Различные приложения теории симметрических многочленов в алгебре

      Подставляя  первый набор в (5), получим .

      Второй  набор дает уравнение:

                            .

      Откуда .

      Для третьего набора с учетом найденных значений коэффициентов и получаем уравнение:

                      (6)

      Четвертый набор приводит к уравнению:

          (7)

      Составим  из уравнений (6) и (7) систему и найдем ее решения:

                      

      Подставляя  найденные значения коэффициентов  , , , в (5), получим:

   . (8)

      С учетом (8) выражение (4) запишется в виде:

       

                     . (9)

      Используя (3) и (9) выражение (2) запишется в виде:

            

       

                        

     Тождество (1) верно. 

      Пример  2.

      Доказать  тождество

         = .

      Доказательство.

      Левая часть имеет вид 

            .

      Упростим  последнее слагаемое, раскрыв скобки:

         

            

             

                  .

      Раскрыв скобки и в оставшихся слагаемых, получим:

               

    

                    .

      Воспользовавшись формулами, приведенными в таблице 1.1, полученное выражение преобразуем к виду:

  .

      Правая  часть имеет вид:

                              .

      Воспользовавшись  формулой для выражения степенной суммы через элементарные симметрические многочлены, приведенной в таблице 1.1, получим:

                 .

      Как видим, после преобразования правая и левая части равны, т.е. тождество верно. 

      Пример 3.

      Доказать, что при 

                            

справедливо тождество

    .

      Доказательство.

      После раскрытия скобок и вынесения  общих множителей за скобки в полученном выражении, левая часть примет вид:

                   

                  .

Воспользовавшись  таблицей 1.1 для степенных сумм, получим:

. 

      Пример  4.

      Доказать, что если числа  действительны, то из равенства

     

следует .

      Доказательство.

      Положим , , . Тогда ; заданное равенство принимает вид:

                  .

      Раскрыв скобки в правой части получим:

.

      Выражение представляет собой степенную сумму и, в силу формул, приведенных в таблице 1.1, выражается через элементарные симметрические многочлены, как . Поэтому, после перехода к элементарным симметрическим многочленам получим:

                         .

      Поскольку , то получаем, что и .

      Поэтому = = .

      Равенство возможно лишь при , т.е. . Откуда следует, что . 

      Пример  5.

      Доказать, что если попарно различные числа  удовлетворяют соотношению

                          ,

то

                       .

      Доказательство.

      Поскольку все числа  , , отличны от нуля, то, освобождаясь от знаменателей в первом соотношении, получаем:

               ,

или

               .

      Воспользовавшись  таблицей 1.1 для  и представлением многочлена в скобках в виде многочлена от (см. пример 1 раздел 2.1), получим, что первое соотношение равносильно равенству:

                            (10)

      Аналогично  из второго соотношения получаем:

            .

      Раскрыв скобки, получим:

              ,  (11)

где

       ,

       ,

       ,

       .

      Представим  каждый из многочленов  в виде многочлена от элементарных симметрических. Используем алгоритм, изложенный при доказательстве основной теоремы в §1 данной дипломной работы.

1. Выразим через многочлен

                     .

Для этого для построим одночлены , учитывая, что

                           

      

      Найдем  значение коэффициентов  , присваивая переменным различные значения:

      Из 1-ого набора получаем:

                           .

      Из 2-ого набора получаем:

                          или .

      Из 3-го набора:

                   или  .

      Следовательно: , , .

                     . (12)

      2) Выразим через многочлен

               .

      Для этого для построим одночлены , учитывая, что

                           

       .

      Найдем  значение коэффициентов  , присваивая переменным различные значения:

      Из 1-ого набора получаем:

                              .

      Из 2-ого набора получаем:

                                .

      Следовательно: , .

                         . (13)

      3) Выразим через многочлен .

              . (14)

      4) Выразим через многочлен .

                     . (15)

      С учетом формул для  из таблицы 1.1 и (12),(13),(14),(15) соотношение (11) запишется в виде:

             .

   

             .

      Второе  из заданных соотношений равносильно  равенству:

                  . (16)

      Разделив  многочлен, стоящий в левой части  равенства (16) на многочлен, стоящий в левой части равенства (10), получим:

                       . (17)

      Ясно, что из равенства (10) вытекает равенство (17), а значит и (16). Т.е. доказано, что из первого соотношения, заданного в условии задачи, вытекает второе.