Контрольная №1

Задача  166

    Определить  вид поверхности и изобразить ее на рисунке:

    

Решение:

     - эллиптический параболоид

    

    

Контрольная работа №2

Задача 6

    Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя:

    а) 

    б)

    в)

    г)

Задача 26

    Исследовать данные функции на непрерывность  и указать вид точек разрыва; в условии б) дополнительно построить график функции. 

    а)

    Функция определена на всей числовой оси, кроме  точки х=2

    Для точки х=2:

    В точке х=2 существует разрыв 1-го рода 

    б)

    Функция задана на трех промежутках различными аналитическими выражениями. Каждое из этих выражений представляет собой элементарную функцию, которая является непрерывной на заданном промежутке.  Поэтому функция может иметь разрывы лишь в точках, где меняется ее аналитическое выражение.

    Исследуем на непрерывность в каждой из этих точек.

    

    В точке х=1 левый и правый пределы  функции конечны, но неодинаковы. В  точке х=1 существует разрыв 1-го рода.

    

    В точке х=2 левый и правый пределы функции конечны, но неодинаковы. В точке х=2 существует разрыв 1-го рода. 

    Сделаем чертеж.  

    

Задача 46

    Найти производные функции: 

    а)

    

    б)

    Логарифмируя, получим:

    Дифференцируем  обе части последнего равенства  по х:

    

    Искомая производная:

    

    в)  

    Вычислим  производную по х от левой части  уравнения, считая у функцией от х:

    

    Искомая производная: 

    

Задача 66

    Найти производные первого и второго  порядков от функций, заданных параметрически:

       

Решение:

    Воспользуемся формулами:

    

    Получаем:  

    

    Получаем:  

Задача 86

    Пользуясь правилом Лопиталя, найти пределы  функций.

    а)

    б)  

Задача 106

    Написать  формулу Тейлора третьего порядка  с остаточным членом в форме Лагранжа для заданной функции в точке  х₀. 

    

Решение:

    Разложение  функции в ряд Тейлора:

    

    

    

    По  формуле Тейлора получаем искомое  разложение:  

    

Задача 126

    Исследовать функцию и построить ее график:

    

Решение:

    1) Область определения функции:   D(f)= (-¥; 1)È(1; +¥)

    2)    

    Функция не является четной , нечетной, периодической

    3) График функции пересекает оси координат в точке (0, 0)  

    4) 

    В точке х=1 существует разрыв 2-го рода.  

    Прямая  х=1 –вертикальная асимптота. 

    Для нахождения наклонной асимптоты  вычисляем пределы:

    

    

    у=4 –горизонтальная асимптота  

    5) Исследуем функцию на экстремум.  Найдем производную функции.

    

    Приравняем  найденную производную к нулю и решим полученное уравнение:

    

    хÎ(-¥; 0)  y’>0 –функция возрастает

    хÎ(0; 1)    y’<0 –функция возрастает

    хÎ(1; +¥)  y’>0 –функция возрастает

    f(0)=0

    6) Исследуем функцию на интервалы выпуклости и вогнутости.

    

    Приравняем  вторую производную к нулю

    

    хÎ(-¥; -0,794)  y’’>0 –график функции вогнутый 

    хÎ(-0,794; 0)  y’’<0 – график функции выпуклый 

    хÎ(0; 1)  y’’>0 – график функции вогнутый 

    хÎ(1; +¥)  y’’<0 – график функции выпуклый 

    x=-0.794 –точка перегиба;  f(-0.794)= -1.334

    х=0 –точка перегиба  f(0)=0

    7) График функции имеет вид:  

    

Литература:

    1. Гусак А.А. Высшая математика  в 2 ч., Мн., 1998  

    2. Высшая математика. Общий курс. Под ред. С.А. Самаля, Мн., 2000