Различные приложения теории симметрических многочленов в алгебре

Введение 

      Каждый  человек, исходя из своего житейского опыта, имеет какое-то представление  о симметрии, поскольку это одно из самых распространенных явлений в природе, искусстве и науке. Однако обычно под симметрией понимается либо зеркальная симметрия, когда одна половина предмета зеркально-симметрична другой, либо центральная, как у буквы И. Такая симметрия означает, что есть преобразование (поворот), которое переводит предмет сам в себя.

      В ряде случаев симметрия является достаточно очевидным фактом. Например, любой школьник, рассматривая равносторонний треугольник, может показать, почему эта фигура симметрична, и для подтверждения своей мысли может предложить несколько преобразований, в результате которых треугольник не изменит своего вида. В действительности понятие симметрии гораздо шире, и под ней понимается неизменность при какой-либо операции не только предметов, но и физических явлений, математических формул, уравнений и т.д.

      Дать  точное определение симметрии в  общем случае не представляется возможным, поскольку она принимает свою конкретную форму в каждой области человеческой деятельности. Например, в искусстве симметрия проявляется в соразмерности и взаимосвязанности отдельных частей, образующих произведение. В классической механике она выражается в виде принципа относительности. Симметрия сыграла чрезвычайно важную роль при проведении исследований в физике микромира.

      Математики  также издавна стремились к красоте математических формул и справедливо считали, что красивая формула отличается от некрасивой тем, что в красоте больше симметрии. Среди полиномов был выделен отдельный класс так называемых симметрических и построена теория, некоторые выкладки которой и приведены в данной дипломной работе. Однако, больший интерес представляет не сама теория симметрических полиномов, а её применение для решения различных классов алгебраических задач.

      Одним из самых сложных разделов алгебры  является решение систем уравнений  высших степеней. Наиболее общим способом решения таких систем является метод  исключения неизвестных. Однако, наибольшим неудобством этого метода является то, что он часто приводит к уравнению высокой степени. Из-за этого метод исключения (при решении систем уравнений высших степеней) используют довольно редко.

      В дипломной работе показан метод решения систем уравнений высших степеней, основанный на использовании свойств симметрических многочленов. В отличие от метода исключения, данный метод приводит не к повышению, а к понижению степени уравнений. Также будет продемонстрирована эффективность использования данного метода при решении не только систем алгебраических уравнений, но и различных других математических задач, например, доказательство тождеств и неравенств, разложение на множители, избавление от иррациональности и др.