Шпаргалки по "Высшей математике"

1.Задачи перспективного планирования. Динамическое программирование.

При решении линейных и нелинейных задач мы считали экономич процесс  статическим, реш-е нах-сь только на один этап, такие задачи наз одноэтапными или одношаговыми. Предмет изучения ДП- процессы, развив-ся во времени. ДП-ем наз-ся и метод, спец-но приспособленный для решения многошаговых задач. М-д ДП м-т быть применён, когда время не фигурирует, но прцесс можно расчленить на шаги. Многошаговым счит-ся процесс, развив-ся во времени и распад-ся на неск-ко шагов. Одной из особ-тей ДП явл-ся то,что прин-ие реш-я по отн-нию к многошаговым процессам-не одиночный акт,а целый комплекс взаимосвязанных реш-ий. Последовательность этих взаимосвяз-х реш-ий наз стратегией. Оптимальная стр-гия- это стр-гия, обеспеч-щая получ-ие наилучшего рез-та с т.зр.некоторого ранее выбранного критерия. Суть метода ДП состоит в том что вместо решения всей сложной задачи предпочит-т решать более простые задачи аналогичного содержания. другая осб-ть метода ДП- назавис-ть оптим-го реш-я, прин-мого на кажд очередном этапе от предыстории, т.е.от того каким образом был получен наст рез-т. Метод ДП хар-ся ещё и тем что выбор оптим реш-ия на кажд этапе д-н производ-ся с учетом его последствий в будущем. Это означает, что оптимизируя процесс на кажд этапе не следует забывать о последующих этапах след-но, что поэтапное планирование д-но производится чтобы при планир-нии кажд шага учитывалась не выгода, получаемая на этом этапе, а суммарная выгода, получаемая при окончании процесса. Этот принцип выбора оптимал реш-ия в ДП носит название принципа оптимальности. Принцип оптимальности : оптим стр-гия обладает тем св-вом,что каковы бы ни были первонач состояния и первонач реш-ия реш-е, принимаемое на опред этапе, вместе с последующими реш-ми д-ны сост-ть оптим стратегию. Исключением при многоэтап планир-нии явл последн шаг,кот д.быть оптимальным сам посебе ( не учит последствия в будущем). Спланировав оптимальным образом последний шаг можно пристроить предпоследний шаг, чтобы был наилучшим суммарный эф-т последних 2-х шагов и т.д. Именно так от конца к началу можно развернуть процедуру поиска реш-я многоэтап проц-са. Но чтобы оптимально спланир-ть послед шаг след-т сделать предлож-ие отн-но того, чем законч-ся послед шаг и для каждого из таких предположений найти реш-ие,при кот-м эф- на послед шаге будет наибольшем. Такое оптимал-ое решение найденное при условии, что предыдущий шаг заверш-ся опред-м образом, наз-ся условно-оптимальным, аналогично оптим-ся предпоследний шаг, т.об.на кажд шаге в соотв с принципом оптимальности ищется реш-е, обесп-щее оптим продолжение процессаотн-но сост-ия достигнутого в наст момент. Если при движении от конца к началу построена последоват-ть усл-оптимал реш-ий, то остается прочесть эту послед-ть в обратном направлении.

2. Многоцелевые (многокритериальные) задачи.

Как правило эффективность пр-ва определяется не одним, а многими  экон показателями. Задачи, решаемые с  учетом множества критериев наз  многоцелевыми. Многоцелевые задачи могут  быть линейными и нелинейными. Планы задач, получаемые по различным критериям, очевидно будут разные. Цель решения многоцелевых задач состоит в том, чтобы найти план, при котором система критериев была бы наилучшей. В зависимости от критериев по-разному определяется оптимальный план многоцелевых задач. Если все критерии многозначны, то эффективным считается тот план, при котором отклонение от оптимумов по каждым критериям равны; если критерии неравнозначны, то оптимальный план находится по методу уступок. Перед тем, как использовать метод уступок критерии располагаются по их значимости, наиболее важным является первый; далее решается задача по первому критерию, т.е. находится f₁* экстремальное значение целевой функции. На следующем этапе делается уступка по 1-му критерию, в ограничения задачи добавляется условие f₁³k₁f₁*, k – некоторое число из интервала 0<k₁<1. Затем решается задача по 2-му критерию при дополнительном ограничении, т.е. находится f₂*, делается уступка по 2-му критерию: f₂ снижается до k₂f₂*, где 0<k₂<1. В систему ограничений добавляется еще одно ограничение: f₂³k₂f₂* и решается задача по 3-му критерию, т.е. находится f₃* и т.д. до тех пор пока не будет получено решение по всем критериям. Окончательный план и будет субоптимальным решением (планом). При этом получ экспериментальное значение наименее важного критерия при гарантированных значениях предшествующих критериев.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.Метод наименьших и  равных отклонений.

