Подходящие  дроби ( ) равны соответственно ; ; ; ; ; ; ; .

      Практически нахождение неполных частных и подходящих дробей удобно объединить в одну краткую  схему, которую приведем для  =(2, 3, 1, 4, 2)

                           

                               .

      А сейчас рассмотрим ряд свойств подходящих дробей.

      Теорема 1. При k=1, 2, …, n выполняется равенство

      Д о к а з а т е л ь с т в о: Проведем индукцию по k:

      При k=1 равенство справедливо, так как .

      Пусть это равенство верно при некотором k=n ( ).

      Докажем справедливость равенства при k=n+1.

      

      

      , то есть равенство верно при  k=n+1.

      Согласно  принципу полной математической индукции равенство верно для всех k( ). 

      Теорема 2 Числитель и знаменатель любой подходящей дроби – взаимно простые числа, то есть всякая k–подходящая дробь несократима.

      Д о к а з а т е л ь с т в о. Докажем это свойство методом от противного. По предыдущему свойству имеем .

      Пусть , то есть , тогда из равенства следует, что делится на без остатка, что невозможно. Значит, наше допущение неверно, а верно то, что требовалось доказать, то есть . 

      Теорема 3.  При

1. ( )
2. ( )

      Д о к а з а т е л ь с т в о: Первое соотношение можно получить из равенства , доказанного выше, путем деления обеих частей на . Получаем   

       , что и требовалось доказать.

      Докажем второе соотношение.

      

       . 

      Теорема 4. Знаменатели подходящих дробей к непрерывной дроби, начиная с первого, образуют монотонно возрастающую последовательность, то есть 1= .

      Д о к а з а т е л ь с т в о: , , так что и положительны.

      Соотношение ( ) (*) показывает, что и все следующие знаменатели , , …, положительны. При , поскольку тогда , из (*) получаем

       , что и требовалось доказать. 

      Теорема 5. Нечетные подходящие дроби образуют возрастающую, а четные подходящие дроби – убывающую последовательность:

       ;

       .

      Две подходящие дроби  и , у которых номер отличается на единицу, будем называть соседними. 

      Теорема 6. Из двух соседних подходящих дробей четная дробь всегда больше нечетной.

      Д о к а з а т е л ь с т в о: По уже доказанному выше свойству имеем:

       .

      Если  k – четное, то

      

      Если  k – нечетное, то

      

      Значит, из двух соседних дробей и четная всегда больше нечетной, что и требовалось доказать. 

      Теорема 7. Расстояние между двумя соседними подходящими дробями .

      Д о к а з а т е л ь с т в о: Так как , то , что и требовалось доказать.

                                    1.2.  Бесконечные непрерывные дроби

        Представление действительных  иррациональных чисел  правильными бесконечными непрерывными дробями

        Разложение действительного  иррационального  числа в правильную бесконечную непрерывную дробь

      В предыдущей главе мы рассмотрели, как  в процессе последовательного выделения  целой части и перевертывания дробной рациональная дробь  разлагается в конечную непрерывную дробь.

           =( )  (1)

      

      и, наоборот, свертывание такой непрерывной  дроби приводит к рациональной дроби.

      Процесс выделения целой части и перевертывания дробной можно применить к  любому действительному числу.

      Для иррационального числа  указанный процесс должен быть бесконечным, так как конечная непрерывная дробь равна рациональному числу.

      Выражение    (где , ) (2)

      возникающее в таком процессе или заданное формально, мы будем называть правильной бесконечной, непрерывной или цепной дробью, или дробью бесконечной длины и обозначать кратко через ( ), а числа – ее элементами или неполными частными.

      Отметим, что разложение возможно только в единственном виде, так как процесс выделения целой части – процесс однозначный.

      Рассмотрим  пример разложения иррационального  числа  .

      Пусть . Выделим из его целую часть. =3, а дробную часть –3, которая меньше 1, представим в виде , где .

      Повторяя  операцию выделения целой части  и перевертывания дробной, мы получаем:

       ;

       ;

       .

      Если  остановиться на этом шаге, то можно  записать:

      

      С другой стороны, из формулы для видно, что =3+ . Поэтому , вследствие чего, начиная с этого момента, неполные частные станут повторяться.

      Бесконечная непрерывная дробь, в которой  определенная последовательность неполных частных, начиная с некоторого места, периодически повторяется, называется периодической непрерывной дробью.

      Если, в частности, периодическое повторение начинается с первого звена, то непрерывную дробь называется чисто периодической, в противном случае – смешанной периодической.

      Чисто периодическая дробь  записывается в виде , а смешанная периодическая в виде .

      Итак, разлагается в смешанную периодическую дробь (3, 3, 6, 3, 6, …) или (3, (3, 6)).

      В общем случае разложения действительного  иррационального числа  поступаем так же, как в примере. Останавливаясь при этом в процессе выделения целой части после k–го шага, будем иметь:

        

      так что 

      

      

       .

      Числа называются остаточными числами порядка k разложения . В формуле (4) имеем кусок разложения до остаточного числа .

      Для бесконечной непрерывной дроби (2) можно построить бесконечную последовательность конечных непрерывных дробей.

      

      Эти дроби называют подходящими дробями. Закон образования соответствующих им простых дробей будет такой же, как и для подходящих дробей в случае конечных непрерывных дробей, так как этот закон зависит только от неполных частных и совершенно не зависит от того, является ли последним элементом или за ним следует еще элемент . Поэтому для них сохранятся также остальные свойства, которые выводятся из закона образования числителей и знаменателей подходящих дробей.

      В частности, мы имеем:

1. , причем ;
2. , откуда следует несократимость подходящих дробей ;
3. .

      Сравним теперь подходящую дробь  и кусок разложения до остаточного числа . Имеем

                            

                                ,

      откуда  видно, что вычисление по формально производится таким же образом, как вычисление по с тем лишь отличием, что в первом случае заменяется на , а во втором заменяется на . Поэтому на основании формулы можно сделать вывод о справедливости следующего важного соотношения

       . (5)

      По  этой причине мы пишем также  , хотя не является здесь целым положительным числом.

      При помощи формулы (5) можно вывести  следующую теорему и расположении подходящих дробей разложения . 

      Теорема. Действительное число всегда находится между двумя соседними подходящими дробями своего разложения, причем оно ближе к последующей, чем к предыдущей подходящей дроби.

      Д о к а з а т е л ь с т в о: Из формулы (5) следует

      

      Но  , , так что

1. ( ) и ( ) имеют одинаковый знак, а это значит, что находится между и ;
2. , то есть ближе к , чем к .

        Так как  , то , и так далее; отсюда приходим к следующему заключению о взаимном расположении подходящих дробей:

1. больше всех подходящих дробей нечетного порядка и меньше всех подходящих дробей четного порядка;
2. подходящие дроби нечетного порядка образуют возрастающую последовательность, а четного порядка – убывающую (в случае иррационального указанные последовательности являются бесконечными), то есть

      

      (в  случае рационального ). 

      ———— —— ———— —— ——— ————

               

      Учитывая  то, что при  , вследствие чего , переходим к дальнейшему выводу, что в случае иррационального сегменты , , … образуют стягивающуюся последовательность, которая, как известно, должна иметь единственную общую точку, являющуюся общим пределом последовательностей , , … и , , … . Но так как принадлежит всем сегментам последовательности, то и совпадает с указанной точкой, так что .

      Итак, мы имеем следующий важный результат:

      бесконечная последовательность подходящих дробей , которая возникает при разложении иррационального , сходится к , колеблясь около него. Или: иррациональное действительное равно пределу последовательности подходящих дробей своего разложения в бесконечную непрерывную дробь (процессом выделения целой части).

      1.3. Сходимость правильных бесконечных непрерывных дробей

      Теперь  покажем, что сходящейся является последовательность подходящих дробей не только такой  бесконечной непрерывной дроби, которая возникает при разложении иррационального числа  , но и любой бесконечной непрерывной дроби , где , а - произвольно выбранные целые положительные числа.

      Но  для этого мы заново исследуем  взаимное расположение подходящих дробей.

      С этой целью рассмотрим формулы:

       (1)    и   (2),

      которые справедливы для любой бесконечной  непрерывной дроби.

1. Формула (1) показывает, что любая подходящая дробь четного порядка больше двух соседних подходящих дробей, у которых порядок на единицу меньше или больше, чем у нее, то есть и . Согласно этому и расположены слева от , и – слева от и так далее.
2. Формула (2) показывает, что расстояние между соседними подходящими дробями при увеличении k убывает. Действительно, так как , то

      

3. Согласно  этому свойству ближе к , чем , а так как и находятся слева от , то < .

      ———— ——— ——— ——— ————