Цепные дроби

Содержание:

Введение

В вычислительной практике действительные числа заменяют рациональными, при этом рациональное число выбирают максимально простым в виде десятичной дроби с небольшим числом знаков после запятой или обыкновенной с небольшим знаменателем. В вопросах приближённого представления действительных чисел рациональными дробями большое значение имеет аппарат непрерывных (цепных) дробей.

Бесконечной цепной, или непрерывной, дробью общего вида называют разложение                    

где и могут принимать произвольные, отличные от нуля рациональные значения, может быть равно нулю. Если в данной дроби все , (), то дробь будет называться правильной цепной дробью.

Также различают ветвящиеся цепные дроби:

Дроби такого вида широко применяются во многих вопросах вычислительной математики.

В своей основе вопросы теории цепных дробей доступны учащимся основной школы. Её алгоритмы основаны на применении алгоритма Евклида, выделения целой части числа. Её задачи связаны с аппроксимацией действительных чисел и опираются на теорию рациональных и действительных чисел.

Цель данной работы – изучить цепные дроби общего вида, рассмотреть возможные способы аппроксимации действительных чисел рациональными дробями и выбрать оптимальный, дающий наилучшие приближения.

Задачи: 

1.      рассмотреть вопросы истории, касающиеся появления и развития цепных дробей, а также их приложений;

2.      овладеть алгоритмами нахождения подходящих дробей для действительных чисел;

3.      изучить основные свойства подходящих дробей цепной дроби;

4.      рассмотреть различные способы оценки погрешности, возникающие при аппроксимации действительных чисел рациональными дробями;

5.      выбрать наилучшие способы аппроксимации действительных чисел;

6.      подобрать примеры для иллюстрации теоретических положений.

Этапы исследования:

1.             2003-2004 Курсовая работа: «Приближение действительных чисел цепными (непрерывными) дробями»

2.             2004-2005 Курсовая работа: «Систематические цепные дроби как аппарат представления действительных чисел в школе»

3.             2005-2006 Выпускная квалификационная работа «Аппроксимация действительных чисел рациональными дробями».

Опытная проверка разработанного факультатива была проведена в 8-ом классе лицея им. М.В.Ломоносова г. Йошкар-Ола в 2004-2005 учебном году. Данный курс подтвердили интерес учащихся к данной теме, хорошее усвоение теории и успешность её применения к решению задач. По результатам апробации была опубликована статья «Изучение цепных дробей на факультативных занятиях по математике» [18]. Результаты исследований докладывались на научной студенческой конференции в 2005, 2006 году.

Работа состоит из введения, трёх глав и заключения. Первая глава содержит вопросы истории появления и развития цепных дробей, в ней также рассматривается применение непрерывных дробей в теории чисел и аналитической теории, а также  их приложения в других областях науки. Во вторую главу включены элементы теории цепных дробей: представление действительных чисел правильными цепными дробями, приближения действительных чисел подходящими дробями, оценка погрешности при замене действительного числа рациональной дробью. В третьей главе показывается, что подходящие дроби являются наилучшими приближениями действительного числа.

Ссылки в работе, отмеченные квадратными скобками, указывают на источник под соответствующим номером в списке литературы, а ссылки, отмеченные круглыми скобками, относятся к материалу данной работы.

14

1. История развития цепных дробей и их приложения

1.1   История появления и развития цепных дробей

По некоторым сведениям цепные дроби применялись уже математиками Древней Греции. Например, алгоритм Евклида (III в. до н.э.) тесно связан с цепными дробями. Возможно, что при нахождении приближения к числу Архимед (ок. 287-212 до н.э.) пользовался методом, близкому к разложению в цепную дробь.

В 1858 году был найден в курортном городке на Ниле древний папирус, его называют также Папирусом Ахмеса по имени писца, переписавшего его в 1650 году до н. э. Если Архимед жил в III веке до нашей эры, то папирус Ринда относится, как минимум, к XVII; ведь Ахмес был только переписчиком, а автор (или, скорее, авторы этого труда) неизвестен, но он жил еще раньше. В папирусе Ринда содержится удивительная формула для вычисления площади круга: , где S -площадь, а D – диаметр круга. Формула дана в виде рецепта: «Возьми диаметр круга и отбрось его девятую долю; на остающемся построй квадрат». Здесь используются наилучшие рациональные приближения. Трудно сказать, однако, как египтяне нашли этот коэффициент. Его могли найти и просто подбором – что абсолютно исключено в случае приближений , найденных Архимедом.

Известно, что китайский астроном Цзу Чун-чжи (V в. н.э.) показал, что π заключено между 3,1415926 и 3,1415927. он указал в качестве рационального приближения к π величину .

Из средневековых математиков близко подошёл к цепным дробям Омар Хайям (ок. 1048-1122). Он положил их в основу своей идеи реформы календаря. Продолжительность года по его приближениям составляла суток и составляла погрешность всего 19 секунд в год [4].             

Но впервые цепные дроби как таковые появляются в «Алгебре» итальянского математика Рафаэль Бомбелли (1526-1572), вышедший в 1572 г. в статье, написанной в то время, когда в Италии и Франции впервые появились алгебраические понятия и обозначения. Бомбелли пришёл к цепным дробям, изучая извлечение квадратного корня из чисел. Первым известным использованием непрерывной дроби является приближённое выражение для следующего вида [17]. Это частный случай формулы .

