Непрерывная и дискретная свертки

      МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ 

НОВОСИБИРСКИЙ  ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  ТЕХНИЧЕСКИЙ   
УНИВЕРСИТЕТ 

ФАКУЛЬТЕТ  АВТОМАТИКИ  И  ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ  ТЕХНИКИ 

Кафедра  Систем Сбора и Обработки Данных 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

ЛАБОРАТОРНАЯ  РАБОТА  № 5 

НЕПРЕРЫВНАЯ И ДИСКРЕТНАЯ СВЕРТКИ 
 
 
 
 
 
 
 

Группа: АТ-83          Преподаватель: доц. Щетинин Ю.И.

Студент: Кнаус  О.А. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    Новосибирск

     2010 
 

       Цель  работы:  Изучение понятия и свойств непрерывной и дискретной свертки, приобретение практических навыков вычисления свертки  в среде Matlab. 

1. Свертка двух непрерывных  по времени сигналов                  
   Численное вычисление непрерывной свертки может быть аппроксимировано конечной суммой вида 
                      ,

где  - интервал (шаг) дискретизации 

Последовательность  комманд для построения графиков: 

% Численное вычисление  непрерывной свертки 

T=0.1; % шаг дискретизации  

a=5;

i=0:50;

x1=exp(-a*i*T); % сигнал x1

x2=rectpuls(i-10,20); % сигнал  x2

n1=length(x1);

n2=length(x2);

figure(2),subplot(411)

set(gca, 'FontName','Times New Roman Cyr', 'FontSize', 10)

plot(i*T,x1)

set(gca, 'FontName','Times New Roman Cyr', 'FontSize', 10)

title('Сигнал x1')

subplot(412),  plot(i*T,x2)

set(gca, 'FontName','Times New Roman Cyr', 'FontSize', 10)

title('Сигнал x2')

k1=1:n1+n2-1;

% вычисление  свертки

for  n=1:n1+n2-1,

   y(n)=0;

   for k=max(1,n+1-n1):min(n,n2),

      y(n)=y(n)+sum(x1(n+1-k)*x2(k));

   end

y(n)=y(n)*T;  

end

% график свертки сигналов

subplot(413), plot(k1*T,y)

set(gca, 'FontName','Times New Roman Cyr', 'FontSize', 10)

title('Свёртка сигналов x1 и x2')

 

% вычисление свертки  с помощью функции  conv()

subplot(414), plot(k1*T,T*convn(x1,x2))

set(gca, 'FontName','Times New Roman Cyr', 'FontSize', 10)

title('Свёртка с помощью функции convn()') 
 
 
 
 
 

Рис.1. Графики сигналов и их свертки, вычисленной  численным методом  и при помощи

функции convn(). 

    Свертка сигналов, выполненная численным методом совпадает со сверткой, вычисленной при помощи встроенной функции convn(). 
 

2.   Свертка двух непрерывных  по времени сигналов:

 

 

Последовательность  комманд для построения графиков: 

clear();

% Численное вычисление  непрерывной свертки 

T=0.1; % шаг дискретизации  

t=0:0.1:2;

x1=exp(t./2)-1; % сигнал x1

x2=exp(-2.*t); % сигнал  x2

n1=length(x1);

n2=length(x2);

figure(2),subplot(411),  plot(t,x1)

set(gca, 'FontName','Times New Roman Cyr', 'FontSize', 10)

title('Сигнал x1')

subplot(412),  plot(t,x2)

set(gca, 'FontName','Times New Roman Cyr', 'FontSize', 10)

title('Сигнал x2')

k1=1:n1+n2-1;

% вычисление  свертки

for  n=1:n1+n2-1,

   y(n)=0;

   for k=max(1,n+1-n1):min(n,n2),

      y(n)=y(n)+sum(x1(n+1-k)*x2(k));

   end

y(n)=y(n)*T;  

end

% график свертки сигналов

subplot(413), plot(k1.*T,y)

set(gca, 'FontName','Times New Roman Cyr', 'FontSize', 10)

title('Свёртка сигналов x1 и x2')

% вычисление свертки  с помощью функции  convn()

subplot(414), plot(k1.*T,T*convn(x1,x2))

set(gca, 'FontName','Times New Roman Cyr', 'FontSize', 10)

title('График свёртки с помощью conv()')

Рис.2. Сигналы

и их свертка 
 

3.   Функция sqgen(L,T)

Генерирует прямоугольную последовательность импульсов длиной L отсчетов, периодом T отсчетов. 

function G=sqgen(L,T)

T=10; L=50

n=0:1:L;

G = square(T*n/16);

stem(n,G);

Рис. 3. Прямоугольная  волна. 

4. Вычисление  свертки сигналов delta1=[1] и sqgen(50, 10).

 

Последовательность  комманд для построения графиков:

delta1=[1];

s=sqgen(50,10);

c=conv(delta1,s);

subplot(311), stem(delta1);

set(gca, 'FontName','Times New Roman Cyr', 'FontSize', 10)

title ('delta1=[1]')

axis([0, 2, 0, 1.5])

subplot(312), stem(s);

set(gca, 'FontName','Times New Roman Cyr', 'FontSize', 10)

title ('Прямоугольная волна')

axis([0, 55, -1.5, 1.5])

subplot(313), stem(c);

set(gca, 'FontName','Times New Roman Cyr', 'FontSize', 10)

title ('Свёртка delta1=[1] и прямоугольной волны')

axis([0, 55, -1.5, 1.5]) 

Рис.4. Функции delta=[1], sqgen(50, 10) и их свертка 
 

5.   Вычисление свертки  сигналов delta2=[1 zeros(1,9)] и sqgen(50, 10).

 

Последовательность комманд для построения графиков: 

delta2=[1 zeros(1,9)];

s=sqgen(50, 10);

c=conv(delta2,s);

subplot(311)

stem(delta2);

set(gca, 'FontName','Times New Roman Cyr', 'FontSize', 10)

 

title ('Функция delta2')

axis([1,10,0,1.5])

subplot(312)

stem(s);

set(gca, 'FontName','Times New Roman Cyr', 'FontSize', 10)

title ('Прямоугольная волна')

axis([0,60,-1.5,1.5])

subplot(313), stem(c);

set(gca, 'FontName','Times New Roman Cyr', 'FontSize', 10)

title ('Свёртка')

axis([0,60,-1.5,1.5])

рис.5. Сигналы delta2=[1 zeros(1,9)] и s=sqgen(50, 10); их свертка 

Свертка любой  последовательности и единичной  функции имеет вид , период свертки при этом равен отсчетам.

Видим, что период свертки изменился: 50+10-1=59.  При этом 50 первых отсчётов повторяют сигнал, а остальные нулевые. 

6.   Создание плоского импульса с помощью команды  h1=[ones(1,3)].

Вычисление свертки h1 и sqgen(50, 10)