Различные приложения теории симметрических многочленов в алгебре

       .

      Найдем  значение коэффициентов  и , присваивая переменным различные значения:

                     

      .

      Поэтому вспомогательная система записывается в виде:

                      

      Подставляя  во второе и третье уравнения системы, получим:

                          

      Выражая из первого уравнения и подставляя во второе, получим квадратное уравнение:

                         .

      Корнями этого уравнения являются числа  и .

      Таким образом, получаем следующие решения  вспомогательной системы:

                           и

      В соответствии с теоремой 1 составляем кубические уравнения для отыскания решений исходной системы:

                   и .

      Первое  из этих уравнений имеет корни  .

      Корни второго уравнения можно найти, используя формулы для нахождения корней кубического уравнения.

      Исходная  система имеет 12 решений, 6 из которых  получаются перестановками из решения  , а остальные 6 перестановками из решений уравнения . 

      Пример 2.

      Решить  систему уравнений

                           (3)

      Решение. Введем новые неизвестные, положив

                           

      В силу формул, приведенных в Таблице 1.1, получаем для новых неизвестных систему уравнений:

                 (4)

      Решим отдельно кубическое уравнение относительно :

                             (5)

                           

                        

      Найдем  подбором корень

                            

      С помощью теоремы Безу мы сможем представить  кубическое уравнение (5) в виде:

                      

      Его корнями будут

      Таким образом, имеем три решения вспомогательной  системы

                   

      Для отыскания решений системы (5) в соответствии с теоремой 1 составляем 3 кубических уравнения:

                     (6)

      Решаем  первое уравнение:

                        

                   

                        

      Следовательно, корнями этого уравнения будут:

                         

      Поэтому исходная система имеет шесть  решений, получающихся перестановками из решения

                               

      И еще 12 комплексных решений, получающихся из рассмотрения оставшихся кубических уравнений в совокупности (6). 

      Пример 3.

      Решить  систему уравнений

                           

      Решение.

      Из  последнего уравнения при переходе к новым неизвестным находим . Воспользовавшись формулами, приведенными в Таблице 1.1, и учитывая замену неизвестных, систему можно записать в виде

        

      

      Т.к. , то первое уравнение полученной системы примет вид

                             

      Поскольку , то

Таким образом, вспомогательная система  примет вид:

                      

      В соответствии с теоремой 1 для каждой системы из полученной совокупности составляем кубическое уравнение:

                         

      Первое  из уравнений имеет корни Решение второго уравнения можно получить, используя стандартные методы решения кубических уравнений.

      Итак, исходная система имеет 12 решений, 6 из которых получаются перестановками из решения 

Остальные 6 решений получаются при решении уравнения  

      Пример  4.

      Решить систему уравнений

                         

      Решение.

      Составим  вспомогательную систему, выразив  левые части уравнений исходной системы через элементарные симметрические многочлены:

                              

      Воспользовавшись  таблицей 1.1, получим:

             

      Далее, для отыскания решений исходной системы, составим на основании теоремы 1 уравнение 4-ой степени:

            

                             

      Исходная система имеет 24 решения, включая решение , и получающихся из него перестановками.

2.2. Доказательство тождеств 

      Элементарные  симметрические многочлены могут быть применены в ряде задач на доказательство тождеств [1]. 

      Пример  1.

      Доказать  тождество

 (1)

      Доказательство.

      После замены левая часть примет вид:

. (2)

      Преобразуем первое слагаемое:

         

   

                             .  (3)

      Выразим оставшийся трехчлен, входящий в состав левой части тождества, через элементарные симметрические многочлены:

                   

       

       

        

              .

      Последнее выражение используя формулы  для  , приведенные в таблице 1.1, преобразуем в выражение:

         .  (4)

      Выразим через  первое слагаемое:

                  .

      Для этого для построим одночлены , учитывая, что

                           

      .  (5)

      Найдем  значение коэффициентов , , , присваивая переменным различные значения: