Ответы по высшей математике

Теорема. Если в пространстве задана точка М0(х0, у0, z0), то уравнение плоскости, проходящей через точку М0 перпендикулярно вектору нормали (A, B, C) имеет вид:

A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0.

Доказательство. Для произвольной точки М(х, у, z), принадлежащей плоскости, составим вектор . Т.к. вектор - вектор нормали, то он перпендикулярен плоскости, а, следовательно, перпендикулярен и вектору . Тогда скалярное произведение

× = 0

Таким образом, получаем уравнение  плоскости 
 
 
 

Уравнение прямой в пространстве.

   Если на прямой в пространстве отметить две произвольные точки M1(x1, y1, z1) и M2(x2, y2, z2), то координаты этих точек должны удовлетворять полученному выше уравнению прямой: 

.

  Кроме того, для  точки М1 можно записать: 

.

Решая совместно эти  уравнения, получим: 

.  

Это уравнение прямой, проходящей через  две точки в  пространстве. 
 

Прямая  линия в пространстве. Основные задачи.

Прямая  линия в пространстве. Основные задачи

Угол  между прямыми в пространстве.

Пусть в пространстве заданы две прямые. Их параметрические  уравнения:

l1:

l2:

Угол  между прямыми  j и угол между направляющими векторами j этих прямых связаны соотношением: j = j1 или j = 1800 - j1. Угол между направляющими векторами находится из скалярного произведения. Таким образом:

.Условия  параллельности и  перпендикулярности прямых в пространстве.

Чтобы две прямые были параллельны  необходимо и достаточно, чтобы направляющие векторы этих прямых были коллинеарны, т.е. их соответствующие координаты были пропорциональны.

Чтобы две прямые были перпендикулярны необходимо и достаточно, чтобы направляющие векторы этих прямых были перпендикулярны, т.е. косинус угла между ними равен нулю. 
 
 

Множества. Операции над множествами.

Над множествами, как  и над многими  другими математическими объектами, можно совершать различные операции, которые иногда называют теоретико-множественными операциями или сет-операциями. В результате операций из исходных множеств получаются новые.

  Объединением множеств A и B называется множество элементов, принадлежащих по крайней мере одному из данных множеств (т. е. либо A, либо B, либо одновременно и A и B). Обозначают  и читают "объединение A и B".Пересечением множеств A и B называется множество элементов, принадлежащих одновременно и A и B. Обозначают и читают "пересечение A и B". Разностью множеств A и B называется множество элементов, принадлежащих A и не принадлежащих B. Обозначают A\B и читают "разность A и B". 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Прямая  и плоскость в  пространстве. Основные задачи.

Плоскостью  называется поверхность, обладающая тем свойством, что всякая прямая, соединяющая две  её точки, лежит в  ней целиком.

Такая поверхность безгранична, однако, чтобы её начертить, изо-бражают ограниченную часть её, чаще всего часть, ограниченную прямоугольником так, как это сделано на чертежах 2 и следующих.

Согласно  предыдущему определению, прямая может занимать относительно плоскости три различных положения:

1) Она может иметь  с ней две общие  точки и, следовательно,  лежать в ней  целиком; в этом  случае говорят  также, что плоскость проходит через прямую.

2) Она может иметь  с ней одну общую  точку; в этом  случае говорят,  что прямая пересекает  плоскость.

3) Наконец, плоскость  и прямая могут  не иметь ни  одной общей точки;  в этом случае говорят, что они параллельны.

Принимают, что всякая плоскость  делит пространство на две области, расположенные соответственно по обе стороны от этой плоскости. Нельзя перейти из одной из этих областей в другую, не пересекая плоскости. В частности, всякая прямая, которая соединяет две точки, лежащие по разные стороны от плоскости, пересекает плоскость.

Обратно, принимают, что всякая прямая, которая пересекает плоскость, делится  точкой пересечения  на две полупрямые, расположенные по одну и по другую стороны от плоскости.

Из  определения плоскости  следует ещё, что  всякая фигура, равная плоскости, есть плоскость.

Обратно, принимают, что какие-либо плоскости могут  быть совмещены и  притом таким образом, что какая-либо данная полупрямая первой плоскости совмещается с какой-либо данной полупрямой второй (причём их начальные точки также совмещаются).

Мы  приняли (Аксиомы  стереометрии) следующую  аксиому: Через всякие три точки пространства проходит плоскость.

Мы  дополним эту аксиому  следующей теоремой: 

Функция. Понятие функции. Способы задания  функции.

В математике числовая функция — это  функция, области  определения и  значений которой являются подмножествами числовых множеств — как правило, множества  вещественных чисел  или множества комплексных чисел .

Различают 4 способа задания  функции:

1. табличный Состоит в простом перечислении элементов функции f, т.е. при этом способе указывается значение аргумента x и соответствующе значение функции y=f(x)

Удобен, когда f --конечное множество, когда же f бесконечное, указывается лишь избранные пары (х,у).

2. аналитический (формулы)  Является наиболее  важным для МА (мат.анализа), поскольку методы МА (дифференциального, интегрального счисления) предполагают этот способ задания. Одна и та же функция может быть задана различными формулами:

3. графический Область  определения -- проекция  данного графика  на Ох, а множество значений -- проекция Д(f) на Оу. Применяется в медицине, технике.

4. словестный Отношение f, по которому каждому х находящееся соответствие у описывается словесно. Например, y=[x] : x из R (Целой частью х из R называют любое целое число не превосходящее х).

  Функция- зависимость переменной у от переменной x, если

каждому значению х соответствует единственное значение у.

     Переменная х- независимая переменная или аргумент.

     Переменная у- зависимая переменная

Предел  функции в точке.

Преде́л фу́нкции (предельное значение функции) — одно из основных понятий математического анализа, значение, к которому функция в определённом смысле приближается при приближении аргумента к определённой точке.

Функция  имеет предел в точке , если для всех значений , достаточно близких к , значение близко к .  
 

Односторонние пределы

Односторо́нний преде́л в математическом анализе — предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левосторо́нним преде́лом (или преде́лом сле́ва) и правосторо́нним преде́лом (преде́лом спра́ва).

Правосторонний  предел принято обозначать любым из нижеследующих способов:

Аналогичным образом для левосторонних  пределов приняты  обозначения:

 
 

Предел  функции на бесконечности. Бесконечно большая функция.

Предел  функции на бесконечности  в математическом анализе описывает поведение значения данной функции, когда её аргумент становится бесконечно большим по модулю.

Пусть задана числовая функция  с неограниченной сверху областью определения, то есть   и Число   называется пределом функции F при X стремящемся к бесконечности, если 

 

Пишут:   

 

Аналогично  пусть  и Число  называется пределом функции F  при X стремящемся к минус бесконечности, если  
 

Бесконечно  малые функции. Определения  и основные теоремы.

Функция y=f(x) называется бесконечно малой при x→a или при x→∞, если  или , т.е. бесконечно малая функция – это функция, предел которой в данной точке равен нулю.

Примеры.

Функция f(x)=(x-1)2 является бесконечно малой при x→1, так как 

Функция f(x) = tgx – бесконечно малая при x→0.

f(x) = ln (1+x)– бесконечно малая при x→0.

f(x) = 1/x– бесконечно малая при x→∞.

Алгебраическая  сумма двух, трех и вообще любого конечного числа бесконечно малых есть функция бесконечно малая.

Произведение  бесконечно малой  функции a(x) на ограниченную функцию f(x) при x→a (или при x→∞) есть бесконечно малая функция. 
 
 
 
 
 
 
 
 

Основные  теоремы о пределах.

Теорема 1. Предел алгебраической суммы двух, трех и вообще определенного  числа функций  равен алгебраической сумме пределов этих функций, т.е.  

Теорема 2. Предел произведения двух, трех и вообще конечного числа  функций равен  произведению пределов этих функций:

ледствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

Следствие 2. Предел степени равен  степени предела:

Теорема 3. Предел частного двух функций равен  частному пределов этих функций, если предел знаменателя отличен  от нуля, т.е.

Теорема 4. Пусть даны три  функции f(x), u(x) и v(x), удовлетворяющие неравенствам u(x)≤f(x)≤ v(x). Если функции u(x) и v(x) имеют один и тот же предел при x→a (или x→∞), то и функция f(x) стремится к тому же пределу, т.е. если

 то

Теорема 5. Если при x→a (или x→∞) функция y=f(x) принимает неотрицательные значения y≥0 и при этом стремится к пределу b, то этот предел не может быть отрицательным: b≥0.

Теорема 6. Если две функции  f(x) и g(x) при всех значениях аргумента x удовлетворяют неравенству f(x)≥ g(x) и имеют пределы , то имеет место неравенство b≥c. 
 

Признаки  существавания пределов

Не  всякая функция имеет  предел, даже будучи ограниченной. Например, sin x при x ® ¥ предела не имеет, хотя   £ 1.

  Укажем два признака  существования предела  функции.

  Теорема (о промежуточной  функции).

  Пусть в некоторой  окрестности О (а) точки а функция f(x) заключена между двумя функциями j (x) и y (x), имеющими одинаковый предел А при x ® a, то есть j (x) £ f(x) £ y(x) и

  Тогда функция  f(x) имеет тот же предел:

  Функция f (x) называется возрастающей на данном множестве X, если f(x1)<f(x2) для x1< x2 (x1, x2 Î X).

Функция f(x) называется убывающей на множестве X, если f( ) > f(x2) для x1< x2 (x1, x2 Î X).

  Возрастающая или  убывающая функция  называется монотонной  на данном множестве X.

  Если f() £ f() для x1< x2, то f(x) называют неубывающей, а если f(x1) ³ f(x2) для x1< x2 – не возрастающей. И в этом случае функцию называют монотонной.

  Теорема. Пусть  функция f(x) монотонна и ограничена при x< a (или при x > a). Тогда существует соответственно (или  
 
 
 
 
 
 
 
 

Первый  замечательный предел

Замеча́тельные преде́лы — термин, использующийся в советских и российских учебниках по математическому анализу для обозначения некоторых широко известных математических тождеств со взятием предела. Особенно известны:

Второй  замечательный предел.

Замеча́тельные преде́лы — термин, использующийся в советских и российских учебниках по математическому анализу для обозначения некоторых широко известных математических тождеств со взятием предела. Особенно известны:

Эквивалентные бесконечно малые  и теоремы о них.

Как известно, сумма, разность и произведение двух б.м.ф. есть функция бесконечно малая. Отношение же двух б.м.ф. может вести себя различным образом: быть конечным числом, быть бесконечно большой функцией, бесконечно малой или вообще не стремиться ни к какому пределу.