Контрольная работа по "Высшей математике"

 

 

Задача 1

Решить систему линейных уравнений, используя:

а) матричный способ;

б) метод Гаусса;

в) правило Крамера.

 

Решение

Запишем систему в матричном  виде

 

Проверим совместность системы  по теореме Кронекера-Капелли, найдя ранг матрицы системы и ранг расширенной матрицы системы.

 

 

 

Таким образом, система совместна

 система имеет единственное решение

а) Решаем матричным способом

Решаем систему с помощью формулы

 

Найдем обратную матрицу  к матрице системы по формуле

,

где – алгебраическое дополнение к элементу   матрицы А,

 – определитель матрицы  системы.

Вычислим  определитель матрицы системы (с помощью формулы треугольников)

 

 

Матрица невырожденная обратная матрица к ней существует.

Алгебраические дополнения к элементам матрицы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом, обратная матрица  будет иметь следующий вид

 

 

б) Решаем систему методом  Гаусса

Прямой ход 

Приведем  с помощью  эквивалентных преобразований  матрицу  системы к верхнетреугольному виду с единицами на главной диагонали.

 

 

Обратный ход 

 

в) решаем систему по формулам Крамера.

Определитель матрицы  системы мы уже нашли

 

Далее ищем определители для  формул Крамера

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 2

Вычислить предел функции:

а)

б)  

в) 

 

г)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 3

Найти производные указанных  функций

а) 

 

 

б)

 

 

 

Задача 4

Исследовать функцию и  построить ее график

 

Решение

1. Область определения

Функция не определена при 

 

2. Поскольку точка  – точка разрыва данной функции, исследуем поведение функции в ее окрестности.

 

 

 

Следовательно, точка  – точка разрыва II рода, и прямая   является вертикальной асимптотой графика исходной функции.

3. Проверим, является ли функция четной или нечетной

а) область определения функции не симметрична относительно начала координат– условие для четности/нечетности не выполнено.

б)  

 

Таким образом, функция не является ни четной, ни нечетной это функция общего вида

Функция является непериодической.

4. Найдем точки пересечения графика функции с осями координат.

С осью абсцисс:

 

 Точка пересечения с осью OX

 

С осью ординат:

.

 

 Точка пересечения с осью OY

 

5. Определим, есть ли наклонные асимптоты вида

 

 

Таким образом,  прямая   является горизонтальной  асимптотой.

6. Найдем точки экстремума и промежутки монотонности функции

 

 

Определим, являются ли эта стационарная точка экстремумом

 

 

 

Следовательно, является точкой минимума.

Функция возрастает при 

Функция убывает при 

 

7. Исследуем функцию  на выпуклость/вогнутость

 

 

 

 

Знаменатель дроби положителен  в области определения, знак дроби зависит от числителя

 

 

 

 

 

 – точка перегиба графика функции.

 

 

Следовательно, функция выпукла при

Функция вогнута при 

 

Задача 5

Вычислить неопределенные интегралы

а)    б)    в)

а)

 

 

б)

 

 

 

 

в)

 

Задача 6

Вычислить определенный интеграл

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

 

Задача 7

 

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями.

Решение

Найдем точки  пересечения линий

 

 

 

 

Ответ: