Ответы по высшей математике

Теорема 18.1 . Предел отношения  двух бесконечно малых  функций не изменится, если каждую или одну из них заменить эквивалентной  ей бесконечно малой.

Теорема 18.2 . Разность двух эквивалентных бесконечно малых функций есть бесконечно малая более высокого порядка, чем каждая из них.

Теорема 18.3 . Сумма конечного  числа бесконечно малых функций  разных порядков эквивалентна слагаемому низшего порядка. 

Применение  эквивалентных бесконечно малых функций  к вычислению пределов.

Для раскрытия неопределённостей  вида 0/0 часто бывают полезным применять  принцип замены бесконечно малых эквивалентными и другие свойства эквивалентных бесконечно малых функций. Как известно, sinx~х при х→0, tgx~х при х→0. Приведем еще примеры эквивалентных б.м.ф.

важнейшие эквивалентности, которые  используются при  вычислении пределов:

sinx~х при х→0;

tgx~х (х→0);

arcsinх ~ х (х→0);

arctgx~х (х→0);

1-cosx~x2/2 (х→0);

ех-1~х (х→0);

αх-1~х*ln(a) (х→0);

ln(1+х)~х (х→0);

loga(l+х)~х•logaе (х→0);

(1+х)k-1~k*х, k>0 (х→0); 

Непрерывность функции в точке.

. Функция f(x), определенная в окрестности некоторой точки х0, называется непрерывной в точке х0, если предел функции и ее значение в этой точке равны, т.е.

. Если функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х0, но не является непрерывной в самой точке х0, то она называется разрывной функцией, а точка х0 – точкой разрыва.

. Функция f(x) называется непрерывной в точке х0, если для любого положительного числа e>0 существует такое число D>0, что для любых х, удовлетворяющих условию

Функция f(x) называется непрерывной в точке х = х0, если приращение функции в точке х0 является бесконечно малой величиной.

Свойства  непрерывных функций.

1) Сумма, разность  и произведение  непрерывных в точке х0 функций – есть функция, непрерывная в точке х0.2) Частное двух непрерывных функций –есть непрерывная функция при условии, что g(x) не равна нулю в точке х0.

Точки разрыва функции  и их классификация.

  Рассмотрим некоторую функцию f(x), непрерывную в окрестности точки х0, за исключением может быть самой этой точки. Из определения точки разрыва функции следует, что х = х0 является точкой разрыва, если функция не определена в этой точке, или не является в ней непрерывной.

Точка х0 называется точкой разрыва функции f(x), если f(x) не определена в точке х0 или не является непрерывной в этой точке. Точка х0 называется точкой разрыва 1- го рода, если в этой точке функция f(x) имеет конечные, но не равные друг другу левый и правый пределы. . Точка х0 называется точкой разрыва 2 – го рода, если в этой точке функция f(x) не имеет хотя бы одного из односторонних пределов или хотя бы один из них бесконечен.

Функция f(x) называется непрерывной на интервале (отрезке), если она непрерывна в любой точке интервала (отрезка). 

Определение производной, её механический и геометрический смысл.

Производная - основное понятие  дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции.

Геометрический?

Касательная к функции в  точке....

Условие возрастания функции: f ' (x) > 0.

Условие убывания функции: f ' (x) < 0.

Точка перегиба (необходимое  условие): f ' ' (x0) = 0.

Выпуклость  вверх: f ' ' (x) <0

Выпуклость  вниз: f ' ' (x) >0

Уравнение нормали: у=f(x0)-(1/f `(x0))(x-x0)

Механический?

скорость  это производная  по расстоянию, ускорение производная по скорости и вторая производна по расстоянию...

Уравнение касательной к  графику функции f в точке x0

y=f(x0)+f `(x0)(x-x0) 

Уравнение касательной и  нормали к кривой.

Сначала надо найти производную  от этой функции в точке Хо, которая является угловым коэфф."k" касательной в этой точке: dF/dx=2X^(-1/3)+8, k=2*(-1)+8=6.

Теперь  найдем Yo=3*1-8-1=-6

Составим  уравнение касательной  в точке(-1,-6):

Y+6=6(X+1), Y=6X

Угловой коэфф.нормали k1=-1/k=-1/6

Составим  уравнение нормали:Y+6=(-1/6)(X+1), Y=(-1/6)X-37/6.

Каса́тельная пряма́я — прямая, проходящая через точку кривой и совпадающая с ней в этой точке с точностью до первого порядка.

Нормаль — это прямая, ортогональная (перпендикулярная) касательной прямой к некоторой кривой или касательной плоскости к некоторой поверхности. Также говорят о нормальном направлении. 
 

дифференцирование функций, заданных параметрически

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Производная суммы, разности, произведения и частного функций.

Нахождение  производной функции  непосредственно по определению часто связано с определенными трудностями. На практике функции дифференцируют с помощью ряда правил и формул.

Пусть функции u=u(х) и ν=ν(х) - две дифференцируемые в некотором интервале (a;b) функции.

Теорема 20.2 . Производная суммы (разности) двух функций равна сумме (разности) производных этих функций: (u±ν)'=u'±ν'.

Обозначим у=u±ν. По определению производной и основным теоремам о пределах получаем:

 
 

Производная сложной функции.

"Двухслойная"  сложная функция  записывается в виде

 

где u = g(x) - внутренняя функция, являющаяся, в свою очередь, аргументом для внешней функции f.

Если  f и g - дифференцируемые функции, то сложная функция   также дифференцируема по x и ее производная равна

  Данная формула показывает, что производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную от внутренней функции. Важно, однако, что производная внутренней функции вычисляется в точке x, а производная внешней функции - в точке u = g(x)!