При решении многоцелевой задачи потреб-м, чтобы отклонение каждого  из значений целевой функции от своего экстремального значения было минимальным и все отклонения были равны между собой, должно выполняться: |f₁-f₁^*/ f₁^*| = |f₂-f₂*/ f₂*| =…= |f_n-f_n*/ f_n*|. Преобразуем эти условия: последн условие, если критерии f₁f_k, критерии на max имеют вид: +f₁-f₁*/ f₁* = +f_k-f_k*/ f_k* Þ (f₁/ f₁*)-1 = (f_k/ f_k*)-1 Þ f₁q₁ = f_kq_k; q₁=1/f₁*; q_k=1/f_k*; f₁q₁ – f_kq_k=0. Если 2 критерия на min, то дополнительные условия будут иметь тот же вид. Если 1-й на min, 2-й на max, то требования равенства отклонений превращаются: f₁q₁ + f_kq_k=2. Учтем требования минимальности отклонения (для I условия): |f₁-f₁*/ f₁*| ® min f₁­f₁* Þ для f₁ зад max. В качестве целевой функции можно взять любое из выражений: U=f₁(max); U=f₂(min); …; U=f_k(extr). Чтобы решить многоцелевую задачу методом равных и наименьших отклонений, необходимо составить так называемую замещающую задачу, т.е. к системе ограничений данной задачи добавить дополнительные условия:

4. Усложненная  постановка задач транспортного  типа.

На практике возможны задачи с большим числом ограничений, это осложняет решение транспортных задач, рассмотрим наиболее часто случающиеся случаи:

1) нередко требуется  минимизировать суммарные расходы  на транспортировку и производство  продукции; критерий оптимальности  – сумма затрат на производство первого груза и его перевозку;

2)иногда требуется  учесть ограничения, исключающие  поставки от одного поставщика  к 1 или нескольким потребителям, тогда перевозки, исключаемые  учитываются блокировкой составляющих  клеток4 тарифы клеток = большому числу;

3)иногда требуется  учитывать пропускные способности  некоторых маршрутов, также применяется  метод искусственной блокировки; если по маршруту не может  быть перевезено > d единиц груза, то  столбец Вк разбивается на В¢ и В¢¢ в 1-ой странице спрос= В во втором столбце спрос=…

Тарифы в столбцах одинаковы, в клетке позиции (S,K) тариф = завышаемому тарифу М;

4) может случиться,  некоторые поставки по определенным  маршрутам обязательны, тогда  в матрице перевозок записываются  обязательные перевозки, а затем задача решается относительно необязательных перевозок;

5) задачи по физическому  смыслу не связанные с транспортными  задачами и могут быть описаны  аналогичными транспортными моделями  и решаться тем иже моделями  транспортных задач; иногда в  задаче транспортного типа целевая должна быть max.начально- опорочный план строится с клетки с наибольшим значением показателя критерия показателя; оптимальный план- план, для которого все косвенные тарифы: S_ік=C_ік-(φ_i+V_к)≤0 неположительны. Перспективный для загрузки в случае не оптимальности является к-ка с положительным косвенным тарифом.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. Построение  функциональной зависимости на  основании экспериментальных данных.

Пусть при исследовании зависимости  между признаками X, Yполучатся значения признака Y_i при соответственных значениях признака X_i , т.е. имеется таблица экспериментальных данных. Требуется построить зависимость Y(X) иногда из некоторых теоретических соображений, предыдущего опыта можно сделать предположение относительно вида зависимости ( линейная- ах+в; квадратичная У= ах²+в+с; обратная зависимость y=a/x+b, экспоненциальная зависимость у=ае‾×b(индексы).

Вид зависимости может быть подсказан  расположением на координатной плоскости  ХОУ т-к с координатами X_i,Y_i, i=1,¯n. Когда сделано предположение о виде зависимости, нужно установить пар-ры зависимости. Задача поиска пар-ров решается с помощью широко применяемого метода наименьших квадратов; его суть: рассмотрим сумму квадратов отклонений имперических значений Y_i от значений, полученных по расчетной формуле Y=φ(X) при заданных значениях X=X_ıX₂….X_n, т.е. рассматривается функция: S=S (Y_i─φ(х_i))².

