m – количество взносов в течение года.

Пример. Потребительский кредит на сумму 5 тыс. руб. открыт на 2 года по ставке 25% годовых. Погашение кредита равными взносами ежеквартально. Определить стоимость кредита и размер ежеквартальных взносов.

Решение:

Стоимость кредита – это проценты, которые равны:

I = D • n • i = 5'000 • 2 • 0,25 = 2'500 рублей

Общая сумма расходов по обслуживанию кредита  равна:

ΣY_t = D + I = 5'000 + 2'500 = 7'500 рублей

Ежеквартальные  взносы составят величину:

ΣY_t = (D + I) : (n • m) = 7'500 : 2 • 4 = 937,50 рублей

Таким образом, ежеквартальные взносы в размере 937,50 рублей позволяет выплатить  сумму долга и выплатить проценты.

Если  бы использовалось прогрессивное погашение, т.е. начисление процентов на остаток  долга, то это было бы заметно дешевле  для должника. 

Расчленение величины срочной уплаты в потребительском  кредите на процентные платежи и  погашение основной суммы долга  в мировой практике называется "методом 78". Это связано с тем, что  для потребительского кредита сроком 12 месяцев и ежемесячным погашение, сумма порядковых номеров месяцев  будет равна 78, что и дало название такому методу начисления процентов.

Это правило  можно обобщить для n лет и m платежей в году:

N = m • n [(m • n + 1) : 2],

где N – сумма последовательных номеров выплат.

Отсюда  очень легко расчленить срочную  уплату на процентные платежи и сумму  погашения основного долга:

Y_t = I_t + d_t ,

где I_t – процентный платеж;

d_t – сумма погашения основного долга.

Тогда величина процентного платежа определяется следующим образом:

I_t = I • (t / N),

а сумма  погашения основного долга как  разница срочной уплаты и процентных выплат:

R_t = Y_t - I_t . 
 
 
 
 

22. Сложные проценты. Непрерывное начисление процентов. Сравнение процентных ставок

Формула сложных процентов

В финансовой практике значительная часть расчетов ведется с использованием схемы  сложных процентов.

Применение  схемы сложных процентов целесообразно  в тех случаях, когда:

• проценты не выплачиваются по мере их начисления, а присоединяются к первоначальной сумме долга. Присоединение начисленных процентов к сумме долга, которая служит базой для их начисления, называется капитализацией процентов;
• срок ссуды более года.

Если  процентные деньги не выплачиваются  сразу по мере их начисления, а присоединяются к первоначальной сумме долга, то долг, таким образом, увеличивается  на невыплаченную сумму процентов, и последующее начисление процентов  происходит на увеличенную сумму  долга:

FV = PV + I = PV + PV • i = PV • (1 + i)

– за один период начисления;

FV = (PV + I) • (1 + i) = PV • (1 + i) • (1 + i) = PV • (1 + i)²

– за два  периода начисления;

отсюда, за n периодов начисления формула примет вид:

FV = PV • (1 + i)ⁿ = PV • k_н ,

где FV – наращенная сумма долга;

PV – первоначальная сумма долга;

i – ставка процентов в периоде начисления;

n – количество периодов начисления;

k_н – коэффициент (множитель) наращения сложных процентов.

Эта формула  называется формулой сложных процентов.

Как было выше указано, различие начисления простых  и сложных процентов в базе их начисления. Если простые проценты начисляются все время на одну и ту же первоначальную сумму долга, т.е. база начисления является постоянной величиной, то сложные проценты начисляются  на увеличивающуюся с каждым периодом начисления базу. Таким образом, простые  проценты по своей сути являются абсолютными  приростами, а формула простых  процентов аналогична формуле определения  уровня развития изучаемого явления  с постоянными абсолютными приростами. Сложные проценты характеризуют  процесс роста первоначальной суммы  со стабильными темпами роста, при  наращении ее по абсолютной величине с ускорением, следовательно, формулу  сложных процентов можно рассматривать  как определение уровня на базе стабильных темпов роста.

Согласно  общей теории статистики, для получения  базисного темпа роста необходимо перемножить цепные темпы роста. Поскольку ставка процента за период является цепным темпом прироста, то цепной темп роста равен:

(1 + i).

Тогда базисный темп роста за весь период, исходя из постоянного темпа прироста, имеет вид:

(1 + i)ⁿ .

