Произведя вычисления, получаем:

Это и  будет искомая матрица (в выделенных ячейках). Это способ очень наглядный  и удобный, позволяет избежать ошибок при перемножении матриц.

Известны  следующие очевидные свойства произведений матриц

• Переместительный закон не выполняется, т.е. AB BА. Поэтому различают умножение на матрицу слева или справа;
• (A+B)C=AC+BC
• (AB)C=A(BC)=ABC

Определение 13. Если AB = BA, то такие матрицы A и B называют перестановочными или коммутативными.

Очевидно, что коммутативной с единичной  будет любая матрица подходящего  размера AE = EA = A.

Теорема. Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению определителей этих матриц, т.е. det(AB) = detA·detB.

Определение 14. Если в некоторой матрице A поменять местами столбцы и строки, то полученная матрица будет называться транспонированной и обозначается A_т.

Определение 15. Если выполняется равенство A = A_т, то такая матрица называется симметрической.

Определение 16. Обратной по отношению к матрице A называется такая матрица, для которой выполняется равенство AA^-1 = A^-1A = E.

Определение 17. Матрица, которая имеет обратную называется обратимой или не особенной.

Теорема. Для того, чтобы матрица A имела обратную матрицу A^-1 необходимо и достаточно, чтобы она была бы невырожденной, т.е. detA 0.

Доказательство. Необходимость. Пусть существует матрица A^-1, тогда

detAA^-1 = detAdetA^-1 = detE = 1 0 ,

т.е. ни один из сомножителей не должен быть равен  нулю, следовательно, detA 0.

Достаточность. Пусть detA 0. Надо доказать, что существует обратная матрица A^-1. Покажем это на примере квадратной матрицы третьего порядка. Пусть дана матрица

Найдем  миноры второго порядка этой матрицы. Очевидно, что таких миноров будет 9: A_is = (-1)^i+s M_is. Составим присоединенную матрицу из полученных алгебраических дополнений, которая обычно обозначается как

затем найдем произведение

Т.е. AA^*=(detA)E, следовательно , откуда по определению обратной матрицы получаем

Теорема доказана. Заметим, что формула (2) известна как популярная расчетная формула  для получения обратной матрицы.

Эта важная теорема дает нам простой алгоритм вычисления обратной матрицы, который  можно сформулировать так.

1. Вычислить detA;¹⁾
2. Вычислить все алгебраические дополнения матрицы A;
3. Найти обратную матрицу по формуле 2.

Пример. Найти обратную матрицу для и выполнить проверку.

Решение. Вычисляем

следовательно, обратная матрица существует. Найдем присоединенную матрицу A^*. Для этого вычислим все миноры второго порядка матрицы A и алгебраические дополнения:

Составим 

и найдем по формуле (2) обратную матрицу:

Проверка

 
 

3. Методы  решения систем линейных уравнений

Матричный метод.

Запишем систему (1) в матричном виде: 
AX=B, где

Рассмотрим  случай, когда число неизвестных  совпадает с числом уравнений.  
Тогда решение системы находится по формуле:

A^-1B=X

Формулы Крамера.

Составим  матрицу A*, элементами которой являются алгебраические дополнения матрицы A :

транспонируем ее и каждый элемент разделим на det A, получим матрицу

, где B_ij=A_ij/det A, i=1,..,n; j=1,..,n.

Матрица B=A^-1. Тогда решение системы (1) можно найти по формулам

 j=1,..,n. 
Эти формулы называются формулами Крамера.   

Пример .

Решить  систему 

Решение в матричном виде:

отсюда  имеем: х₁=2, х₂=1, х₃=2.

Решение по формулам Крамера:

D=|A|=6

 
х₁ = 12/6=2, х₂ = 6/6=1, х₃ = 12/6=2.

Метод Гаусса.

Рассмотрим  систему m линейных уравнений с n неизвестными

i=1,…..,m; j=1,…..,n,                     (1)  
 
Пусть . Разделим все члены первого уравнения на :

                                                               (2) 
где 
(j =1,2…n + 1),                                                                      (3)

Рассмотрим i-е уравнение системы(1):

                                                            (4)

Для исключения из этого уравнения х₁ умножим уравнение (2) на  
и полученное уравнение вычтем из уравнения (4). Тогда будем иметь

                                                                    (5)

где                                                     (6)

Таким образом, получаем укороченную систему

                                                                  (7)

коэффициенты которой определяют по формулам (6).

Если  ее ведущий коэффициент  , то из системы (7) указанным выше приемом можно исключить неизвестное х₂, причем новые коэффициенты будут вычисляться по формулам типа (6) и т.д. Эта часть вычислений называется прямым ходом метода Гаусса.

Для определения  неизвестных х₁,х₂,...х_n рассмотрим уравнения

                                                              (8)

Отсюда  последовательно находим неизвестные (обратный ход):

                                (9)

Заметим ,что операции (9 )выполняются без деления. 
Если очередной ведущий коэффициент окажется равным нулю, то уравнения системы следует переставить надлежащим образом. Возможно, конечно, что система (1) несовместна. Тогда, естественно, метод Гаусса не допускает реализации.

Пример. 
Решить систему уравнений методом Гаусса.

Решение:

Выписав расширенную матрицу этой системы, после ряда элементарных преобразований (проследить порядок которых рекомендуем  самостоятельно), получим:

откуда

Решая последнюю систему, находим

Здесь ранг расширенной матрицы равен  рангу основной матрицы и равен, очевидно, двум. Система имеет бесконечно много решений, каждое из которых  можно получить, придавая х₃ и х₄ конкретные значения. 

4. Элементы  теории множеств: операции над множествами. Парадоксы теории множеств

Элементы  теории множеств

   1. Логические символы

   Квантор - заменяет выражение "для любого", "для произвольного", "для какого бы ни было".

   Квантор - заменяет выражение "существует", "найдется".

   Запись  (импликация) означает, что из справедливости высказывания A вытекает справедливость высказывания B. Если, кроме того, из справедливости высказывания B вытекает справедливость A, то записываем . Если , то высказывание B является необходимым и достаточным условием для того, чтобы выполнялось высказывание A.

   Если  предложения A и B справедливы одновременно, то записываем . Если же справедливо хотя бы одно из предложений A или B, то записываем .

   2. Операции над множествами

   Математическое  понятие множества элементов  принимается в качестве интуитивного. Множество задается правилом или  признаком, согласно которому определяем, принадлежит ли данный элемент множеству  или не принадлежит.

   Множество обозначают символом A = {x}, где x - общее наименование элементов множества A. Часто множество записывают в виде A = {a, b, c, ...}, где в фигурных скобках указаны элементы множества A. Будем пользоваться обозначениями:  

N - множество всех натуральных чисел;