Если зависимость линейная, то у=ах+в  и ф-ла: S=å(U_i-Y_iрасч)²=å(Y_i-ах_i-в)², получается функция S является функцией 2^x аргументов: S=S(a,b) . Очевидно, что расчетная формула тем лучше описывает, чем < значение принимает функция S=S(a,b) , т.о. задание сводится к описыванию минимальной функции 2 переменных, из предыдущего известно, если функция нескольких переменных имеет в т-ке Μo экстремум и в ней существует част. производ. функции, то все эти част. произв-м = 0 , отсюда следует точки экстремума искать среди точек, в которых част. производная = 0. В случае множественной зависимости эти условия примут вид:

∂S /∂a=0    ∂S/∂b=0(сист.)

∂S/∂a=∂/∂a      å=å∂/∂a=å∂/∂a(Y_i-AX_i-B)²=å2(Y_i-AX_i-B)·(Y_i-AX_i-B)A=å2(Y_i-AX_i-B)·(-X_i)= -2å(Y_i-AX_i-B)·X_i;   -2å(Y_i-AX_i-B)·X_i=0

å(Y_i-AX_i-B)·X_i=0;  å(Y_iX_i-AX_i²-BX_i)=0;  åY_iX_i-åAX_i²-å BX_i=0;  åY_iX_i-Aå X_i²-BåX_i

Получаем линейное уравнение  относительно а и в :  AåX_i²+ BåX_i=åY_iX_i

Найдем частн. Производную по в: ∂S/∂a=å2(Y_i-AX_i-B)·(-1)=0; -2å(Y_i-AX_i-B)=0 ;  å(Y_i-AX_i-B)=0;  åY_i-åAX_i-å B=0;  åY_i-AåX_i-NB=0;  AåX_i+NB=åY_i

Таким образом полученна система 2^х уравнений с двумя неизвестными а и в :

AåX_i²+ BåX_i=åY_iX_i    Решая эту систему находим параметры а и в .

 AåX_i+NB=åY_i (сист.)  Последняя система наз. сист. Нормальных уравнений

для  определения параметров а  и в  линейной зависимости. Рассмотрим случай квадратичной зависимости между  признаками Х и У; у=ах²+ вх+с. В  этом случае сумма квадратов отклонений экспкрементальных данных от расчетных данных имеет вид: S=å(Y_i-AX_i²-BX_i-C)², S=S(а, в, с). Видим, что фукнкция Sⁱ⁼¹- функция от з параллельных. Параметры а, в, с, следует определить так, чтобы S принимало минимальное значение. Точки минимума функции S найдем из условия равенства нулю частных производных:

∂S /∂a=0    ∂S/∂b=0(сист.)

∂S/∂с=0   

Найдем частную производную  по а : ∂S /∂a=å2(Y_i-AX_i²-BX_i-C)·(-X_i²)=0

   -2å(Y_iX_i²-AX_i²-BX_i³-CX_i²)=0; åy_ix_i²-aåx_i⁴-båx_i³-cåx_i²₌0; аåx₁⁴+båx_i³+ cåx_i²=åy_ix_i²

Наидем частичную производную  по в , приравнивая ее к нулю: ∂S/∂b= =å2(Y_i-AX_i²-BX_i-C)·(-X_i²)=0; -2å(Y_iX_i²-AX_i²-BX_i³-CX_i³)=0; åy_ix_i²-aåx_i⁴-båx_i³-cåx_i²₌0;  аåx_i⁴+båx_i³+ cåx_i²=åy_ix_i²

Найдем частную производную  по в приравнивая ее к нулю:

∂S/∂b=å2(Y_i-AX_i²-BX_i-C)²; å2(Y_i-AX_i²-BX_i-C)·(-X_i)=0 ; åy_ix_i²-åаx_i³-åbx_i²-åcx_i=0; аåx_i³+båx_i²+ cåx_i=åy_ix_i²

Найдя частную производную по с  и затем приравняв ее к 0 , в  результате придем к уравнению: аåx_i²+båx_i+ cn=åy_i, таким образом получена система нормальных уравнений для определений параметров а, в, с квадратной зависимости. Система 3 уравнений с тремя неизвестными:

аåx₁⁴+båx_i³+ cåx_i²=åy_ix_i²;  аåx_i³+båx_i²+ cåx_i=åy_ix_i²;  аåx_i²+båx_i+ cn=åy_i ( сист.)

