Непрерывные дроби

      Теорема Дирихле.  Пусть  и – действительные числа; существует несократимая дробь , для которой ,

      (или:  существует такая пара взаимно  простых целых чисел a и b, что , ).

      Д о к а з а т е л ь с т в о: Теорему легко доказать с помощью аппарата непрерывных дробей.

      Пусть подходящая дробь числа ; выберем наибольший из знаменателей , не превышающий , то есть наибольшее k, чтобы и положим = . Рассмотрим два случая:

1. не является последним знаменателем, то есть существует такое, что < . Тогда при a= и b= имеем:

      

      2) – знаменатель последней подходящей дроби разложения , то есть = . Тогда при a= , b= , имеем:

       .

      Теорема доказана.

      Сам Дирихле дал другое доказательство, использовав в нем принцип, который носит теперь имя Дирихле: при распределении N объектов между N-1 ящиками хотя бы в одном ящике должно находиться 2 объекта. Приведем это доказательство.

      Пусть , рассмотрим совокупность t+2 чисел, состоящую из 1 и значений дробных частей для x=0, 1, …, t (причем = - , ). Очевидно, каждое из чисел этой совокупности принадлежит точно одному из t+1 промежутков , , …, , из которых первые t являются полусегментами, а последний сегментом. 

      ———— ———— ———— —————————————— ———— ——

      0                    1

      Так как чисел у нас t+2, то (согласно принципу Дирихле) обязательно найдется такой промежуток, который содержит 2 числа из совокупности и 1. Разность этих двух чисел не превосходит длину содержащего их промежутка, то есть .

1. Если такими числами являются и , то . Пусть и , . Так как , то , ).
2. Если и 1 принадлежат одному промежутку, то

      

      Пусть в таком случае , . Очевидно, и здесь , так что , ).

      Теорема доказана.

      Рассмотрим  пример применения теоремы Дирихле.

      Найти рациональное приближение  к с точностью до .

      Решение: Разложим в непрерывную дробь.

       =2  -2<1.

      

      

      

      

      …

       =(2, 4, 4, 4, …)=(2,(4)). 

      Находим подходящие дроби: 

    

      Наибольший  знаменатель, меньший чем 100, при =305. Искомая дробь равна ; .

      2.4. Подходящие дроби как наилучшие приближения

      Приближение подходящей дробью дает большую точность при значительно меньшем знаменателе, чем приближение десятичной дробью. Покажем это.

      Округляя  десятичное выражение действительного  до n–го знака после запятой, мы тем самым представляем приближенно дробью со знаменателем , причем погрешность , если же подходящая дробь к , то , так что при сколько-нибудь значительном q величина во много раз меньше, чем .

      Пример: Десятичное выражение числа  в виде рациональной дроби со знаменателем имеет вид . Если же разложить в непрерывную дробь, получается =(3, 7, 15, …);

      Наибольшей  подходящей дробью для со знаменателем является число , известное уже Архимеду, причем . Итак, мы получили, что приближение подходящей дробью дает большую точность, чем приближение десятичной дробью.

      Это объясняется тем, что знаменатели  подходящих дробей определяются арифметической природой изображаемого числа, а  знаменатели же приближающих десятичных дробей не могут быть иными, как только .

      Теорема. Если рациональное число  ближе к действительному числу , чем его подходящая дробь , где k>1, то , то есть если , то .

      Д о к а з а т е л ь с т в о: Рассмотрим случай, когда (иначе теряет смысл). Тогда всегда лежит между любыми двумя последующими подходящими дробями так, что для k>1 всегда лежит между и , причем ближе к , чем к . Поэтому, если ближе к , чем , то оно находится между и . В случае четного можно записать < < (в случае нечетного k доказательство существенно не меняется), откуда , или , , откуда, помножая неравенство на , получаем . Так как – число целое и положительное, то из предыдущего равенства следует , что и требовалось доказать.

      Попутно мы установили, что любая рациональная дробь  , принадлежащая интервалу , k>1, имеет знаменатель . Для k=1 теорема неверна:

        может оказаться ближе к , чем его подходящая дробь , хотя .

      Доказанная  теорема приводит нас к следующему определению:

      Рациональную  дробь  называют наилучшим приближением действительного , если любая более близкая к рациональная дробь имеет больший знаменатель, чем , то есть если из следует d>b.

      Таким образом, подходящие дроби являются наилучшими приближениями, например, Архимедово число  для является наилучшим приближением.

      Ранее мы доказали, что для оценки погрешности  , возникающей при замене любого действительного его подходящей дробью , можно пользоваться неравенством . Выразим этот результат по отношению к действительному иррациональному , имеющим бесконечное множество подходящих дробей, следующим образом: для любого действительного иррационального существует при c=1 бесконечное множество несократимых дробей таких, что (1).