Следующее по времени применение цепной дроби, причём опять-таки к извлечению квадратных корней принадлежит итальянскому математику Пьетро Антонио Катальди (1552-1626), им был предложен второй частный случай данной формулы:  .  В 1613 г. он ввёл при записи цепной дроби повторное применение дробной черты, т.е. уже настоящее обозначение цепной дроби, только вместо + он употреблял перлюэт (&), т.е. сокращённое обозначение латинского союза et (и). И его запись разложения выглядела следующим образом: =4&&… Кроме разложения иррационального числа в ряд Катальди ещё и нашёл приближения этого числа: и , между которыми заключён (хотя он не знал способа последовательного вычисления подходящих дробей). При этом Катальди заметил, что значение цепной дроби всегда заключено между соседними подходящими дробями.

Катальди и Бомбелли пришли к цепным дробям, исходя из извлечения квадратного корня из чисел, а Даниель Швентер (1585-1636), немецкий математик, пришёл к цепным дробям путём приближённого представления обыкновенных дробей с большими числителями и знаменателями. Он раскладывал обыкновенную  дробь в цепную, используя таблицу, с помощью весьма интересного способа [25]. Таким образом, он нашёл рекуррентные соотношения для последовательного вычисления числителей и знаменателей подходящих дробей.  Но при этом Швентер рассматривал только правильные дроби – дроби, числители которых все равны единице, а все знаменатели являются натуральными числами.

В середине XVII века английский математик Джон Валлис (1616-1703) первым по времени разложил трансцендентное число в бесконечное произведение:  …, а У. Броункер (1620-1686), первый президент Королевского общества, около 1659 г. без доказательства опубликовал разложение его в цепную дробь: .

Следующий шаг в развитии теории цепных дробей был сделан Христианом Гюйгенсом (1629-1695). Он строил модель солнечной системы с помощью набора зубчатых колес. По расчетам оказалось, что отношение числа зубцов    двух каких-либо колёс должно быть равным отношению времён обращения двух планет вокруг Солнца. Это отношение выражается достаточно точно в виде (несократимой) дроби с большим числителем и большим знаменателем. Изготовление же таких зубчатых колёс, практически очень сложно. Тогда Гюйгенс нашёл среди дробей  с меньшим числителем и меньшим знаменателем подходящую дробь к числу [16]. Как и Швентер, Гюйгенс решил эту задачу посредством разложения обыкновенной дроби в цепную дробь и поэтому ограничился рассмотрением правильных цепных дробей. Благодаря чему была найдена подходящая дробь , аппроксимирующая дробь с большими числителем и знаменателем, и имеющая погрешность, которая составляет лишь десятитысячную долю от единицы. Гюйгенс обратил внимание на то, что нельзя найти обыкновенную дробь с меньшими числителем и знаменателем, чем подходящая, которая была бы ближе к значению цепной дроби; а также, что подходящие дроби попеременно то больше, то меньше значения цепной дроби.

              Можно сказать, что цепными дробями занимались от случая к случаю, и первым, кто систематизировал знания о цепных дробях и изложил полную их теорию, насколько это было возможно сделать в ту эпоху, был Леонард Эйлер (1707-1783). Он опубликовал свою первую работу в 1744 г., в которой рассматривал цепную дробь общего вида и впервые появляются соответствующие цепные дроби. Следует заметить, что сам термин «цепная дробь» появился лишь в XVIII веке, а до этого времени использовалось понятие «непрерывная дробь». Вторая работа Эйлера, вышедшая в 1750 г., фактически являлась её продолжением, в ней рассматривались вопросы о применении цепных дробей для решения дифференциальных уравнений, алгоритм нахождения подходящих дробей, преобразование числовых рядов в равноценные цепные дроби, представление иррациональных чисел в цепные дроби и нахождение для некоторых из них подходящих дробей. Из его работ стало ясно, что непрерывные дроби могут применяться как в теории чисел, так и в анализе. Эйлеру также принадлежат и многие другие работы, связанные с изучением и применением цепных дробей.

1.2   Применение цепных дробей в  теории чисел

Задачами, относящимися к теории чисел, являются разложения действительных чисел в правильные непрерывные дроби и аппроксимации действительных чисел с помощью цепных (непрерывных) дробей. Здесь наиболее важным является вопрос о степени приближения, которое обеспечивает n-я подходящая дробь и об оценке погрешности при замене действительного числа подходящей дробью.

Большой вклад в теорию правильных непрерывных дробей внёс Жозеф Луи Лагранж (1736-1813), доказавший, что квадратичные иррациональности есть именно те числа, которые имеют периодические разложения (начиная с некоторого n) [8]. Им предложено неравенство, оценивающее погрешность при замене действительного числа его подходящей дробью, а также решение уравнения Пелля, где и - иррациональное число [14, Гл.6, §4, С. 196] в виде пары {Pn(), Qn()} для некоторых значений n. Законченное решение этой задачи дал Адриен Мари Лежандр (1752-1833); частные решения были уже получены Эйлером (уравнение Пелля интересно, в частности, тем, что может быть использовано при решении задач аддитивной теории чисел, таких, как, например: «каждое простое число вида 4n+1 является суммой двух квадратов». – Такой результат сформулировал Пьер Ферма (1601-1665) и впервые доказал Эйлер. Доказательство же, основанное на непрерывных дробях, дал Карл Фридрих Гаусс (1777-1855)).

Эварист Галуа (1811-1832) в своей первой опубликованной работе исследовал некоторые периодические правильные непрерывные дроби. Он дал определение двойственных периодических правильных непрерывных дробей [5, Гл.3, 3.3, С.71].