Различные приложения теории симметрических многочленов в алгебре

§1. Теория симметрических Многочленов 

      Прежде  чем перейти к изложению содержания дипломной работы следует определить основные понятия, являющиеся ключевыми для данной работы.

      Определение: Многочленом от n неизвестных над некоторым полем P называется многочлен вида:

                     ,

где - коэффициенты из поля P, - целые неотрицательные числа.

      Определение: Степенью члена с ненулевым коэффициентом называется сумма показателей .

     Определение: Многочлен от нескольких неизвестных называется однородным, если все его члены имеют одинаковую степень.

     Из  двух членов многочлена от нескольких переменных будем считать тот выше, у которого показатель степени при больше, а из двух членов с одинаковыми первыми показателями тот выше, у которого показатель при больше…

     При словарном расположении членов многочлена из всяких двух членов сначала записывают тот, который выше.

     Определение: Член, занимающий первое место при словарной записи многочлена, называется высшим членом многочлена от нескольких неизвестных.

     Высший  член произведения многочленов от нескольких неизвестных равен произведению высших членов сомножителей.

      Среди многочленов от нескольких неизвестных выделяются те, которые не меняются ни при какой перестановке неизвестных. В такие многочлены все неизвестные входят симметричным образом и поэтому эти многочлены называются симметрическими.

      Определение: Многочлен называется симметрическим, если он не меняется ни при какой перестановке неизвестных, т.е.

                       .

      Простейшими   примерами будут: сумма всех неизвестных , сумма   квадратов   неизвестных ,  произведение неизвестных и т. д. Т.к. всякая подстановка из п символов представима в виде произведения транспозиций, то при доказательстве симметричности некоторого многочлена достаточно проверить, что он не меняется ни при какой транспозиции двух неизвестных.

     Далее мы будем рассматривать симметрические многочлены от n неизвестных. Легко видеть, что сумма, разность и произведение двух симметрических многочленов сами будут симметрическими. Если симметрический многочлен обладает членом, в который неизвестное входит с показателем k, то обладает и членом, получающимся из него транспозицией неизвестных и , т. е. содержащим неизвестное в той же степени k.

     Определение: Следующие n симметрических многочленов от n неизвестных называются элементарными симметрическими многочленами:

                  (1) 

      Основная теорема о симметрических многочленах [5].

      Всякий симметрический многочлен можно представить в виде многочлена от элементарных симметрических  многочленов.

      Доказательство.

      Пусть дан симметрический многочлен

и пусть  его высшим членом будет

                              (2)

      Покажем, что показатели степеней неизвестных в этом члене удовлетворяют условию:

                            . (3)

      Воспользуемся методом от противного. Допустим, что при некотором . Поскольку, многочлен - симметрический, то вместе с высшим членом (2) он будет содержать и член, полученный из (2) перестановкой переменных и :

                         , (4)

      Это приводит нас к противоречию, так как член (4), в силу допущения, оказывается выше члена (2): показатели при обоих членах совпадают, но показатель при в члене (4) больше, чем в члене (2).

      Допущение неверно. 

      Используем  следующий алгоритм для выражения любого симметрического многочлена через элементарные симметрические многочлены [4]. 

      1 шаг.

      По  высшему члену (2) построим одночлен от элементарных симметрических:

                      . (5)

      Это будет симметрический многочлен от неизвестных , причем его высший член равен:

     .

      Найдем  разность , которая также будет являться симметрическим многочленом.

      Поскольку высшие члены многочленов  и равны, то при вычитании из высшие члены этих многочленов взаимно уничтожатся, т. е. высший член симметрического многочлена будет ниже члена (2), высшего в многочлене . Пусть - ненулевой и

                              

его высший член. 

      2 шаг.

      По  высшему члену разности построим одночлен от :

                     ,

который также является симметрическим от переменных

      Найдем  разность , которая также будет являться симметрическим многочленом.

       —симметрический многочлен, высший член которого ниже, чем высший член в . Отсюда вытекает равенство

      Если  ненулевой, то будем и дальше продолжать этот процесс.

      Покажем, что этот алгоритм конечный.

      Пусть

                              (6)

высший  член любой из разностей

      В силу свойства высшего члена любого симметрического многочлена удовлетворяют условию:

                           

      Если  к тому же f – однородный симметрический многочлен степени k, то . Значит существует конечное число наборов целых неотрицательных чисел , удовлетворяющих этим условиям. Следовательно, существует конечное число разностей , а поэтому этот алгоритм есть конечный. Остановит его нулевая разность . 

      S шаг.

      

      Складывая полученные равенства, имеем:

, где  - одночлены от элементарных симметрических многочленов.

      Доказательство  теоремы закончено. 

      На  практике часто приходится иметь дело с так называемыми степенными суммами, для выражения которых через элементарные симметрические многочлены удобно использовать следующую таблицу [2]: 

     Таблица 1.1

Выражение степенных сумм

через

§2. Приложения теории симметрических МНОГОЧЛЕНОВ 

2.1. Решение систем алгебраических уравнений 

      Представление симметрических многочленов в виде многочленов от элементарных симметрических позволяет решать некоторые системы  алгебраических уравнений.

      Если  левые части уравнений являются симметрическими многочленами от неизвестных , то, в силу основной теоремы, левые части можно выразить через , тем самым, понизив степени уравнений. После того как найдены значения , нужно найти значения первоначальных неизвестных . Это можно сделать с помощью теоремы [2].

      Теорема 1. Пусть - произвольные числа. Алгебраическое уравнение n-ой степени

                     (1)

и система уравнений

                 (2)

связаны друг с другом следующим образом: если - корни уравнения (1), то система уравнений (2) имеет n! решений, включая решение и получающиеся из него перестановками корней . Других решений система не имеет. Верно и обратное, если - решение системы (2), то числа являются корнями уравнения (1).

      Замечание. Если найдены значения величин , то для нахождения значений первоначальных неизвестных , достаточно составить уравнение (1) и найти его корни. 

      Пример 1.

      Решить  систему уравнений

               

      Решение.

      Раскроем скобки в уравнениях системы:

                  

      Левые части уравнений полученной системы представляют собой симметрические многочлены. Выразим их через элементарные симметрические многочлены, используя алгоритм, изложенный в основной теореме о симметрических многочленах.

                            .

      Для многочлена

                   

      Построим  одночлены  , учитывая, что

                           

       .

      Найдем  значение коэффициента , присваивая переменным различные значения:

      Следовательно, .

      Тогда .

      Теперь  аналогично для многочлена

                   

      Построим  одночлены  , учитывая, что