемые и получим:
.
Воспользовавшись таблицей 1.1 для выражения степенных сумм и через элементарные симметрические многочлены, получим:
.
2.5.
Разные задачи
Пример 1.
Решить в целых числах уравнение
.
Решение.
Очевидно, что каждое из чисел должно быть отлично от нуля. Положим:
.
Тогда по условию задачи, . Далее,
.
Воспользовавшись неравенством , доказанным в пункте 2.3 данной дипломной работы, получим:
,
т.е. . Т.к. отличные от нуля целые числа, то из этого следует, что .
Следовательно, каждое из чисел равно . Но из соотношения вытекает теперь, что .
Таким образом, получаем следующие решения:
Проверка
показывает, что все эти решения
удовлетворяют данному
Пример 2.
Составить кубическое уравнение, корнями которого будут квадраты корней уравнения
. (1)
Решение.
Пусть
корнями данного уравнения
. (2)
Его корни обозначим через .
По формулам Виета для кубического уравнения (1) имеем:
Аналогично для уравнения (2) имеем:
По условию задачи дано:
.
Поэтому:
.
Воспользовавшись таблицей 1.1 для степенной суммы , получим:
.
Для коэффициента получим:
.
Представив полученный симметрический многочлен от переменных в виде многочлена от элементарных симметрических получим (см. пример 4 пункта 2.4):
.
Для коэффициента получим:
.
Таким образом, искомое кубическое уравнение имеет вид:
.
Пример 3.
Найти наибольшее возможное значение выражения
,
если и .
Решение.
Преобразуем данное выражение:
= = =
= ,
т.к. по условию .
Воспользовавшись неравенствами и , доказанными в пункте 2.3, получаем:
= = =
= .
Равенство достигается лишь при , т.е. при
.
Пример 4.
Доказать, что если целые числа и делится на 6, то число тоже делится на 6.
Решение.
Если число делится на 6, то все три числа не могут быть нечетными. Следовательно, хотя бы одно из чисел четно.
Теперь, воспользовавшись таблицей 1.1 для степенной суммы , запишем ее выражение через элементарные симметрические многочлены:
.
Число по условию делится на 6. Число также делится на 6, поскольку хотя бы одно из чисел четно. Следовательно, и сумма
делится
на 6.
Пример 5.
Избавиться от иррациональности в знаменателе выражения:
Решение.
Положим .
Тогда знаменатель является симметрическим многочленом .
Подыщем множитель, после умножения на который знаменатель выразится через степенные суммы и , которые имеют вид:
,
.
Для отыскания этого множителя воспользуемся таблицей 1.1 для и :
,
.
Видим, что в обеих степенных суммах лишь последние слагаемые не делятся на . Скомбинируем и так, чтобы последние слагаемы уничтожились. Для этого из квадрата вычтем удвоенную :
.
Получаем:
.
Подставляя вместо переменных , а также степенных сумм и их числовые значения, получим:
. (11)
Преобразуем первое слагаемое в числителе:
.
Второе
слагаемое после раскрытия
.
Выражение (11), а значит и искомое соотношение примет вид:
Информация о работе Различные приложения теории симметрических многочленов в алгебре