Непрерывные случайные величины

Тема 10  

Непрерывные случайные величины.

Случайная величина, значения которой заполняют некоторый  промежуток, называется непрерывной.

В частных случаях это может  быть не один промежуток, а объединение  нескольких промежутков. Промежутки могут  быть конечными, полубесконечными или бесконечными, например: (a; b], (–µ ; a), [b;µ), (–µ; µ).

Вообще непрерывная случайная  величина – это абстракция. Снаряд, выпущенный из пушки, может пролететь  любое расстояние, скажем, от 5 до 5,3 километров, но никому не придёт в голову измерять эту величину с точностью до 0,0000001 километра (то есть до миллиметра), не говоря уже об абсолютной точности. В практике такое расстояние будет дискретной случайной величиной, у которой одно значение от другого отличается по крайней мере на 1 метр.

При описании непрерывной случайной  величины принципиально невозможно выписать и занумеровать все её значения, принадлежащие даже достаточно узкому интервалу. Эти значения образуют несчётное  множество, называемое «континуум».

Если x – непрерывная случайная величина, то равенство x = х представляет собой, как и в случае дискретной случайной величины, некоторое случайное событие, но для непрерывной случайной величины это событие можно связать лишь с вероятностью, равной нулю, что однако не влечёт за собой невозможности события. Так, например, можно говорить, что только с вероятностью «нуль» снаряд пролетит 5245,7183 метра, или что отклонение действительного размера детали от номинального составит 0,001059 миллиметра. В этих случаях практически невозможно установить, произошло событие или нет, так как измерения величин проводятся с ограниченной точностью, и в качестве результата измерения можно фактически указать лишь границы более или менее узкого интервала, внутри которого находится измеренное значение.

Вероятность, отличная от нуля, может быть связана только с попаданием величины в заданный, хотя бы и весьма узкий, интервал. Здесь можно привести сравнение с распределением массы вдоль стержня. Отсутствует масса, сосредоточенная, скажем, в сечении, расположенном на расстоянии 20 см от левого конца стержня, имеет смысл говорить лишь о массе, заключённой между сечениями, проходящими через концы некоторого промежутка.

Пусть x – непрерывная случайная величина. Рассмотрим для некоторого числа х вероятность неравенства х < x < х + Dх

P(х < x < х + Dх).

Здесь Dх – величина малого интервала.

Очевидно, что если Dх ® 0, то P(х < x < х + Dх) ® 0. Обозначим р(х) предел отношения P(х < x < х + Dх) к Dх при Dх ® 0, если такой предел существует:

 (1)

Функция р(х) называется плотностью распределения случайной величины. Из формулы (1) следует равенство, справедливое для малых величин Dх, которое также можно считать определением функции р(х):

  P(х < x < х + Dх)   p(x)Dх (2)

Очевидно, что p(x) – неотрицательная функция. Для определения вероятности того, что случайная величина x примет значение из промежутка [a, b] конечной длины, нужно выбрать на промежутке произвольные числа x₁, х₂,¼,  х_n удовлетворяющие условию а=х₀<х₁<x₂<¼<x_n<b=x_n+1. Эти числа разобьют промежуток [a, b] на n+1 частей, представляющих собой промежутки [х₀, х₁), [х₁, х₂), ¼,[х_n, b]. Введём обозначения:

Dх₀= х₁ – х₀, Dх₁= х₂ – х₁, ¼, Dх_n = b – х_n,

и составим сумму . Рассмотрим процесс, при котором число точек разбиения неограниченно возрастает таким образом, что максимальная величина Dх_i стремится к нулю. Будем считать функцию p(x) непрерывной на промежутке (а; b), тогда пределом суммы будет определённый интеграл по  промежутку [a; b] от функции p(x), равный искомой вероятности:

P(a £ x £ b) =   (3)

Это равенство можно также  рассматривать как определение  функции р(х). Отсюда следует, что вероятность попадания случайной величины в любой интервал (х₁, х₂) равна площади фигуры, образованной отрезком [х₁, х₂] оси х, графиком функции р(х) и вертикальными прямыми х = х₁, х = х₂, как изображено на рисунке 1.

Если все возможные значения случайной величины принадлежат  интервалу (а; b), то для р(х) – её плотности распределения справедливо равенство

Для удобства иногда считают функцию р(х) определённой для всех значений х, полагая её равной нулю в тех точках х, которые не являются возможными значениями этой случайной величины.

Плотностью распределения может  служить любая интегрируемая  функция р(х), удовлетворяющая двум условиям:

1. р(х) ³ 0;

Последнее свойство называется свойством нормировки. Можно задавать случайную величину, задавая функцию р(х), удовлетворяющую этим условиям.

В качестве примера рассмотрим случайную  величину x, равномерно распределённую на промежутке [a; b]. В этом случае р(х) постоянна внутри этого промежутка:

По свойству 2) функции р(х)

Отсюда  . График функции р(х) представлен на рисунке 2.

Во многих практических задачах  встречаются случайные величины, у которых возможные значения не ограничены сверху и снизу. В этом случае кривая распределения располагается над осью х и при х ® ¥ и х ® – ¥ асимптотически приближается к этой оси, как изображено на рисунке 1. Вероятность того, что случайная величина x примет значение, меньшее некоторого числа а, равна площади фигуры, заключённой между кривой распределения и горизонтальной координатной осью слева от точки а. Будем считать, что такая площадь существует.

Пусть x – непрерывная случайная величина. Функция F(x), которая определяется равенством

,

называется интегральной функцией распределения или просто функцией распределения случайной величины x. Непосредственно из определения следует равенство . Формула производной определённого интеграла по верхнему пределу в данном случае приводит к соотношению . Плотность распределения р(х) называют дифференциальной функцией распределения.

Функция распределения F(x) случайной величины x имеет следующие свойства.

1. F(x) — непрерывная возрастающая функция.
2. ;

Свойства 1 и 2 вытекают непосредственно  из определения функции F(x).

3. Приращение F(x) на промежутке (х₁; х₂) равно вероятности того, что случайная величина x принимает значение из этого промежутка:

F(x₂) – F(x₁) = P(x₁ < x £ x₂)

Доказательство.

F(x₂) = P(x £ x₂) = P(x £ x₁) + P(x₁ < x £ x₂) = F(x₁) + P(x₁ < x £ x₂)

Отсюда 

P(x₁ < x £ x₂) = F(x₂) – F(x₁)

Заметим, что для непрерывной  случайной величины x справедливы равенства

P(x₁ < x £ x₂) = P(x₁ < x < x₂) = P(x₁ £ x < x₂) = P(x₁ £ x £ x₂)

Для равномерного распределения функция F(x) имеет вид:

 

Рис. 3

График функции F(x) представлен на рисунке 3.

Закон распределения непрерывной  случайной величины можно определить заданием либо функции р(х), либо функции F(x).

Функцию распределения F(x) можно построить и для дискретной случайной величины x, если задан закон распределения этой случайной величины.

Пусть задана дискретная случайная  величина x с законом распределения

x	1	2	3
Р	0,2	0,5	0,3

Построим функцию F(x), используя определение F(x) = P(x £ x).

 

График функции F(x) изображён на рисунке 3.

Очевидно, что закон распределения  дискретной случайной величины можно  задать с помощью таблицы, где  каждому значению этой случайной  величины ставится в соответствие вероятность, или с помощью функции распределения.

Математическое  ожидание и дисперсия непрерывной  случайной величины.

Математическое  ожидание непрерывной случайной  величины x определяется равенством

в предположении, что интеграл существует (сходится). Здесь сохраняется смысл математического ожидания как среднего значения случайной величины.

Все свойства математического  ожидания, приведённые ранее для  дискретных случайных величин, имеют  место и для непрерывных случайных  величин.

Отметим два важных свойства математического ожидания непрерывных случайных величин.

1. Если плотность распределения р(х) случайной величины x – чётная функция, то Мx = 0.

Доказательство.

Теперь в первом из двух интегралов в правой части равенства сделаем замену t = –x:

Окончательно получаем

.

2. Если ось симметрии графика плотности распределения р(х) случайной величины x проходит через точку х = n, то есть  
   р(–х + n) = р(–х + n), то Мx = n.

Доказательство аналогично приведенному выше.

Очевидно, можно сформулировать аналогичные  свойства математического ожидания для дискретных случайных величин.

Дисперсия непрерывной  случайной величины x определяется равенством

Дисперсия непрерывной случайной величины имеет те же свойства, что и дисперсия дискретной случайной величины. Величина называется среднеквадратическим отклонением.

Если график плотности распределения  случайной величины x имеет единственный ярко выраженный пик в точке х = n, как на рисунке 4, то это означает, что x принимает с большой вероятностью значения из малого промежутка около х = n (или, иначе, возможные значения x тесно сконцентрированы около числа n). Такая случайная величина имеет относительно малую дисперсию.

Пусть график плотности распределения случайной величины x пологий и не имеет выраженного пика, как на рисунке 5. Тогда внутри довольно большой области можно взять различные промежутки одинаковой длины, и вероятности попадания случайной величины в эти промежутки будут отличаться незначительно. В этом случае дисперсия x относительно велика.

Если x – размер детали, выпускаемой автоматическим станком, настроенным на размер n, то график, изображённый на рисунке 4, характерен для случая, когда станок хорошо налажен: отклонения от номинальной величины n встречаются редко или маловероятны. График плотности распределения, изображённый на рисунке 5, свидетельствовал бы о том, что механизм станка расстроен: здесь часто (или с большой вероятностью) встречаются детали с большим отклонением от номинального размера n.

Напомним читателю, что на обоих  приведённых рисунках площади фигур, заключённых между горизонтальной координатной осью и графиками плотности  распределения, одинаковы и равны  единице.

Приведём пример расчёта  математического ожидания и дисперсии  для случайной величины, равномерно распределённой на промежутке [a; b]. Ранее было получено выражение для плотности распределения такой случайной величины:

Точка лежит в середине промежутка [a; b], и этот результат можно было получить, используя второе из приведённых выше свойств математического ожидания непрерывной случайной величины.

Отсюда видно, что чем длиннее  промежуток, тем больше дисперсия  случайной величины, равномерно распределённой на этом промежутке.

Задача 1.

Плотность распределения случайной величины x имеет вид

Найти Мx, Dx, F(x), P(p/6 < х < p/3).

Решение.

Сначала определим величину параметра с. По свойству нормировки

Отсюда следует, что с= 1/2. Математическое ожидание случайной величины равно 0, так как плотность распределения – чётная функция. Дисперсию случайной величины определим по формуле Dx =  . Вычислив определённый интеграл, получаем Dx = p²/4 – 1. Функция F(x) на промежутке (-µ; –p/2) равна нулю, на промежутке (–p/2; p/2) эта функция равна (1 + sinx)/2, на промежутке (p/2; µ) функция равна 1.

Задача 2.

Функция распределения случайной величины x имеет вид

Найти Мx, Dx, P(1 < х < 1,5).

Задача 3.

Плотность распределения случайной величины x имеет вид

Найти Мx, Dx, F(x) P(1 < х < 2,5)