Базисные  темпы роста или коэффициенты (множители) наращения, зависящие от процентной ставки и числа периодов наращения, табулированы и представлены в Приложении 2. Экономический смысл множителя наращения состоит в том, что он показывает, чему будет равна одна денежная единица (один рубль, один доллар и т.п.) через n периодов при заданной процентной ставке i.

Непрерывное начисление процентов

Все ситуации, которые мы до сих пор рассматривали, относились к дискретным процентам, поскольку их начисление осуществляется за фиксированные промежутки времени (год, квартал, месяц, день, час). Но на практике нередко встречаются случаи, когда  проценты начисляются непрерывно, за сколь угодно малый промежуток времени. Если бы проценты начислялись ежедневно, то годовой коэффициент (множитель) наращения выглядел так:

k_н = (1 + j / m)^m = (1 + j / 365)³⁶⁵

Но поскольку  проценты начисляются непрерывно, то m стремится к бесконечности, а коэффициент (множитель) наращения стремится к e ^j:

где e ≈ 2,718281, называется числом Эйлера и является одной из важнейших постоянных математического анализа.

Отсюда  можно записать формулу наращенной суммы для n лет:

FV = PV • e ^{j • n} = P • e ^{δ • n}

Ставку  непрерывных процентов называют силой роста (force of interest) и обозначают символом δ, в отличие от ставки дискретных процентов ( j ).

Пример. Кредит в размере на 100 тыс. долларов получен сроком на 3 года под 8% годовых. Определить сумму подлежащего возврату в конце срока кредита, если проценты будут начисляться:

а) один раз в год;

б) ежедневно;

в) непрерывно.

Решение:

Используем  формулы дискретных и непрерывных  процентов:

начисление  один раз в год

FV = 100'000 • (1 + 0,08)³ = 125'971,2 долларов;

ежедневное  начисление процентов

FV = 100'000 • (1 + 0,08 / 365)^{365 • 3} = 127'121,6 долларов

непрерывное начисление процентов

FV = 100'000 • e^{0,08 • 3} = 127'124,9 долларов. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

ИНФОРМАТИКА

НЕПРЕРЫВНАЯ И ДИСКРЕТНАЯ ИНФОРМАЦИЯ

Чтобы сообщение было передано от источника  к получателю, необходима некоторая  материальная субстанция - носитель информации. Сообщение, передаваемое с помощью носителя, назовем сигналом. В общем случае сигнал - это изменяющийся во времени физический процесс. Такой процесс может содержать различные характеристики (например, при передаче электрических сигналов могут изменяться напряжение и сила тока). Та из характеристик, которая используется для представления сообщений, называется параметром сигнала.

В случае когда параметр сигнала принимает последовательное во времени конечное число значений (при этом все они могут быть пронумерованы), сигнал называется дискретным, а сообщение, передаваемое с помощью таких сигналов - дискретным сообщением. Информация, передаваемая источником, в этом случае также называется дискретной. Если же источник вырабатывает непрерывное сообщение (соответственно параметр сигнала - непрерывная функция от времени), соответствующая информация называется непрерывной. Пример дискретного сообщения - процесс чтения книги, информация в которой представлена текстом, т.е. дискретной последовательностью отдельных значков (букв). Примером непрерывного сообщения служит человеческая речь, передаваемая модулированной звуковой волной; параметром сигнала в этом случае является давление, создаваемое этой волной в точке нахождения приемника - человеческого уха.

Непрерывное сообщение может быть представлено непрерывной функцией, заданной на некотором отрезке [а, Ь] (см. рис. 1.4). Непрерывное сообщение можно  преобразовать в дискретное (такая процедура называется дискретизацией). Для этого из бесконечного множества значений этой функции (параметра сигнала) выбирается их определенное число, которое приближенно может характеризовать остальные значения. Один из способов такого выбора состоит в следующем. Область определения функции разбивается точками x₁, x₂,... х_n, на отрезки равной длины и на каждом из этих отрезков значение функции принимается постоянным и равным, например, среднему значению на этом отрезке; полученная на этом этапе функция называется в математике ступенчатой. Следующий шаг - проецирование значений «ступенек» на ось значений функции (ось ординат). Полученная таким образом последовательность значений функции у₁, у₂, ... у_n. является дискретным представлением непрерывной функции, точность которого можно неограниченно улучшать путем уменьшения длин отрезков разбиения области значений аргумента.