Эта формула легко  обобщается на случай, когда сложная  функция состоит  из нескольких "слоев", вложенных иерархически друг в друга.

Рассмотрим  несколько примеров, иллюстрирующих правило производной сложной функции. Это правило широко применяется и во многих других задачах раздела "Дифференцирование". 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Производные высших порядков явно заданных функций.

Производная у'=ƒ'(х) функции у=ƒ(х) есть также функция от х и называется производной первого порядка. 

Если  функция ƒ'(х) дифференцируема, то ее производная называется производной второго порядка и обозначается у"

Итак, у"=(у')'.

Производная от производной второго  порядка, если она  существует, называется производной третьего порядка и обозначается у'" (или ƒ'"(х)). Итак, у'"=(y")'

Производной n-го порядка (или n-й производной) называется производная от производной  (n-1) порядка:

y(n)=(y(n-1))¢ .

Производные порядка выше первого  называются производными высших порядков.

Начиная с производной  четвертого порядка, производные обозначают римскими цифрами или числами в скобках (уν или у(5)— производная пятого порядка). 
 

Производные высших порядков от функций, заданных параметрически.

Пусть:

1) функции φ(t) и ψ(t) дифференцируемы в точке t0;

2) φ '(t0) не равна нулю;

3) для функции x = φ(t) существует обратная функция t = Φ(x) в окрестности точки x0 = φ(t0). Тогда уравнения   

   

задают  функцию, заданную параметрически, y = f(x), определенную в некоторой окрестности точки x0= φ(t0), дифференциируемую в точке х0, причем 
 

Понятие дифференциала функции  и его геометрический смысл.

Если  функция y=f(x) имеет производную f?(x) в точке x, то произведение производной f?(x) на приращение ?x аргумента называется дифференциалом функции и обозначается символом dy: dy=f?(x)?x.

Дифференциал  суммы 2-х дифференцируемых функций u и v равен сумме дифференциалов этих функций d(u+v)=du+dv

Дифференциал  произведения 2-х  дифференцируемых функций u и v определяется формулой d(uv)=u*dv+v*du

нвариантность формы дифференциала первого порядка

Пусть задана сложная функция  y=F(t)=f(g(t)), y=f(x), x=g(t).

dy=(f(g(t))? dt=f?(x)g?(t)dt=f?(x)dg=f?(x)dx. Вид первого дифференциала такой же, как и в случае, когда x является независимой переменной. Это свойство называется свойством инвариантности дифференциала первого порядка.

Основные  теоремы дифференциала.

Теорема. Дифференциал сложной  функции y=f(u), для которой u=g(x), имеет тот же вид dy=f'(u)du, какой он имел бы, если бы промежуточный аргумент u был независимой переменной. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

ПРИМЕНЕНИЕ  ДИФФЕРЕНЦИАЛА К  ПРИБЛИЖЕННЫМ ВЫЧИСЛЕНИЯМ

Пусть нам известно значение функции y0=f(x0) и ее производной y0' = f '(x0) в точке x0. Покажем, как найти значение функции в некоторой близкой точке x.

Как мы уже выяснили приращение функции Δyможно представить в виде суммы Δy=dy+α·Δx, т.е. приращение функции отличается от дифференциала на величину бесконечно малую. Поэтому, пренебрегая при малых Δx вторым слагаемым в приближенных вычислениях, иногда пользуются приближенным равенством Δy≈dyили Δy»f'(x0)·Δx.

Т.к., по определению, Δy = f(x) – f(x0), то f(x) – f(x0)≈f'(x0)·Δx. 

Дифференциалы высших порядков.

Дифференциалом  порядка n, где n > 1 от функции   Z в некоторой точке называется дифференциал в этой точке от дифференциала порядка (n — 1), то есть

При вычислении дифференциалов высших порядков очень важно, что dx  есть произвольное и не зависящее от x , которое при дифференцировании по   следует рассматривать как постоянный множитель

Приращения   рассматриваются как постоянные и остаются одними и теми же при переходе от одного дифференциала к следующему. Сложность выражения дифференциала возрастает с увеличением числа переменных. 

Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях (Ролля, Коши, Лагранжа)

Теорема. Ролля. Если функция g(x) непрерывна на отрезке [a,b], дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка и на концах обращается в нуль g(a)=g(b)=0, то существует по крайней мере одна точка a < c < b в которой производная gў обращается в нуль gў(c)=0.

Теорема. Лагранжа. Если функция  g(x) непрерывна на отрезке [a,b], дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка, то существует по крайней мере одна точка a < c < b в которой выполняется равенство                         g(b)-g(a)=gў(c)(b-a)

Теорема. Коши. Если функции  g(x) и h(x) непрерывны на отрезке [a,b], дифференцируемы во всех внутренних точках этого отрезка, причем hў(x) № 0 внутри отрезка [a,b], то существует точка a < c < b в которой выполняется равенство g(b)-g(a)

h(b)-h(a) =      gў(c)

                              hў(c) 
 

Правила Лопиталя для раскрытия неопределённости вида 0:0 итд.

Правило Лопита́ля — метод нахождения пределов функций, раскрывающий неопределённости вида 0 / 0 и . Обосновывающая метод теорема утверждает, что при некоторых условиях предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

Пусть функции f(x) и g(x) дифференцируемы в некоторой окрестности точки a, за исключением, быть может, самой точки a, и пусть или . Тогда, если существует предел отношения производных этих функций , то существует и предел отношения самих функций f(x)/g(x) при x→а, причем

предел  отношения двух бесконечно малых или двух бесконечно больших величин равен пределу отношения их производных. 

Возрастание и убывание функций