Различные приложения теории симметрических многочленов в алгебре

2.3. Доказательство неравенств 

      Ясно, что для любых действительных чисел справедливо неравенство [2]:

        . (1)

      Причем  равенство достигается лишь при  .

      Левая часть неравенства (1) является симметрическим многочленом от . Следовательно, этот многочлен можно представить в виде многочлена от элементарных симметрических.

      Раскрыв скобки, (1) можно записать в виде:

                            . (2)

      Выразив степенную сумму  через элементарные симметрические многочлены, неравенство (2) запишется в виде:

                        

или

                             . (3)

      В частности, для 3-х переменных, неравенство  (3) имеет вид [3]:

                           (4)

      Из  неравенства (4) можно получить целый ряд других неравенств.

      Неравенство (4) для 3-х переменных имеет вид:

                       .

Полагая получаем:

                     

или

                      .

      Выразив правую и левую части последнего неравенства через элементарные симметрические многочлены, получим:

                         .  (5)

      Если  переменные положительные, то тоже положительны.

      Тогда на основании неравенств (4) и (5) можно получить новые неравенства. Перемножив неравенства (4) и (5), получим [3]:

                            .

      Разделив  обе части полученного неравенства  на положительную величину , получим:

                         .  (6)

      Возведя обе части неравенства (4) в квадрат и с учетом неравенства (5) получим:

                            .

      Разделив  обе части последнего неравенства  на положительную величину , получим:

                         .  (7) 

      Пример  1.

      Доказать, что для любых положительных  чисел  справедливо неравенство:

                      .

      Доказательство.

      Пусть

      Тогда указанное неравенство запишется  в виде:

                       

      Выразив левую и правую части через элементарные симметрические многочлены, получим:

                             .

      Мы  получили непосредственно неравенство  (4). 

      Пример  2.

      Доказать, что для любых положительных  чисел  справедливо неравенство:

                .

      Доказательство.

      Доказываемое  неравенство имеет вид:

                   

      Воспользовавшись  таблицей 1.1 для , последнее неравенство запишем в виде:

             .

      Многочлен в правой части мы представляли в виде многочлена от элементарных симметрических в примере 1 в пункте 2.1 данной дипломной работы. Полученное неравенство примет вид:

                     

или

                          .  (8)

      Неравенство (8) получается вычитанием из удвоенного неравенства (7) в семь раз увеличенного неравенства (6). 

      Пример  3.

      Доказать, что если - длины сторон треугольника, то справедливо следующее неравенство:

                   .

      Доказательство.

      Так как  стороны треугольника, то числа

 положительны.

      Выразим числа  через :

                        .

      Таким образом, доказываемое неравенство равносильно неравенству:

   .

      После умножения на 4 получим:

       .

      Раскроем скобки и выразим симметрические многочлены в обеих частях последнего неравенства через элементарные симметрические:

                

                   

                    .

      Воспользовавшись  таблицей 1.1 для и , получим:

        

             

                             .

      Полученное  неравенство верно, что следует  из неравенства (6).

2.4. Разложение на множители 

      Пусть дан некоторый симметрический многочлен  . Чтобы разложить этот многочлен на множители, можно выразить его через элементарные симметрические и попытаться разложить на множители получившийся многочлен от элементарных симметрических. Если это удастся, то, подставляя значения:

                   

получим разложение на множители исходного  многочлена [6]. 

      Пример  1.

      Разложить на множители многочлен

                         .

      Решение.

      Данный  многочлен является симметрическим. Выразим его через элементарные симметрические многочлены:

   

        

                        . 

      Пример  2.

          Разложить на множители  многочлен

   .

      Решение.

                       .

      Перейдя к элементарным симметрическим многочленам  от переменных , последнее выражение равно:

                  .  (1)

      Выразим через  многочлен .

      Для этого для построим одночлены , учитывая, что

                           

       .

      Найдем  значение коэффициента , присваивая переменным различные значения:

      Следовательно .

      Тогда . (2)

      Пользуясь таблицей 1.1 для и учитывая (2), выражение (1) преобразуем к виду:

      

      Пример  3.

      Разложить на множители многочлен

             .

      Решение.

           

                 

      Раскрыв скобки, получим:

       

         = =

          = = .

      Выполнив  переход к переменным , получим

                             . 

      Пример 4.

      Разложить на множители многочлен

             

      Решение.

= =

 = +

                + =

              =

      Последнее выражение с учетом формул для  степенных сумм, приведенных в  таблице 1.1, примет вид:

+

        + = =

              = = . 

      Пример  5.

      Упростить выражение 

                         .

      Решение.

      Числитель дроби согласно формулам, приведенным в таблице 1.1, можно записать в виде:

         = = = =

             = = .

      Знаменатель имеет вид:

              = = =

                     = .

      Таким образом, заданное выражение оказывается  равным

                = . 

      Пример  6.