Ответы по высшей математике

3. Скалярное произведение  двух векторов  равно нулю тогда  и только тогда,  когда они перепендикулярны или хотя бы один из них - нулевой.

4. Скалярное произведение  двух векторов  a и b положительно тогда и только тогда, когда между ними острый угол.

5.Скалярное  произведение двух  векторов a и b отрицательно тогда и только тогда, когда между ними тупой угол. 

Векторное произведение векторов. Определения и свойства. Выражение векторного произведения в координатах.

Определение. Векторным произведением  вектора а на вектор  б называется третий вектор определяемый следующим образом:

1) длина его равна  площади параллелограмма, построенного на векторах а и б, т.е. , где ф – угол между векторами а и б;

2) вектор перпендикулярен векторам а иб;

3) векторы а ,б ,с  после приведения к общему началу образуют правую тройку векторов .

Геометрическим  смыслом векторного произведения векторов является площадь параллелограмма, построенного на векторах  а и б

Векторное произведение — это  псевдовектор, перпендикулярный плоскости, построенной по двум сомножителям, являющийся результатом бинарной операции «векторное умножение» над векторами в трёхмерном Евклидовом пространстве. Произведение не является ни коммутативным, ни ассоциативным (оно является антикоммутативным) и отличается от скалярного произведения векторов. Во многих задачах инженерии и физики нужно иметь возможность строить вектор, перпендикулярный двум имеющимся — векторное произведение предоставляет эту возможность. Векторное произведение полезно для «измерения» перпендикулярности векторов — длина векторного произведения двух векторов равна произведению их длин, если они перпендикулярны, и уменьшается до нуля, если векторы параллельны.

Векторное произведение определено только в трёхмерном и семимерном пространстве. Результат векторного произведения, как и скалярного, зависит от метрики Евклидова пространства. В отличие от скалярного произведения, векторное зависит от ориентации системы координат или, иначе, «хиральности». Для произвольного выбора ориентации системы координат, векторное произведение должно рассматриваться как псевдовектор.

Система координат на плоскости. Основные понятия.

Под системой координат  на плоскости понимают способ, позволяющий  численно описать положение точки плоскости. Одной из таких систем является прямоугольная (декартова) система координат.

Прямоугольная система координат  задается двумя взаимно перпендикулярными прямыми — осями, на каждой из которых выбрано положительное направление и задан единичный (масштабный) отрезок.

Другой  практически важной системой координат  является полярная система  координат. Полярная система координат  задается точкой О, называемой полюсом, лучом Ор, называемым полярной осью, и единичным вектором e того же направления, что и луч Ор.

Полярные  же координаты точки  М выражаются через ее декартовы координаты (тот же рисунок) такими формулами.

Переход от одной системы  координат в какую-либо другую называется преобразованием системы координат.

Основная  задача аналитической  геометрии заключается в изучении геометрических фигур с помощью соотношений между координатами точек, из которых эти фигуры образованы. Любую фигуру можно рассматривать как множество точек, удовлетворяющих некоторому геометрическому условию. Это условие можно записать в виде алгебраического уравнения, связывающего координаты  и  каждой точки фигуры. Суть метода аналитической геометрии состоит в изучении свойств фигуры с помощью соответствующего уравнения, исследуемого средствами алгебры. Этот метод позволяет устанавливать геометрические факты систематичным образом

Смешанное произведение векторов. Определение и его геометрический смысл. Его приложения.

Свойства  смешанного произведения

1. Смешанное произведение  не меняется при  циклической перестановке  его сомножителей, т. е. (а х b )•с=(b х с)•а=(с х а)•b .

Действительно, в этом случае не изменяется ни объем параллелепипеда, ни ориентация его ребер

2. Смешанное произведение  не меняется при  перемене местами  знаков вкторного и скалярного умножения, т. е. (ахb )•с=а*(bx с).

Действительно, (ахb )•с=±V и а•(b хс)=(b хс)•а=±V . Знак в правой части этих равенств берем один и тот же, так как тройки векторов а , b , с и b , с , а — одной ориентации.

Следовательно, (a хb )•с=a (b хс). Это позволяет записывать смешанное произведение векторов (а х b )с в виде abc  без знаков векторного, скалярного умножения.

3. Смешанное произведение  меняет свой знак  при перемене мест  любых вух векторов-сомножителей, т. е. abc =-acb , abc =-bac , abc =-cba .

Действительно, такая перестановка равносильна перестановке сомножителей в векторном произведении, меняющей у произведения знак.

4.Смешанное  произведение ненулевых  векторов а, b и с равно нулю огда и только тогда, когда они компланарны.

  Если abc =0 , то а, b и с— компланарны.

Допустим, что это не так. Можно было бы построить  параллелепипед с  объемом V¹ 0. Но так  как abc =±V , то получили бы, что abc¹0 . Это противоречит условию: abc =0.

Обратно, пусть векторы  а, b , с — компланарны. Тогда вектор d =ахb будет перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы а, b ,с, и следовательно, d ^с. Поэтому d •с=0, т. е. abc =0.

Иногда  смешанное произведение называют тройным скалярным произведением векторов, по всей видимости из-за того, что результатом является скаляр (точнее — псевдоскаляр).