      Такими  дробями являются, например, все  подходящие дроби для   .

      Возникает вопрос: При каких меньших значениях  c (чем c=1) существует для любого действительного иррационального бесконечное множество (несократимых) рациональных приближений , погрешность которых .

      Теорема. Для любого действительного иррационального  числа  существует при бесконечное множество несократимых рациональных дробей таких, что ( ). Такими рациональными дробями могут быть только подходящие дроби к .

      Д о к а з а т е л ь с т в о: Докажем первую часть теоремы. Рассмотрим две последующие подходящие дроби к и . Допустим, что ни одна из этих дробей не удовлетворяет неравенству ( ). Тогда имеем: , . Отсюда .

      Но  так как  лежит между и , то , вследствие чего , или , а это для k>1 невозможно. Мы пришли к противоречию, значит наше допущение неверно, а верно то, что требуется доказать.

      Для доказательства второй части теоремы  докажем достаточный признак  подходящей дроби к действительному  числу  : если , где Q>0, несократимая дробь и для действительного имеет место неравенство ( ), то является подходящей дробью к .

      Доказательство: Покажем, что если =( )= ( удовлетворяет условию теоремы) подходящая дробь к , то соответствующее остаточное число разложения данного в непрерывную дробь окажется >1. Действительно, , откуда следует , так как .

      Теорема доказана полностью.

      Достаточный признак подходящей дроби не является ее необходимым признаком; могут  существовать подходящие дроби для , которые ему не удовлетворяют.

      Крайнюю возможность уменьшения c в указанном раньше смысле выражает теорема Гурвица-Бореля:

      Теорема. Для любого действительного иррационального  числа  существует при бесконечное множество несократимых рациональных дробей таких, что выполняется неравенство (1), то есть неравенство

       , ( )

      если  же , то существуют такие действительные иррациональные , для которых неравенство (1) имеет не более конечного числа рациональных решений .

      Д о к а з а т е л ь с т в о: Докажем первую часть. Разложим в непрерывную дробь. Мы докажем, что из трех любых соседних подходящих дробей , i=k, k+1, k+2 по крайней мере одна удовлетворяет условию . Доказательство этого утверждения будем вести методом от противного. Предположим, что для каких-либо трех соседних подходящих дробей выполняются неравенства: 

       , ,   (2)

        и  расположены по разные стороны от и поэтому при нечетном k из (2) следует

       ,

      а при четном: , так что и в том, и в другом случае имеем:

      , или, умножая на  и перенося все члены в одну сторону , то есть , , или, поскольку и целые, .  (3)

      Так как  и также расположены по разные стороны от , из (2) аналогично получаем: .  (4)

      Пользуясь еще тем, что  из (3) и (4) получаем:

       .

      Предположение, что выполнены все три неравенства (2), привело нас к противоречию, поэтому по крайней мере для одной из трех подходящих дробей , , , взятой в качестве , должно выполняться неравенство ( ).

      Придавая  k различные значения, получим бесконечное множество дробей, удовлетворяющих неравенству ( ).

      Докажем вторую часть.

      Предположим, что при , неравенство (1) удовлетворяется для бесконечного множества рациональных чисел . Тогда для каждой такой дроби неравенства , откуда, подставляя значение , получаем , а возводя в квадрат, получаем: . Так как , то при достаточно большом Q будем иметь: и, следовательно, целое число , = , что при целых P и Q не может иметь места. Полученное противоречие показывает, что неравенство (1) может иметь место только для конечного числа рациональных чисел . 

      Эта теорема была опубликована Гурвицем в 1891 году. Тот факт, что из трех соседних подходящих дробей по крайней мере одна даст приближение вида , был доказан Борелем в 1903 году.

      Последним теоремам можно дать и другое очень  важное истолкование.

      Рассмотрим  для этого уравнение  , где – любое действительное иррациональное число. Исключая тривиальное решение x=y=0, это уравнение не может иметь решение в целых числах. Однако можно поставить задачу о приближенном его решении в целых числах, то есть о нахождении таких пар чисел x(x>0) и y, чтобы:

        или  .

      Теорема Гурвица-Бореля показывает, что для всегда существует бесконечное множество таких пар; если же , то существуют такие действительные числа, для которых таких пар имеется лишь конечное множество.

      Новая точка зрения получает в содружестве  с методом Дирихле весьма значительное применение в теории диофантовых приближений.

      2.5. Квадратические иррациональности и периодические непрерывные дроби

 

      Рациональные  числа представляют собой корни  уравнений первой степени вида с целыми коэффициентами.