Рассмотрим случай экспоненциальной зависимости у и х : у= ас^вх     а, в - ? (находится по схеме предидущих случаев) S=å(y_i-ae^bxi)²; ∂S/∂a=å2(y_i-ae^bxi)´e^bxi; å(y_i-ae^bxi)´e^bxi=0; å(y_ie^bxi-åae^2bxi)=0. Относительно а – линейное уравнение; относительно b – показательное уравнение. Другая частная производная, приравнивается к нулю, приводит к нулю: ∂S/∂a=å2(y_i- ae^bxi)´ae^bxi´x_i=0;  a²åe^2bxi´x_i- aåe^bxi´x_iy_i=0. Таким образом получено еще одно уравнение, но решить полученную систему 2^х уравнений не предусматривается возможным. В связи с этим при нахождении параметров экспоненциальной зависимости расчетную формулу предварительно логарифмируют: y= ae^bx. ℓny=ℓn ae^bx; ℓny=ℓna+ℓne^bx; ℓny=ℓna+bx(*). Если теперь ввести новые переменные У=ℓny, А=ℓna, В=ℓnb, то соотношение (*) примет вид :У=А+Вх – линейная зависимость У^/ от Х.

 

 

6. Положение корреляционных методов. Парная корреляция.

Постановка экономико-матем.  модели позволяет дать количественную характеристику связи, зависимости  и обусловленности экономических  показателей; хоть экономико-матем. модель является упрощенным отражением действительности она обеспечивает строгий математический подход к исследованию сложившихся экономических взаимосвязей к выяснению вопроса о том существенно ли изучаемая зависимость, в какой форме проявляется… Экономическая модель служит средством анализа предшествующего экономического развития, становится важным инструментов плановых расчетов. Существуют 2-а вида зависимости: 1. Статистическая; 2. Функциональная. При статистической зависимости изменение одной из величин ведет к изменению распределения другой; частным случаем является корреляционная зависимость (при изменении одной величины в среднем изменяется соответствующая зависимая величина). При функциональной зависимости изменение одной величины ведет к изменению другой. Значению Х соответствует значение Y (например зависимость между ростом и весом человека). Важнейшей составляющей задачи корреляционного анализа является устранение вида зависимости  y=f(x), отыскание такого уравнения регрессии, которое наилучшим образом соответствует характеру изучаемой связи. Это уравнение явл. важной составляющей математической модели. Уравнение регрессии Yср.= (y₁ + y₂ + … + y_n)/n. Прямая линия регрессии y=ax+b. Для отыскания параметров a и b состовляется нормальное уравнение   a∑x²_i+b∑x_i=∑x_iy_i  и a∑x_i+bn=∑y_i Þ aX²ср +bXср=XYср и aXср+b=Yср. Если бы не было уравнения регрессии, то для оценки определяется средняя квадрата отклонения (дисперсия): Sy²_ср=∑(y_i-y_ср.)²/n, sy_ср=Sy_ср Сравним это отклонение с отклонением от прямой линии регрессии: Sy²x=∑(y_i-y_{iрасчетн.})²/n, syx=Syx. Отклонение от среднего значительно больше чем отклонение от прямой линии регрессии; установим на сколько: ((Sy²_ср-Syx²)/ Sy²_ср)´100%. Таким образом мы  получим учет влияния признака X на признак Y. Величина (Sy²_ср-Syx²)/ Sy²_ср – коэффициент детерминации, характеризует силу воздействия данной причины (признак Х) на связанный с ней показатель Y. r= Ö((Sy²_ср-Syx²)/ Sy²_ср) – это коэффициент корреляции. Если он близок к единице, то между признаками Х и Y существует тесная связь. Если связи нет, то r=0. Коэффициент r изменяется от 0 до 1. Берется r со знаком “+”, если параметр a отрицателен. Часто связь между переменными по своей сущности не может быть охарактеризовано по прямой линии регрессии. Например, связь между размером однотипных предприятий и себестоимости их продукции. Логично предположить, что до известного предела увеличения размера предприятия соответствует уменьшению себестоимости продукции до известного придела, но начиная с некоторого предельного значения начинают усиливаться отрицательные особенности предприятий гигантов, указанная зависимость в этом случае должна быть зависимостью с точкой экстремума. В случае криволинейной зависимости между Y и X для оценки качества построенной зависимости используются индекс корреляционной зависимости; определяется по формуле: i= Ö((Sy²_ср-Syx²)/ Sy²_ср), где Syx² – средний квадрат отклонения фактических данных от значений рассчитанных по уравнению: : i= Ö((Sy²_ср-Syx²)/ Sy²_ср)= Ö((1-Syx²)/ Sy²_ср). Усложнение уравнения кривой регрессии приводит к увеличению идекса криволинейной  корреляции, но слишком сложное уравнение кривой регрессии лишено экономически реального содержания, т.к. в этих сложных уравнениях теряются различия между не типичным  и существенным, а случайность возводится в закономерность. Уравнение изучаемой корреляционной связи должно быть возможно более простым, чтобы сущность проявлялась достаточно четко, а параметры толковались экономически четко.