Итак, смешанное произведение векторов равно определителю третьего порядка, составленному  из координат перемножаемых векторов. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Прямая  линия на плоскости. Основные задачи.

При систематическом  изложении геометрии прямая линия обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенным образом определяется аксиомами геометрии.

Если  основой построения геометрии служит понятие расстояния между двумя точками пространства, то прямую линию можно определить как линию, путь вдоль которой равен расстоянию между двумя точками.

Аналитически  прямая задаётся уравнением (в трёхмерном пространстве — системой уравнений) первой степени.

Через любые две несовпадающие  точки можно провести единственную прямую.

Две несовпадающие прямые на плоскости или  пересекаются в единственной точке, или являются параллельными.

В трёхмерном пространстве существуют три варианта взаимного расположения двух прямых:

прямые  пересекаются;

прямые  параллельны;

прямые  скрещиваются.

Прямая  линия — алгебраическая линия первого  порядка: в декартовой системе координат  прямая линия задается на плоскости уравнением первой степени (линейное уравнение).

Основные  понятия

Линия на плоскости рассматривается (задается) как множество  точек, обладающих некоторым только им присущим геометрическим свойством. Например, окружность радиуса R есть множество всех точек плоскости, удаленных на расстояние - R от некоторой фиксированной точки О (центра окружности).

Введение  на плоскости системы  координат позволяет определять положение точки плоскости заданием двух чисел — ее координат, а положение линии на плоскости определять с помощью уравнения (т. е. равенства, связывающего координаты точек линии).

Линию на плоскости можно  задать векторным уравнением r=r(t), где t — скалярный переменный параметр. Каждому значению t0 соответствует определенный вектор r=r(t) плоскости. При изменении параметра t конец вектора r=r(t)  опишет некоторую линию.

Линии второго порядка  на плоскости (Окружность, эллипс, гипербола, Парабола).

Коэффициенты  уравнения — действительные числа, но по крайней мере одно из чисел А, В или С отлично от нуля. Такие линии называются линиями (кривыми) второго порядка. Ниже будет установлено, что уравнение (11.1) определяет на плоскости окружность, эллипс, гиперболу или параболу. Прежде, чем переходить к этому утверждению, изучим свойства перечисленных кривых.

Простейшей  кривой второго порядка  является окружность. Напомним, что окружностью радиуса R с центром в точке  называется множество всех точек Μ плоскости, удовлетворяющих условию . .

Эллипсом  называется множество  всех точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых  до двух данных точек  этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между  фокусами.

Эллипс  — кривая второго  порядка.

Гиперболой  называется множество  всех точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами. Параболой называется множество всех точек плоскости, каждая из которых одинаково удалена от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой. Расстояние от фокуса F до директрисы называется параметром параболы и обозначается через p (p > 0).

Плоскость. Основные задачи.

Пло́скость — одно из основных понятий геометрии. При систематическом изложении геометрии понятие плоскости обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенным образом определяется аксиомами геометрии.

Плоскость — поверхность, содержащая полностью каждую прямую, соединяющую любые её точки;

Плоскость — множество точек, равноотстоящих от двух заданных точек.

Две плоскости являются либо параллельными либо пересекаются по прямой.

Прямая  либо параллельна  плоскости, либо пересекает ее в одной точке  или же находится  на плоскости.

Две прямые, перпендикулярные одной и той  же плоскости параллельны  друг другу.

Две плоскости перпендикулярные одной и той  же прямой параллельны  друг другу.

Аналогично  отрезку и интервалу, плоскость, не включающую крайние точки, можно назвать интервальной плоскостью или открытой плоскостью. 

Уравнение плоскости в пространстве.

Плоскость - поверхность, имеющая  два измерения. Для  того, чтобы составить уравнение плоскости достаточно знать 3 точки, принадлжещащие плоскости.

Уравнения плоскости в пространстве

Любое уравнение, связывающее  координаты x, y, z любой точки поверхности является уравнением этой поверхности.

Уравнение плоскости, проходящей через три точки.

Для того, чтобы через три какие- либо точки пространства можно было провести единственную плоскость, необходимо, чтобы эти точки не лежали на одной прямой.

Рассмотрим  точки М1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), M3(x3, y3, z3) в общей декартовой системе координат.

Для того, чтобы произвольная точка М(x, y, z) лежала в одной плоскости с точками М1, М2, М3 необходимо, чтобы векторы были компланарны.

( ) = 0

Таким образом,

Уравнение плоскости, проходящей через три точки:

Уравнение плоскости по двум точкам и вектору, коллинеарному плоскости.

Пусть заданы точки М1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2) и вектор .

Составим  уравнение плоскости, проходящей через данные точки М1 и М2 и произвольную точку М(х, у, z) параллельно вектору .

Векторы и вектор должны быть компланарны, т.е.

( ) = 0

Уравнение плоскости:

Уравнение плоскости по одной  точке и двум векторам,

коллинеарным плоскости.

Пусть заданы два вектора  и , коллинеарные плоскости. Тогда для произвольной точки М(х, у, z), принадлежащей плоскости, векторы должны быть компланарны.

Уравнение плоскости:

Уравнение плоскости по точке  и вектору нормали.