Ответы по высшей математике

Возрастание и убывание дифференцируемой функции связано со знаком её производной. Напомним, что функция называется возрастающей на интервале , если для любых двух точек из неравенства  следует, что ; убывающей на интервале , если из неравенства следует, что; невозрастающей на интервале , если из неравенства  следует, что , и неубывающей на интервале , если из неравенства следует, что .

Очевидно, что функция  возрастает тогда и только тогда, когда убывает функция ; аналогичное утверждение связывает неубывающую функцию с невозрастающей. 

Максимум  и минимум. Экстремум.

Точка x0 называется точкой максимума  функции f(x), если для любого x из некоторой окрестности точки x0 выполняется неравенство f(x0)>f(x).

Если  для любого x из окрестности точки x0 выполняется неравенство f(x0)<f(x), то точка x0 называется точкой минимума.

Функция может иметь экстремум (максимум или минимум) только в тех точках, которые лежат внутри области определения функции и где её производная равна нулю или не существует. Такие точки называются критическими.

Точки, при переходе через  которые возрастание функции меняется на убывание, являются точками максимума, а точки, при переходе через которые убывание функции меняется на возрастание, являются точками минимума.

Поскольку поведение функции  характеризуется знаком её производной, то функция будет иметь экстремум в тех точках, где её производная меняет свой знак, а сама функция непрерывна.

Отсюда  вытекает правило  исследования функции на экстремум. Чтобы найти точки экстремума функции y=f(x), в которых она непрерывна, нужно:

1. Найти производную  y' и критические точки, в которых y'=0 или не существует.

2. Определить знак  y' слева и справа от каждой критической точки. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Наибольшее  и наименьшее значение функции на отрезке.

Говорят, что функция  , определенная на промежутке Х, достигает на нем своего наибольшего (наименьшего) значения, если существует точка а, принадлежащая этому промежутку, такая, что для всех х из Х выполняется неравенство  .

Функция, непрерывная на отрезке, достигает на нем своего наибольшего и наименьшего значений.

Наибольшее  значение М и наименьшее значение m непрерывной функции могут достигаться как внутри отрезка, так и на его концах. Если наибольшего (наименьшего) значения функция достигает во внутренней точке отрезка, то эта точка является точкой экстремума. 

Выпуклость  графика функции. Точки перегиба.

График  функции y=f(x) называется выпуклым на интервале (a; b), если он расположен ниже любой своей касательной на этом интервале.

   Пусть функция  f определена в некоторой окрестности точки x0, непрерывна в точке x0 и имеет в этой точке конечную или бесконечную производную. Если при переходе через точку x0 функция f меняет направление выпуклости, то x0 называют точкой перегиба функции f, а точку (x0; f(x0)) - точкой перегиба графика функции f. График функции переходит с одной стороны касательной, проведенной в точке (x0; f(x0)), на другую сторону. Точки перегиба f - точки экстремума для f'. 

Асимптоты графика функции.

Назовём асимптотами прямые линии, к которым неограниченно приближается график функции, когда точка графика неограниченно удаляется от начала координат. В зависимости от поведения аргумента при этом, различаются два вида асимптот: вертикальные и наклонные.

Прямая  x = a называется вертикальной асимптотой графика функции f (x) при x → a, если выполнено хотя бы одно из условий  ,  

Прямая  y = b называется горизонтальной асимптотой графика функции f (x) при x → +∞, если

Прямая  y = kx + b, k ≠ 0 называется наклонной асимптотой графика функции f (x) при x → +∞, если  Аналогично определяются горизонтальная и наклонная асимптоты при x → –∞. 
 

Общая схема исследования и построения графика.

1) найти область  определения функции,  промежутки непрерывности  и точки разрыва;

2) найти асимптоты  графика функции;

3) проверить симметрию  графика, периодичность;

4) найти интервалы  монотонности, экстремумы;

5) найти интервалы  выпуклости, вогнутости, точки перегиба;

6) найти точки пересечения  с осями координат;

7)  провести в случае  необходимости исследование  на концах области  определения;

8) построить график  функции.